精品解析：2022年湖北省黄冈市麻城华英学校九年级数学中考模拟试题二

华英学校2022年九年级中考模拟（二） 数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，共24．0分） 1. 实数的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 计算 (-a)2·a3结果是 （ ） A. a6 B. a5 C. -a6 D. -a5 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子原高1丈（1长=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是黄球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，记下颜色，则摸出的2个球颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 8. 如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，共24．0分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 10. 计算的结果是______． 11. 某学校举行图书义卖活动，将所售款项捐给家庭贫困的学生．某班级在这次义卖活动中，售书情况如表所示，则这些图书售价的中位数是_______元． 售价/元 3 4 5 6 数量/本 18 15 12 20 12. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据，，) 13. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点D．若，则的长为_________． 14. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是________． 16. 如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点P是斜边AB上一动点过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则图象上最高点M的坐标是_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72．0分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元． （1）求每副围棋和象棋各是多少元？ （2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？ 19. 2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有_________人； （2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为_________； （3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 21. 如图，⊙O是ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长． 22. 某工厂生产A，B两种型号的环保产品，A产品每件利润200元，B产品每件利润500元，该工厂按计划每天生产两种产品共50件，其中A产品的总利润比B产品少4000元． （1）求该厂计划每天生产A产品和B产品各多少件？ （2）据市场调查，B产品的需求量较大，该厂决定在日总产量不变的前提下增加B产品的生产，但B产品相比原计划每多生产一件，每件利润便降低10元．设该厂实际生产B产品的数量比原计划多x件，每天生产A，B产品获得的总利润为ω元． ①求总利润ω的最大值； ②若每生产一件环保产品，政府给予a元的补贴，要使该厂每日利润不少于17200元，试求a的最小值． 23. 如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF． （1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变． ①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论； ②若BD=7，AE=，求DF的长； （2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长． 24. 如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），C三点． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ⊥x轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE，若△BDE∽△CEB，求D点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华英学校2022年九年级中考模拟（二） 数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，共24．0分） 1. 实数的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答． 【详解】解：的相反数是． 2. 计算 (-a)2·a3结果是 （ ） A. a6 B. a5 C. -a6 D. -a5 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则求解即可求得答案． 【详解】-a2•a3=-a5 故选B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法知识，解题的关键是熟记法则． 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误； B、是中心对称图形，故选项正确； C、不是中心对称图形，故选项错误； D、不是中心对称图形，故选项错误． 4. 如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：俯视图是矩形中间有一个圆，圆与两个长相切， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要通过仔细观察和想象． 5. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子原高1丈（1长=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 6. 一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是黄球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，记下颜色，则摸出的2个球颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图，共有9种等可能的情况，摸出的2个球颜色相同的有5种情况，再由概率公式求解即可． 【详解】根据题意画树状图如下： 共有9种等可能的情况，摸出的2个球颜色相同的有5种情况， ∴摸出的2个球颜色相同的概率是， 故选：D． 【点睛】本题考查用列表法或树状图求概率，掌握概率的求解方法是解题的关键． 7. 如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，延长交于点T，设的半径为r，证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【详解】解：连接，延长交于点T，设的半径为r， ∵C为优弧的中点， ∴， 由垂径定理得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据， ∴ 解得． 8. 如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得，，可知，可判断①正确；利用，，可知，则②正确；利用，得，且，可知③正确；延长交于，由，得，可判断④正确，进而可得答案． 【详解】解：四边形与四边形都是正方形， ，，，， ，，， ，故①正确； ，， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ，又， ，故③正确， 如图，延长交于， ， ， ， ，故④正确； 正确的是①②③④，共4个． 二、填空题（本大题共8小题，共24．0分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)，分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解． 【详解】解：代数式有意义，则， 解得：且， 故答案为：且． 10. 计算的结果是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同分母分式的减法法则计算． 先对分子因式分解，再约分得到结果． 【详解】解：原式． 11. 某学校举行图书义卖活动，将所售款项捐给家庭贫困的学生．某班级在这次义卖活动中，售书情况如表所示，则这些图书售价的中位数是_______元． 售价/元 3 4 5 6 数量/本 18 15 12 20 【答案】 4 【解析】 【分析】先计算售书总数量，确定中位数的位置，再按从小到大顺序找到对应位置的售价即可． 【详解】解：计算售书总数量，得 ，总共有65个售价数据， 将所有售价数据从小到大排列， ∵数据个数是奇数，中位数是排列后最中间的第 个数据， 售价3元共有18个数据，接下来售价4元共有15个数据，可得 ， ∴第33个数据是4，即这些售价的中位数为4． 12. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据，，) 【答案】438 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】解：由题意得，， 在中，， （米）， 在中，， 则（米）， 则（米）， 故答案是：． 【点睛】本题查考了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是：能借助构造的直角三角形求解． 13. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点D．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过D点作于E点，则，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：过D点作于E点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， 由作法得平分， 而，， ∴． 14. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案． 【详解】解：对不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵原不等式组无解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是________． 【答案】（2022，0） 【解析】 【分析】计算P点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第2022秒P点位置． 【详解】解：由题意可知，点P运动一个半圆所用的时间为：（秒）， ∵2022=1011×2， ∴2022秒时，P在第1011个半圆的最末尾处， ∴点P的坐标为（2022，0）． 故答案为：（2022，0）． 【点睛】本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，找出运动规律的同时也要考虑坐标系位置是解题的关键． 16. 如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点P是斜边AB上一动点过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则图象上最高点M的坐标是_____． 【答案】（12，24） 【解析】 【分析】当点Q在线段AC上时，y＝AP×PQ＝x×x×tanA＝x2，当点Q在点C处时，即x＝ACcosA＝12，y为最大值，即可求解． 【详解】解：由图2知，AB＝16， 则BC＝8，AC＝， 则△ABC的高＝， 当点Q在线段AC上时， y＝AP×PQ＝x×x×tanA＝x2， 当点Q在点C处时，即x＝ACcosA＝12， y＝＝，为最大值， 即点M（4，8）， 故答案为：（12，24）． 【点睛】本题考查的知识点是动点问题的函数图象，解题的关键是由题目得出该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下. 三、解答题（本大题共8小题，共72．0分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为． 【解析】 【分析】据分式乘法计算法则化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： 当时，原式． 18. 某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元． （1）求每副围棋和象棋各是多少元？ （2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？ 【答案】（1）每副围棋18元，则每副象棋10元；（2）该校最多可再购买25副围棋． 【解析】 【分析】（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x﹣8）元，根据420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量列出方程并解答； （2）设购买围棋m副，则购买象棋（40﹣m）副，根据题意列出不等式并解答． 【详解】解：（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x﹣8）元， 根据题意，得＝． 解得x＝18． 经检验x＝18是所列方程的根． 所以x﹣8＝10． 答：每副围棋18元，则每副象棋10元； （2）设购买围棋m副，则购买象棋（40﹣m）副， 根据题意，得18m+10（40﹣m）≤600． 解得m≤25， 故m最大值是25． 答：该校最多可再购买25副围棋． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 19. 2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有_________人； （2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为_________； （3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）180；（2）126°；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据跳水的人数及其百分比求得总人数； （2）先求出田径及游泳的人数，再用总人数减去田径人数、游泳人数、跳水人数即可得到篮球人数，求出其所占总数的百分比，最后乘以360°即可得到结果； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．. 【详解】（1）54÷30%=180（人） 故答案为：180； （2）田径人数：180×20%=36（人）， 游泳人数：180×15%=27（人）， 篮球人数为：180-54-36-27=63（人） 图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：126°； （3）画树状图如下： 由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种． 所以P（恰好选中甲、乙两位同学）=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）由点，在反比例函数图象上，得横纵坐标乘积相等，求出，再用待定系数法求一次函数表达式． （2）先求出点，坐标，再设，利用直线与轴的交点把的面积转化为含的式子，由面积关系列方程求解． 【小问1详解】 解：点，在反比例函数的图象上， ， 或0（舍去） ，， ， 反比例函数的表达式为． 设一次函数的表达式为， 把，代入，得 ， 解得，， 一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：作直线， 直线经过原点和点， 直线的表达式为． 联立与，得 ， 解得或， 点的坐标为． 直线的表达式为， 令，得， 点的坐标为， ． 点到轴的距离为， ． 设点的坐标为． ． 点，到轴的距离分别为，， ． ， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 21. 如图，⊙O是ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长． 【答案】 （1）连接， 是的直径， ， ， 又， ， 又． ， 即， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2），， ， 在中， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， 又， 即， 解得（取正值）， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． 22. 某工厂生产A，B两种型号的环保产品，A产品每件利润200元，B产品每件利润500元，该工厂按计划每天生产两种产品共50件，其中A产品的总利润比B产品少4000元． （1）求该厂计划每天生产A产品和B产品各多少件？ （2）据市场调查，B产品的需求量较大，该厂决定在日总产量不变的前提下增加B产品的生产，但B产品相比原计划每多生产一件，每件利润便降低10元．设该厂实际生产B产品的数量比原计划多x件，每天生产A，B产品获得的总利润为ω元． ①求总利润ω的最大值； ②若每生产一件环保产品，政府给予a元的补贴，要使该厂每日利润不少于17200元，试求a的最小值． 【答案】（1）每天生产A产品30件，生产B产品20件； （2）①总利润ω的最大值为16250元；②a的最小值19 【解析】 【分析】（1）设每天生产A产品a件，则每天生产B产品（50﹣a）件，由题意列出方程可得答案； （2）①根据题意列出函数解析式，由二次函数的性质求最值；②根据该厂每日利润不少于17200元列出不等式，然后由（x﹣5）2≥0，得出﹣95+5a≥0，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每天生产A产品a件，则每天生产B产品（50﹣a）件， 由题意得：500（50﹣a）﹣200a＝4000， 解得a＝30， 50﹣30＝20（件）， ∴每天生产A产品30件，生产B产品20件； 【小问2详解】 ①由题意得， ω＝（500﹣10x）（20+x）+200（30﹣x）＝﹣10x2+100x+16000＝﹣10（x﹣5）2+16250， ∵﹣10＜0， ∴当x＝5时，w有最大值，最大值为16250， ∴总利润ω的最大值为16250元； ②由题意得：ω＝﹣10x2+100x+16000+50a， ∵该厂每日利润不少于17200元， ﹣10x2+100x+16000+50a≥17200， 则﹣10x2+100x+16000+50a≥17200， ﹣10x2+100x≥1200﹣50a， x2﹣10x≤﹣120+5a， x2﹣10x+25≤﹣120+5a+25， （x﹣5）2≤﹣95+5a， ∵（x﹣5）2≥0， ∴﹣95+5a≥0， 解得：a≥19， ∴a的最小值19． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，一元一次方程的应用；解题的关键是根据题意列出关系式并熟练掌握二次函数的图象性质． 23. 如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF． （1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变． ①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论； ②若BD=7，AE=，求DF的长； （2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长． 【答案】 （1）①AE=BF； 证明：∵ABCD为矩形， ∴AC=BD，OA=OB=OC=OD， ∵△COD绕点O旋转得△EOF， ∴OC=OE，OD=OF，∠COE=∠DOF ∵∠BOD=∠AOC=180° ∴∠BOD-∠DOF=∠AOC-∠COE 即∠BOF=∠AOE ∴△BOF≌△AOE（SAS）， ∴BF=AE ②DF=； （2）DF=． 【解析】 【分析】（1）①利用矩形的性质，旋转的性质得到∠BOF=∠AOE，证明△BOF≌△AOE可得结论， ②利用矩形性质与旋转性质证明△BFD为直角三角形，从而可得答案， （2）利用平行四边形的性质与旋转的性质，证明△AOE∽△BOF，求解BF，再证明△BDF是直角三角形，从而可得答案． 【详解】（1）①略 ②∵OB=OD=OF， ∴∠BFD=90° ∴△BFD为直角三角形， ∴， ∵BF=AE ∴ ∵BD=7，AE= ∴DF= （2））∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC=OA=AC=3，OB=OD=BD=5， ∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△FOE， ∴OC=OE，OD=OF，∠EOC=∠FOD ∴OA=OE，OB=OF，∠EOA=∠FOB ∴ ，且∠EOA=∠FOB ∴△AOE∽△BOF， ∴ ∵OB=OF=OD ∴△BDF是直角三角形， ∴ 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明△AOE∽△BOF是解本题的关键． 24. 如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），C三点． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ⊥x轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE，若△BDE∽△CEB，求D点坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在，P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），P3（，4﹣5）；（3）D（，0）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得抛物线的表达式； （2）先求出直线BC的解析式，分三种情况：当PB＝QB，PQ＝BQ，PQ＝PB时，设P（a，﹣a2+4a﹣3），可表示出三条线段长，则解方程可求出P点坐标； （3）证得△ABE∽△ACB可得比例线段求出AE长，当△BDE∽△CEB时可求出D点坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0）， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线解析式y＝﹣x2+4x﹣3； （2）存在点P使得△BPQ为等腰三角形， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴ ， 解得：k＝1，b＝﹣3， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 设P（a，﹣a2+4a﹣3），则Q（a，a﹣3），可分三种情况考虑： ①当PB＝BQ时，由题意得P、Q关于x轴对称， ∴﹣a2+4a﹣3+a﹣3＝0， 解得：a＝2，a＝3（舍去）， ∴P（2，1）， ②当PQ＝BQ时，（﹣a2+3a）2＝2（a﹣3）2， ∴a＝ ，a＝﹣ （舍去），a＝3（舍去）， ∴P（，4﹣5）， ③当PQ＝PB时，有（﹣a2+3a）2＝（a﹣3）2+（a2﹣4a+3）2， 整理得：a2＝1+（a﹣1）2， 解得a＝1． ∴P（1，0）． 综上所述：P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），P3（，4﹣5）； （3）∵△BDE∽△CEB， ∴∠ABE＝∠ACB， ∵∠BAE＝∠CAB， ∴△ABE∽△ACB， ∴ ， 又∵AC＝ ， ∴AE＝ ， ∵DEBC，设D（m，0）， ∴ ， ∴ ， ∴m＝ ， ∴D（，0）． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，相似三角形的性质并分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $