精品解析：2022年湖北省黄冈咸宁孝感三市中考数学模拟试题(七)

2022年黄冈咸宁孝感三市中考数学模拟试题（七） 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列不能表示“”的意义的是（　　） A. 2的a倍 B. a的2倍 C. 2个a相加 D. 2个a相乘 2. 如图是一个三棱柱，从正面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 若-2是关于的方程的解，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列与相连所得的直线与y轴平行的点为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下调查中适合作抽样调查的有（　　　） ①了解一批灯泡的使用寿命；②研究某种新式武器的威力；③审查一本书科学性的错误．④调查人们的环保意识． A. 4种 B. 3种 C. 3种 D. 1种 7. 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时， C. D. 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 2022年1月1日，国家航天局发布我国首次火星探测任务天问一号探测器回传的最新图像，向全国人民报告“天问一号”平安，致以节日问候．火星距离地球最近时达5500万公里，将5500万用科学记数法表示应为_______． 10. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则列方程组是_____． 11. 是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且．用表示R，则R＝_______ 12. 为了解班级同学在假期参加志愿者服务活动情况，小明随机调查了班级20名同学参加活动的时间，结果如图所示，则这组数据的众数是_____小时． 13. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、A、B、C均在格点上，则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为______． 14. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 15. 如图，已知直线l：y＝x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M3坐标为_____． 16. 如图，在矩形中，，，F为中点，P是线段上一点，设，连结并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段，连结、，则在点P从点B向点C的运动过程中，有下面四个结论：①当时，；②点E到边的距离为m；③直线一定经过点；④的最小值为．其中结论正确的是______．（填序号即可） 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出不等式：的解集． 19. 某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元． （1）求该种纪念品4月份的销售价格； （2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？ 20. 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母1，2，3，除所标号码不同外，其它完全相同． （1）从中随机摸出一个小球，摸出的小球所标号码是奇数的概率是______； （2）从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标号码相同的概率． 21. 如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且．FC=FE． （1）证明：∠BCE=∠ACE； （2）求证：CF是⊙O的切线； （3）若，，求的值． 22. 2021年2月25日全国脱贫攻坚总结表彰大会在人民大会堂隆重举行，毛相林被授予《全国脱贫攻坚楷模》称号．他带领村民发展柑橘、桃树、西瓜三大产业．若柑橘的种植成本为10元/斤，售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． （1）每日柑橘销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图函数关系式．求y与x之间的函数关系式； （2）若每天销售利润率在，求每日销售的最大利润； （3）毛相林带领科技队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少a元（），已知每日最大利润为2312元，求a的值． 23. 如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与射线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与射线CD相交于点F． （1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△OEC≌△OFD； （2）如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请证明：OC+CE＝CF； （3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请求出BE的长． 24. 【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为． 【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________． 【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为． ④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点． 【拓展应用】 （3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分别在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，． ①若，且四边形为正方形，求m的值； ②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年黄冈咸宁孝感三市中考数学模拟试题（七） 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列不能表示“”的意义的是（　　） A. 2的a倍 B. a的2倍 C. 2个a相加 D. 2个a相乘 【答案】D 【解析】 【分析】2个a相乘表示为a2，即可求解． 【详解】解：A、2的a倍表示为，故此选项不符合题意； B、a的2倍表示为，故此选项不符合题意； C、2个a相加表示为，故此选项不符合题意； D、2个a相乘表示为，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查代数式；理解代数式字母与数字之间的关系是解题的关键． 2. 如图是一个三棱柱，从正面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，是一行两个相邻的矩形， 故选：B． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，从正面看得到的是主视图． 3. 若-2是关于的方程的解，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程，化简求值即可得到答案． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 4. 下列与相连所得的直线与y轴平行的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了坐标的特征，与y轴平行的直线上的每一个点到y轴的距离都相等，即每点的横坐标都相同． 【分析】解：与相连所得的直线与y轴平行的点横坐标，一定与的横坐标相同， 各选项中只有符合， 故选∶B． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法与积的乘方，单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．利用完全平方公式，同底数幂的乘除法与积的乘方，单项式乘以单项式的法则分别计算得出即可． 【详解】A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故答案选：C． 6. 以下调查中适合作抽样调查的有（　　　） ①了解一批灯泡的使用寿命；②研究某种新式武器的威力；③审查一本书科学性的错误．④调查人们的环保意识． A. 4种 B. 3种 C. 3种 D. 1种 【答案】B 【解析】 【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查． 【详解】解：①调查具有破坏性，因而只能抽样调查； ②调查具有破坏性，因而只能抽样调查； ③书本科学性关系重大，因而必须全面调查调查； ④人数较多，因而适合抽样调查． 故选：B． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 7. 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形内角和等于180º求出∠ABC和∠EDF的度数，再根据平行线的性质可得∠ABD=∠EDF，利用角的和差即可求出∠CBD的度数． 【详解】∵△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º， ∴∠ABC=180º-90º-60º=30º． ∵△DEF中，∠F=90º，∠E=45º， ∴∠EDF=180º-90º-45º=45º． ∵AB∥CF， ∴∠ABD=∠EDF=45º． ∴∠CBD=∠ABD-∠ABC =45º-30º =15º． 故选B 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理和平行线的性质定理是解题的关键． 8. 二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=-1,判断选项C；令x=1,判断选项D,即可解答． 【详解】解：A、对称轴为：直线 ，故选项A正确，不符合题意； B、由函数图象知，当-1<x<2时，函数图象在x轴的下方， ∴当-1<x<2时，y<0，故选项B正确，不符合题意； C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0， ∴a +c=b，故选项C正确，不符合题意； D、由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0 ∴a+b<-c，故选项D错误，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系． 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 2022年1月1日，国家航天局发布我国首次火星探测任务天问一号探测器回传的最新图像，向全国人民报告“天问一号”平安，致以节日问候．火星距离地球最近时达5500万公里，将5500万用科学记数法表示应为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用科学记数法的形式表示即可． 【详解】解：5500万 故答案为： 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，注意：中，，n是正整数，且等于原数的整数位数减1． 10. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则列方程组是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据总马匹数和总瓦数两个等量关系，即可列出对应的方程组． 【详解】解：设小马有匹，大马有匹．由题意可得 ． 11. 是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且．用表示R，则R＝_______ 【答案】 【解析】 【分析】先找出最简分母，方程两边同乘以最简公分母，再求即可． 【详解】解：方程两边同乘， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了分式方程的解法．解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母， 12. 为了解班级同学在假期参加志愿者服务活动情况，小明随机调查了班级20名同学参加活动的时间，结果如图所示，则这组数据的众数是_____小时． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫众数即可求解． 【详解】根据图象可知，3小时的人数最多，为6人， 所以众数是3小时． 故答案为：3． 【点睛】本题考查求众数．掌握众数的定义是解答本题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、A、B、C均在格点上，则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为______． 【答案】（1，4） 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质，作线段AB和BC的垂直平分线，其交点即为圆心，即可解答． 【详解】如图，分别作线段AB和BC的垂直平分线，其交点D，即为过A、B、C三点的圆的圆心． 根据图可知D点，即圆心坐标为(1，4)． 故答案为：(1，4)． 【点睛】本题考查三角形外接圆的圆心．掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键． 14. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于点F，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，，，（海里）， ， ． 过点B作于点F，如图： 在中，， （海里）， 在中，， （海里）． 即灯塔C与码头B的距离是海里． 15. 如图，已知直线l：y＝x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M3坐标为_____． 【答案】（27，0）##（128，0） 【解析】 【分析】根据直线l的解析式求出∠MON=60°，从而得到∠MNO=∠OM1N=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OM1=22•OM，然后表示出OMn与OM的关系，再根据点Mn在x轴上写出坐标即可． 【详解】解：∵直线l：y＝x， ∴∠MON＝60°， ∵NM⊥x轴，M1N⊥直线l， ∴∠MNO＝∠OM1N＝90°﹣60°＝30°， ∴ON＝2OM，OM1＝2ON＝4OM＝22•OM， 同理，OM2＝22•OM1＝（22）2•OM， …， OMn＝（22）n•OM＝22n•2＝22n+1， 所以，点M3的坐标为（27，0）， 故答案为：（27，0）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出变化规律是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，，F为中点，P是线段上一点，设，连结并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段，连结、，则在点P从点B向点C的运动过程中，有下面四个结论：①当时，；②点E到边的距离为m；③直线一定经过点；④的最小值为．其中结论正确的是______．（填序号即可） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①当在点的右边时，得出即可判断； ②证明出即可判断； ③根据为等腰直角三角形，得出都是等腰直角三角形，得到即可判断； ④当时，有最小值，计算即可． 【详解】解：， 为等腰直角三角形， ， 当在点的左边时， ， 当在点的右边时， ， 故①错误； 过点作， 在和中， 根据旋转的性质得：， ， ， ， ， 故②正确； 由①中得知为等腰直角三角形， ， 也是等腰直角三角形， 过点， 不管P在上怎么运动， 得到都是等腰直角三角形， ， 即直线一定经过点， 故③正确； 是等腰直角三角形， 当时，有最小值， ， 为等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理： ， ， 故④正确； 故答案是：②③④． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】9 【解析】 【详解】解：原式 18. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出不等式：的解集． 【答案】（1）；一次函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】（1）将、代入反比例函数解析式中，即可求出m和n的值，进而求出反比例函数的解析式；确定直线的解析式，并确定出直线与x轴的交点，进而求出点A的坐标，确定一次函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【小问1详解】 解：把、代入反比例函数中， 得 解得 反比例函数的解析式为，、 延长交x轴于点M， 设直线的函数解析式为， 把、代入得， ，解得， 直线的函数解析式为， 当时，， ， 轴，， ， ， 在和中， ， ， 把，代入一次函数中， 得，解得 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：观察图象可得，不等式的解集为． 19. 某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元． （1）求该种纪念品4月份的销售价格； （2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？ 【答案】（1）50元；（2）900元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）等量关系为：4月份营业数量=5月份营业数量﹣20； （2）算出4月份的数量，进而求得成本及每件的盈利，进而算出5月份的售价及每件的盈利，乘以5月份的数量即为5月份的获利． 解：（1）设该种纪念品4月份的销售价格为x元． 根据题意得， 20x=1000 解之得x=50， 经检验x=50是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴该种纪念品4月份的销售价格是50元； （2）由（1）知4月份销售件数为（件）， ∴四月份每件盈利（元）， 5月份销售件数为40+20=60件，且每件售价为50×0.9=45（元），每件比4月份少盈利5元，为20﹣5=15（元）， 所以5月份销售这种纪念品获利60×15=900（元）． 考点：分式方程的应用． 20. 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母1，2，3，除所标号码不同外，其它完全相同． （1）从中随机摸出一个小球，摸出的小球所标号码是奇数的概率是______； （2）从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标号码相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从中随机摸出一个小球，摸出的小球所标号码是奇数的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由列表得： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 由列表可知可能出现的结果共9种，其中两次摸出的小球所标号码相同的情况数有3种， 所以该同学两次摸出的小球所标号码相同的概率＝． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且．FC=FE． （1）证明：∠BCE=∠ACE； （2）求证：CF是⊙O的切线； （3）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得出结论； （2）证出∠OCF=90°，由切线的判定可得出结论； （3）设BC=4x，CF=5x，由勾股定理得出（4x）2+（5x-2）2=（5x）2，求出x=1，证明△FBC∽△FCA，由相似三角形的性质得出，求出AF，AE的长，证明△AED∽△CEB，得出比例线段，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵点D是的中点 ∴， ∴∠BCE=∠ACE 【小问2详解】 证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠BEC+∠BCE=90°， ∵FC=FE， ∴∠FCE=∠FEC， 由（1）可知∠BCE=∠ACE ∴∠FCE+∠ACE=90° ∴∠OCF=90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线； 【小问3详解】 在Rt△FBC中，BE=2，， ∴， 设BC=4x，CF=5x， ∵BC2+BF2=CF2， ∴（4x）2+（5x-2）2=（5x）2， ∴x=1或x=（舍去）， ∴BC=4，CF=5，BF=3， ∵∠CBF=∠ACF=90°，∠F=∠F， ∴△FBC∽△FCA， ∴， ∴， ∴CA=， ∵， ∴， ∴AF=， ∴， 连接DA， ∵∠DAE=∠BCE，∠AED=∠CEB， ∴△AED∽△CEB， ∴， ∴AE•BE=DE•CE， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键． 22. 2021年2月25日全国脱贫攻坚总结表彰大会在人民大会堂隆重举行，毛相林被授予《全国脱贫攻坚楷模》称号．他带领村民发展柑橘、桃树、西瓜三大产业．若柑橘的种植成本为10元/斤，售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． （1）每日柑橘销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图函数关系式．求y与x之间的函数关系式； （2）若每天销售利润率在，求每日销售的最大利润； （3）毛相林带领科技队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少a元（），已知每日最大利润为2312元，求a的值． 【答案】（1） （2）1408元 （3）的值为4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键． （1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，把和代入即可求出结果； （2）由每天销售利润率不低于，且不高于可求出的取值范围，设每日销售利润为元，利用二次函数模型即可求出最大利润； （3）设成本每斤减少元后每日销售利润为元，由和确定当时，利润最大，从而得出关于的方程，解出方程即可求得的值． 【小问1详解】 解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为， 由题意得：当时，；当时，； ， 解得：， ， 答：与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 设每日销售利润为元， ， ， 开口向下， 对称轴为：直线，， 随 的增大而增大， 当时，利润最大为（元， 答：每日销售的最大利润为1408元． 【小问3详解】 解：设成本每斤减少元后每日销售利润为元，则， 对称轴为：直线， ， ， ， 当时，利润最大， ， 解得：，（不合题意舍去）， 答：的值为4． 23. 如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与射线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与射线CD相交于点F． （1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△OEC≌△OFD； （2）如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请证明：OC+CE＝CF； （3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请求出BE的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3或5 【解析】 【分析】（1）利用ASA证明△AEC≌△AFD即可得出结论； （2）过点O作OH∥BC，交CF于H，可知△COH是等边三角形，再利用ASA证明△OHF≌△OCE，从而解决问题； （3）作BH⊥AC于H，当点O在线段AH上，点F在线段CD上时，利用ASA证明△ONE≌△OCF，得CF=NE，OC=CN，从而得出BE的长；当点O在线段CH上，点E在线段BC上时，同理可得答案． 【小问1详解】 证明：∵△ABC与△ACD为正三角形， ∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠BCA＝∠ADC＝∠DAC＝60°， ∵将射线OM绕点O逆时针旋转60°， ∴∠EAF＝60°， ∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAF＝60°， ∴∠EAC＝∠DAF，且AC＝AD， 在△AEC与△AFD中， ， ∴△AEC≌△AFD（ASA）， 【小问2详解】 证明：如图，过点O作OH∥BC，交CF于H， ∴∠HOC＝∠BCA＝60°，∠OHC＝∠HCE＝60°， ∴△COH是等边三角形， ∴OC＝CH＝OH， ∵∠EOF＝∠COH＝∠CHO＝∠BCA＝60°， ∴∠COE＝∠FOH，∠OCE＝∠OHF＝120°，OH＝OC， 在△OHF与△OCE中， ， ∴△OHF≌△OCE（ASA）， ∴CE＝FH， ∵CF＝CH+FH， ∴CF＝CO+CE； 【小问3详解】 作BH⊥AC于H， ∵AB＝6，AH＝CH＝3， ∴BH＝AH＝3， 当点O在线段AH上，点F在线段CD上时， ∵OB＝2， ∴OH＝＝1， ∴OC＝3+1＝4， 过点O作ON∥AB，交BC于N， ∴△ONC是等边三角形， ∴ON＝OC＝CN＝4，∠NOC＝∠EOF＝60°＝∠ONC＝∠OCF， ∴∠NOE＝∠COF，ON＝OC，∠ONC＝∠OCF， 在△ONE与△OCF中， ， ∴△ONE≌△OCF（ASA）， ∴CF＝NE， ∴CO＝CE+CF， ∵OC＝4，CF＝1， ∴CE＝3， ∴BE＝6﹣3＝3， 当点O在线段CH上，点E在线段BC上时， 同法可证：OC＝CE+CF， ∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝2，CF＝1， ∴CE＝1， ∴BE＝6﹣1＝5， 综上所述，满足条件的BE的值为：3或5． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造等边三角形是解题的关键． 24. 【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为． 【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________． 【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为． ④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点． 【拓展应用】 （3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分别在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，． ①若，且四边形为正方形，求m的值； ②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值． 【答案】（1）y＝x2，y＝x2+2x－5；（2）①②③；（3）①m的值为；②a的值为－或或或 【解析】 【分析】（1）根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，据此求解即可； （2）根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得； （3）①根据题意可得：二次函数L1：，二次函数L2：，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据四边形为正方形，得出方程求解即可； ②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据题意：四边形的邻边之比为1：2，得出或，求解即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴函数的“友好对称二次函数”为； ，原函数的对称轴为：， ∴， ∴，， ∴函数的“友好对称二次函数”为，, 故答案为：；； （2）∵， ∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确； ∵， ∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确； 由定义，的“友好对称二次函数”为，③正确； 若，则其“友好对称二次函数”为，此时这两条抛物线与x轴都没有交点，④错误； 故答案为：①②③； （3）二次函数L1：的对称轴为直线，其“友好对称二次函数”L2：． ①∵， ∴二次函数L1：，二次函数L2：， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ， ∵四边形为正方形， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴m的值为； ②当时，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵四边形的邻边之比为1：2， ∴或， 即或， 解得：，，，， ∴a的值为－或或或． 【点睛】题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $