椭圆复习讲义（二）-直线与椭圆的位置关系----2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学椭圆复习讲义通过题型框架系统梳理了直线与椭圆位置关系的知识体系，将点与椭圆位置关系、弦长计算、中点弦问题等八大题型按“基础判定-运算求解-综合应用”的递进关系组织，清晰呈现各考点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层例题设计，如中点弦问题通过点差法培养数学思维的推理能力，定点定值问题结合方程思想提升数学语言表达能力。基础题巩固通法，综合题如三角形面积最值问题发展创新意识，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供有效支持。

椭圆复习讲义（二)直线与椭圆的位置关系 【题型1点与椭圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系】 【例1-1】已知直线mX+y-5=0与圆X2+y=5没有公共点，则点Pm,m与椭圆号+之=1的位 75 置关系是() A.在椭圆内 B.在椭圆外 C.在椭圆上 D.不确定 【例1-2】已知：∈R若关于x的方程1-2又=x+t有两个不相等的实数根，则的取值范围是 () A. 26 B. V6 V6 2’2 2’2 /2 ,2 2 D.(-2,2) 【题型2椭圆的弦长问题】 经过椭圆)+y1的左焦点F作预斜角为60的直线，直线与椭圆相交子 点，则线段AB的长为() B.82 7 C.2 D.16V2 7 1/9 【例2-2】已知椭圆E:X g+1的左焦点，过F的直线I与E交于A,B两点，①)若直盥E 直于X轴，则AB= ≤AB≤_」 【题型3椭圆的“中点弦”问题】 【例3-1】已知精圆C:兰+士=1，直线1与彬圆C相交于A,B两点若线段AB的中点为L1.则直 43 线的方程为() A.4x+3y-7=0 B.3x+4y-7=0 C.4x-3y-1=0 D.3x-4y+1=0 【例3-2】已知椭圆X+兰=1a>b>0的右焦点为F3,0?过F的直线与椭圆相交于M,N两点， a b2 线段MN中点的坐标为1，-1，则此椭圆的方程为() A. X+y=1 x.y B. -1 4536 3627 C. 苦1 D. 【州231已用国G告-1ab>心的离心率为受.右列2rp,引 2 (1)求椭圆G的方程； (2)设斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点，若△PAB是以P为顶点的等腰三角形，求△PAB的 面积· 2/9 【题型4椭圆中的参数范围及最值】 【例41】椭圆X+y 16+21上的点到直线：X-2y-12=0距离的最小值为() 2V5 4V5 A. B. e D.165 5 5 5 【例4-2】(2025高三全国专题练习)己知椭圆X+兰=1a>b>0的左焦点为卫，上顶点为A 若存在直线1与椭圆交于不同的两点B,C,△ABC的重心为F,则I的斜率的取值范围是() A.-V2,0 B. c.-1,0 D.-2,0 :京+长1(a>b>0的左、右焦点分别为F,E且R,E=4过有焦点 【例431已知稀园c:艾+ F2的直线l与C交于A,B两点，△ABF1的周长为8V2. (1)求椭圆C的标准方程： 3/9 ②过原点O作一条垂直于1的直线1，l交C于P,Q两点，求AB! 的取值范围. PQ 【题型5椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 例51】已知椭圆E:X+少/ 5=1(a>b>0)过点0,1 且离心率e-2 (1)求椭圆E的方程： (2)已知F1、F2是椭圆E的左、右焦点，P是第一象限内椭圆E上的一点，分别连接PF1,PF2并延 长交椭圆E于点Q1,Q2.S1,S,分别表示△PQ,E,和△PQ,F的面积，求S1-S,的最大值. 4/9 【题型6椭圆中的定点、定值问题】 6】已知稀里为之0h>0》的长轴长是短箱长的3侣，左、石焦其分别为见 F以且稀圆c经过点M1,2号 22 (1)求椭圆的方程： (2)设A是椭圆C的右顶点，P,Q是椭圆C上不同的两点，直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且 kk行证明：直线PQ过定点. 【例6-2】己知椭圆C:x2 +y广一1a>1的宽心率为25。能题c的动液AB过横置C的右焦点 5 F,当AB垂直x轴时，椭圆C在A,B处的两条切线的交点为M. 5/9 (1)求点M的坐标. m过点M作x轴的垂线点N为1上一点，且点N的纵坐标为- (2)若直线AB的斜率为 2直线 NF与椭圆C交于P,O两点，证明：ABPQ 1 1 为定值. 【到6】已如c若-1a>6>08注点u迈，马 且离心率为3 a2 b2 3 (1)求C的方程： (2)若直线与C交于点P,Q,且线段PQ的中点为R -12 求的方程； (3)过动点TX,6-x,作C的两条切线，切点分别为A'B:求证：直线AB过定点，并求出定点的 坐标。 6/9 【例6-4已知过点T1,0的直线与稀图E:兰+y=1a>1交于A,B两点.当直线AB垂直于抽 时，|AB=2V6 3 (1)求E的方程. (②)探究是否存在实数使得1十 1 入为定值.若存在，求出该定值；若不存 |AT2 BTP AT小BT 在，说明理由， 【题型7椭圆中的定直线问题】 【例7】见知F10为椭圆C:士+1a>h>0胸石焦点，AB分别为椭圆C的左、右顿 点，且椭圆C过点T 2、 26 3 (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点F作直线I与椭圆C交于M,N两点（不同于A,B),设直线AM与直线BN交于点D,证 明：点D在定直线上 7/9 【例7-2】已知AB是椭圆E:+y=1a>1的左、右顶点，椭圆E的长轴长是短轴长的2倍， 09 点Mm,0m>0与椭圆上的点的距离的最小值为1. (1)求椭圆的离心率和标准方程： (2)求点M的坐标： (3)过点M作直线l交椭圆E于C、D两点（与A、B不重合），连接AC、BD交于点G.证明：点G 在定直线上； 【题型8椭圆中的向量问题】 由线E父十y=1的左、右焦点分别为F、乃，P是 1)求△PF1F2的周长： (②过F,的直线与曲线E交于A°B两点，且A京，=2FB:求直线AB的方程 8/9 例8-2】已知椭圆C:￥+1a>b>0的半距c-0,离心率e<2,且过点6 3 2,10为 坐标原点. (1)求椭圆C的方程： (②)设过点Q10,2的直线，与椭圆c分别交于不同的两点A,B:若QA·Q克=入O,求，的取值范 围。 9/9 椭圆复习讲义（二）直线与椭圆的位置关系答案 【题型1 点与椭圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系】 【例1-1】已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【解】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 【例1-2】已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】由题意，表示焦点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为， 当直线经过点时，，当直线与椭圆相切时， 由，得， 所以，解得（负根舍去），当直线与半椭圆有两个交点时， 根据图象，的取值范围为. 【题型2 椭圆的弦长问题】 【例2-1】经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 【例2-2】已知椭圆的左焦点为，过的直线与交于，两点，（1）若直线垂直于轴，则;（2） 【答案】， 【解】椭圆的左焦点为，设，， 若轴，直线，由，得：，则； 若不垂直于轴时，设的方程为， 由，消去并整理可得：， 则，， ， 显然，，于是得，当轴时，，因此、； 【题型3 椭圆的“中点弦”问题】 【例3-1】已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即. 【例3-2】已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，线段中点的坐标为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】设，，过点的直线交椭圆于，两点， 若的中点坐标为，所以直线的斜率， ，代入椭圆方程得， 两式相减得， 即， 也即， 所以， 又， 所以，所求的椭圆方程为. 【例3-3】已知椭圆（）的离心率为，右焦点为，点 (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为的直线与椭圆交于，两点，若是以为顶点的等腰三角形，求的面积 【答案】(1)；(2) 【解】（1）由已知得，，解得，故，即椭圆的方程为； （2）设直线的方程为， 设，，中点， 联立直线与椭圆，得  ①， 由韦达定理，，， 由题意，，因此的斜率为，解得， 此时①式为，， 点到直线的距离， 所以的面积 【题型4 椭圆中的参数范围及最值】 【例4-1】椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去x，整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为．所以最小值为． 【例4-2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A.若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，C，的重心为F，则l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】设椭圆的左焦点为， 由已知，设，l的斜率为， 因为重心为F， 所以， 所以， 易知，根据点差法可得：， 所以, 又中点一定在椭圆内部，即， 令，则，故， 由对勾函数的性质可知，显然， 故直线l的斜率取值范围是. 【例4-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解】（1）设椭圆的半焦距为， 由，得， 又的周长为， 即 所以， ， 椭圆的标准方程为． （2）设， 直线的斜率为时，得， 此时的方程为， 代入方程可得，， 所以； 当直线的斜率不为时， 设直线，直线， 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得 ， ． 由根与系数的关系得， 所以 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得， 由根与系数的关系得， ， 所以． 令，则， 不妨设 ， ， ，， 综上可得，的取值范围为． 【题型5 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 【例5-1】已知椭圆过点，且离心率． (1)求椭圆的方程； (2)已知、是椭圆的左、右焦点，是第一象限内椭圆上的一点，分别连接并延长交椭圆于点分别表示和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）可得，， 设，其中， 直线，联立， 消去得， 解得， 则， 即， 同理可得 所以 ， 当且仅当时，等号成立． 所以的最大值为． 【题型6 椭圆中的定点、定值问题】 【例6-1】已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的3倍，左、右焦点分别为，．且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的右顶点，，是椭圆上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解】（1）由题意，得， 所以离心率． 椭圆的方程为．因为椭圆经过点， 所以，解得，， 所以椭圆的方程为． （2） 易知，设，，直线的方程为，且． 联立，消去得． 由，得． 所以，． 因为， 所以． 化简得． 所以，又， 化简得，解得，即直线恒过定点． 【例6-2】已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M． (1)求点M的坐标． (2)若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解】（1）， 解得，所以椭圆方程为， 又，所以右焦点， 当垂直x轴时，不妨设，根据对称性可知点在轴上， 且直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立， 消去得：， 则， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 令，解得，故点的坐标为. （2）如图， 由题意可得直线的方程为，即， 设，由题可知， 所以，故直线与垂直， 联立，消去得：， 则，， 所以， 同理，， 所以， 故为定值. 【例6-3】已知椭圆：经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程； (3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【解】（1）由椭圆经过点，且离心率为， 得到，解得，，故的方程为. （2）设，，由题意得， 因为线段PQ的中点为，所以，， 因为，，两式相减得， 所以，即，解得， 即直线的斜率为，故的方程为，即. （3）如图，设，当时， 可设切线的方程为，， 将与联立，得， 则，即， 且，， 所以，，代入，得， 将的坐标代入，得. 当时，，；当时，，， 而满足. 设，同理可得， 则点，都在直线上， 故直线的方程为，即， 由，得，故直线恒过定点. 【例6-4】已知过点的直线与椭圆交于两点．当直线垂直于轴时，． (1)求的方程． (2)探究是否存在实数，使得为定值．若存在，求出该定值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，定值为 【解】（1）将代入的方程，得，即， 所以，解得， 所以椭圆的方程为． （2）存在． ①当不垂直于轴时，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 又，， 所以， 所以， 若为定值，则，解得， 代入得； ②当垂直于轴时，由①知，不妨令，，有． 综上所述，存在使得为定值． 【题型7 椭圆中的定直线问题】 【例7-1】已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解答过程】（1），由椭圆定义知 ， 所以，又， 所以椭圆C的标准方程为 （2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为， 由，得．    显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 由①式可得， 代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 【例7-2】已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)离心率为，标准方程为 (2) (3)证明见解析 【解】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设是椭圆上一点，则， 因为 若时，则，，解得（舍去）， 若时，则，则，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. （3）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 【题型8 椭圆中的向量问题】 【例8-1】已知曲线的左、右焦点分别为、，是曲线上一动点. (1)求的周长； (2)过的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解】（1）因为曲线，该曲线为椭圆，且，，则， 所以，，故的周长为. （2）若直线与轴重合时， 若点为椭圆的左顶点，则、、， 则，，此时，， 若点为椭圆的右顶点，同理可知，. 设直线的方程，设点、， 联立，消去，得， 恒成立， 由韦达定理得：，， 因为，， 所以，则， 从而有，可得，， 即，可得，即， 所以直线的方程为. 【例8-2】已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解】（1）由题意得，整理得， 即，解得或. 当时，，此时C的离心率，符合题意； 当时，，此时C的离心率，不合题意，舍去， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立得， 因为直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B， 所以，整理得. 设，则， 所以 ， 因为，所以令，则， 由，得，即， 因为，所以，解得， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l与椭圆C的两交点分别为， 不妨取，则， 所以，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $