08几何法、空间向量法解决空间线线角问题讲义——2027届高考一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间线线角求解，整合几何法（平移、补体）与空间向量法核心考点，按定义、步骤、教材例题逻辑架构知识体系，通过知识梳理、教材回归、考点例题、跟踪练习四环节，帮助学生构建解题框架，突破空间角转化难点。 资料特色在于教材真题深度融合，创新“双法对比教学”，如结合正方体中点线角教材例题与直三棱柱、四棱锥高考模型，培养空间观念与数学思维。跟踪练习分层设计，配合向量法步骤小结，确保高效复习，为教师把控节奏提供支撑，提升学生空间角求解应考能力。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——08几何法、空间向量法解决空间线线角问题 知识梳理 1、两条异面直线所成角的空间向量求法 设两条异面直线l1，l2所成的角为φ，其方向向量分别为a，b，向量a与b的夹角为θ， 则cosφ＝|cosθ|＝，φ的取值范围是. 2、用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． 3、几何法求异面直线所成角的方法： (1)平移法：将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解． (2)补体法：在该几何体的某侧补接上一个同样的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解． 提醒：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.1节例1】如左图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小. （3）求直线与所成的角的大小. 【人教A版选择性必修一第1.2节例3】如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点． （1）求证：．（2）求与所成角的余弦值． 【人教A版选择性必修一第1.3.2节例3】 如图，在棱长为1的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求的长．（2）求与所成角的余弦值． 【人教A版选择性必修一第1.3.2节练习第5题】 如图，在正方体中，M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值． 【人教A版选择性必修一习题1.3第8题】如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值． 【人教A版选择性必修一第1.4.2节例7】 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别为，的中点，求直线和夹角的余弦值． 【人教A版选择性必修一习题1.4第9题】如图，M，N分别是正方体的棱和的中点，求： （1）MN和所成角的大小； （2）MN和AD所成角的大小． 考点梳理： 例、【人教A版选择性必修一第1.4.2节38页练习第1题】 在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA=90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 例、【人教A版选择性必修一第1.4.2节41页练习第2题】如图，在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点．求异面直线AN，CM所成角的余弦值． 例、在直三棱柱中，，则直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 例、已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，与分别为该圆柱的上、下底面的一条直径，若从点出发绕圆柱的侧面到点的最小距离为，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 例、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BD，A1C1的中点，则直线A1M与BN所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 例、如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，是边长为2的等边三角形，F为BC的中点. (1)证明：； (2)若直线AP与DF的夹角的余弦值为，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值. 小结：向量法求异面直线所成角的步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量v1，v2； (3)代入公式cosθ＝|cos〈v1，v2〉|＝求解(θ为两异面直线所成的角)． 跟踪练习： 1．在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是 A． B． C． D． 4．若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为(　　) A．30°　　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 5．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 6、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A­BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 7．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．若三角形为边长为2的正三角形，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8、已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为( C ). A. B. C. D. 9．刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11．（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·辽宁辽阳·一模）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·安徽芜湖·一模）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 14．（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 15．如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设． (1)试用表示向量； (2)若，求异面直线与的夹角的余弦值． 16．如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面． (2)若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ． 17．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 18．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——08几何法、空间向量法解决空间线线角问题 知识梳理 1、两条异面直线所成角的空间向量求法 设两条异面直线l1，l2所成的角为φ，其方向向量分别为a，b，向量a与b的夹角为θ， 则cosφ＝|cosθ|＝，φ的取值范围是. 2、用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． 3、几何法求异面直线所成角的方法： (1)平移法：将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解． (2)补体法：在该几何体的某侧补接上一个同样的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解． 提醒：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.1节例1】如左图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小. （3）求直线与所成的角的大小. 解：（1）棱，，，，，，，所在直线分别与直线垂直. （2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于45°. （3）如右图，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与所成的角.连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与所成的角等于60°. 【人教A版选择性必修一第1.2节例3】如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点． （1）求证：．（2）求与所成角的余弦值． 分析：（1）要证明，只需证明与共线．设，，，则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．（2）要求与所成角的余弦值，只需求，所成角的余弦值即可． 【解析】（1）证明：设，，，则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底． 所以，．所以．所以． （2）因，， 所以．所以与所成角的余弦值为． 【人教A版选择性必修一第1.3.2节例3】 如图，在棱长为1的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求的长．（2）求与所成角的余弦值． 分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A，M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出的长．（2）与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，可以通过，的坐标运算得到结果． 解：（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系，则点A的坐标为，点M的坐标为． 于是． （2）由已知，得，，，，所以， ，，．所以． 所以, 所以，与所成角的余弦值是． 【人教A版选择性必修一第1.3.2节练习第5题】 如图，在正方体中，M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值． 【答案】 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得到答案. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为，则，，，，，，设直线与直线所成角为，则，所以直线与直线所成角的余弦值为. 【人教A版选择性必修一习题1.3第8题】如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值． 【答案】 【分析】以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】 以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则所以,设CM和所成角为，则, 所以CM和所成角的余弦值为. 【人教A版选择性必修一第1.4.2节例7】 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别为，的中点，求直线和夹角的余弦值． 分析：求直线和夹角的余弦值，可以转化同量与的余弦值．为此需要把向量，用适当的基底表示出来，进而求得向量，夹角的余弦值． 解：如图，以{，，}作为基底．则，． 设向量与夹角为，则直线和夹角的余弦值等于． ． 又和均为等边三角形，所以．． 所以直线和夹角余弦值为． 【人教A版选择性必修一习题1.4第9题】如图，M，N分别是正方体的棱和的中点，求： （1）MN和所成角的大小； （2）MN和AD所成角的大小． 【答案】（1）；（2）. 【分析】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为2，写出、、、、的坐标，进而可得、、，利用空间向量夹角的坐标表示求其夹角的余弦值，即可求MN和、MN和AD所成角. 【详解】 构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为2，则，，，，， （1），，又MN和所成角范围为， ∴，故MN和所成角为. （1），又MN和AD所成角范围为， ∴，故MN和AD所成角为. 考点梳理： 例、【人教A版选择性必修一第1.4.2节38页练习第1题】 在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA=90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设BC=CA=CC1=1， 则A(1，0，1)，B(0，1，1)，D1，F1，∴=，=， ∴|cos<>|===.故选：A. 例、【人教A版选择性必修一第1.4.2节41页练习第2题】如图，在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点．求异面直线AN，CM所成角的余弦值． 【答案】 【分析】连结，取的中点，连结，推导出异面直线，所成角就是，利用余弦定理解三角形，能求出结果． 【详解】连结，取的中点，连结，则， 是异面直线，所成的角，，，， 又，，， 异面直线，所成的角的余弦值为． 例、在直三棱柱中，，则直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，求得直线方向向量，代入夹角公式求解即可. 【详解】 由条件可如图建系，设，则, 则,设直线与所成角为，所以，所以，故选：C 例、已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，与分别为该圆柱的上、下底面的一条直径，若从点出发绕圆柱的侧面到点的最小距离为，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最小距离可得的长度为，即可根据异面直线所成角的定义即可求解. 【详解】根据题意可知圆柱的半径和高分别为， 由于从点出发绕圆柱的侧面到点的最小距离为，故展开图中，则,故，因此在圆柱中，在下底面作平行于的直径，则的长度为，故所成的角为或其补角，由于，故直线与直线所成的角为，故选：C 例、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BD，A1C1的中点，则直线A1M与BN所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：解法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1(2，0，2)，M(1，1，0)，B(2，2，0)，N(1，1，2)，得＝(1，－1，2)，＝(－1，－1，2)．设向量与的夹角为θ， 则直线A1M与BN所成角的余弦值为|cosθ|＝＝＝.故选C. 解法二：以{，，}作为基底，则＝－，＝＋，设向量与的夹角为θ，则直线A1M与BN所成角的余弦值为|cosθ|.·＝·＝2－·＋·－·.因为四面体DBA1C1为正四面体，所以||＝||＝||，且，，两两之间的夹角均为，所以cosθ＝＝ ＝＝＝.故选C. 解法三：连接D1M，易得D1M∥NB，则直线A1M与BN所成的角即为∠A1MD1或其补角，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，在△A1MD1中，A1M＝，D1M＝，A1D1＝2，由余弦定理，得cos∠A1MD1＝＝.故选C. 例、如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，是边长为2的等边三角形，F为BC的中点. (1)证明：； (2)若直线AP与DF的夹角的余弦值为，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解；(2). 【分析】（1）记的中点为，利用正三角形的性质结合线面垂直判定定理证明平面，然后可证；（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，根据线线角的向量表示求出点坐标，然后求出平面PAB的法向量，利用线面角的向量公式求解可得. 【详解】（1）记的中点为，连接，因为为菱形，，所以为正三角形，所以，由为正三角形可得，因为是平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以. （2）由（1）知，，过点作平面，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为平面，所以点在坐标平面内，设，，则，， 所以，，因为直线AP与DF的夹角的余弦值为，所以，解得，因为，所以， 得，所以，设平面PAB的法向量为， 则，令得， 记直线PC与平面PAB所成角为，则. 小结：向量法求异面直线所成角的步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量v1，v2； (3)代入公式cosθ＝|cos〈v1，v2〉|＝求解(θ为两异面直线所成的角)． 跟踪练习： 1．在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设棱长为1，取中点为， 由为的中位线知，，所以是异面直线，所成角的平面角， 在中，，，. 2．如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用计算出与所成的角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 则与所成的角的余弦值为. 故选：D 3．如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】（法一）连接，则即为异面直线与所成的角，解三角形即可； （法二）分别以、、为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，可得、、、各点的坐标，从而得出、的坐标，利用空间向量的夹角公式算出、的夹角余弦之值，即可得到异面直线与所成的角的余弦值． 【详解】解：（法一）连接， 由题意，，则即为异面直线与所成的角， 设正方体的棱长为2，则，则，在中，； （法二）分别以、、为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系如图， 设正方体的棱长为2，得，2，，，0，，，2，，，2，， ，，，，0，，因此，得到， ，且， ，异面直线与所成的角是锐角或直角， 面直线与所成的角的余弦值是，故选：A． 4．若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为(　　) A．30°　　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 【答案】C 解析：∵正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为，AB＝1，∴AA1＝， 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B1(1,1，)，C(0,1,0)，D1(0,0，)，＝(0,1，)，CD1―→＝(0，－1，)，设直线AB1与CD1所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，又0°<θ≤90°，∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°.故选C. 5．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为，所以，，设异面直线与所成角为，则，解得，即. 6、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A­BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 【答案】C 解析：四面体A­BCD是由正方体的四个顶点构成的，如图所示． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， B(0,0,0)，C(2,0,0)，D(2,2,0)，M(1,1，1)，＝(1,1,1)，＝(0,2,0)， cos〈，〉＝＝＝， 因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为，故选C. 7．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．若三角形为边长为2的正三角形，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点E，将异面直线化为共面直线，解三角形即可. 【详解】取的中点E，连接，易知，则或其补角为异面直线和所成的角，因为平面，平面，所以， 即，显然，所以为直角三角形，通过解三角形可得，即异面直线和所成角的余弦值为． 8、已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为( C ). A. B. C. D. 【答案】C [解析]取线段的中点，连接，则，设直三棱柱的棱长为2， 以点为原点，,,的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， ,，所以.故选. 9．刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用基向量表示和，再利用异面直线所成角的向量公式即可求解. 【详解】依题意得，，所以 ， 又，，所以设异面直线AE与BD所成的角为，则 故选：A. 10．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，，在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以，因为为的中点，所以，所以，所以，，在中，由余弦定理得，所以异面直线和所成角的余弦值为. 11．（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故，故或其补角即为直线与所成角，因为平面，平面，故，而，故，同理，而为中位线，故，而是边长为的等边三角形，，所以，在中，由余弦定理可得，所以直线与所成角的余弦值为. 12．（2026·辽宁辽阳·一模）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先找到异面直线与所成的角，通过几何关系求出与该角的余弦值有关的线段长即可. 【详解】如图，连接， 因为平面，平面，所以.又四边形是正方形，，所以，，，所以异面直线与所成的角即与所成的角，即.由勾股定理得，，所以，所以.因为是的中点，所以，所以，所以.选：D. 13．（2026·安徽芜湖·一模）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，利用求出进而得到侧棱长，根据异面直线的概念可知即为异面直线与所成角的平面角，在中利用余弦定理求解即可. 【详解】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径， 因为底面边长为4，所以，易知球心在线段上，则， 解得或，当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 当时，又，解得，因为，所以即为异面直线与所成角的平面角，在中，由余弦定理可得，解得，故选：A 14．（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】/ 【分析】结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角的向量求法求解即可. 【详解】作，因为，所以是的中点，过作，由直三棱柱性质得面，如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以，由勾股定理得，则，，，，可得，，设异面直线与所成角为， 则. 15．如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设． (1)试用表示向量； (2)若，求异面直线与的夹角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可；（2）先用基向量表示与，然后求解与以及数量积，然后计算夹角的余弦值即可. 【详解】（1）由图可得： . （2）由（1）可知，因为， 所以，，， ， 所以，，， 所以，所以异面直线与的夹角的余弦值为. 16．如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面． (2)若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点O，靠近C的四等分点H，利用平行线分线段成比例判定线线平行即可证明线面平行； （2）取的中点E，将异面直线化为共面直线，解三角形即可. 【详解】（1）如图所示，取中点O，且P是中点， ∴ ，取的四等分点H，使，且， ∴ ，∴，∴ 四边形为平行四边形， ∴ ，在平面外，且平面，∴ 平面． （2） 取的中点E，连接，易知，则或其补角为异面直线和所成的角， 因为平面，平面，所以，即， 显然，所以为直角三角形，通过解三角形可得， 即异面直线和所成角的余弦值为． 17．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得到平面和平面，再利用面面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，从而得到锥体的高，最后利用锥体的体积公式即可得到答案. 【详解】（1）因为E，F分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.因为，，且E为的中点，所以，则四边形为平行四边形， 则.又平面，平面，所以平面. 因为平面，平面，，所以平面平面. （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 设（），则，，，，则，.因为异面直线与所成角的余弦值为，所以，解得， 故四棱锥的体积为. 18．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值． 解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD. 又因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC. (2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝. 如图，以O为坐标原点，射线OB，OC分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系O­xyz， 则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)， 所以＝(1，，－2)，＝(0，2，0)． 设PB与AC所成角为θ， 则cos θ＝＝＝. 即PB与AC所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $