1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 本同步练习聚焦空间向量的距离与夹角问题，通过基础梳理+分层题型设计，实现从概念理解到综合应用的递进，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一夹角（异面直线、线面、面面）与距离（点面、点线）计算|以选择填空为主，直接应用公式，如单选题1-5、填空题6-9| |能力提升|综合夹角/距离及空间关系判断|增加空间几何情境，需转化条件，如填空题10-13涉及正方体、长方体复杂关系| |综合应用|线面关系证明与夹角计算|结合证明与计算，体现逻辑推理与数学表达，如解答题14-15需建系论证与求解|

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（北京专用） 教材知识梳理 1．夹角 （1）求异面直线所成的角 若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=______ . （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有______=_______. （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则________为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则=______=_______ （4）求平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_________=___________. 【答案】 2． 距离 （1）点到平面的距离 设平面的法向量为是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离_____ 提醒：用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距. 【答案】 （2）点P到直线l的距离：设是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上的投影向量.在中，由勾股定理，得______. 【答案】 【详解】根据投影向量公式和勾股定理得. 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京·期中）在正方体中，为的中点，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可． 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示： 不妨设正方体的棱长为2， 则, 得, 则， 设与所成角为， 则， 则与所成角为大小为. 故选：B 2．（25-26高二上·北京·期末）如图，在长方体中，，，那么直线与平面所成的角的余弦值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    由，得， 则，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 因此，， 所以直线与平面所成的角的余弦值是. 故选：A 3．（21-22高二上·北京·期末）已知长方体中，，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，代入向量公式，即可求二面角的余弦值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以． 设平面的法向量为， 则， 令，则． 易知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 故选：A． 4．（17-18高二上·陕西·期中）已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 5．（21-22高二上·北京昌平·期中）已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 二、填空题 6．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为_______．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则 , 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·北京·期末）在直三棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】根据条件建立空间直角坐标系，表示向量，结合公式求解即可得到结果. 【详解】 设，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ∴， ∴， ∴与所成角的余弦值为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知正方体，则以下结论正确的是________． ①直线与所成的角为 ②直线与所成的角为 ③直线与平面所成的角为 ④直线与平面所成的角为 【答案】①②④ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对四个结论进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的边长为，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， ，所以直线与所成的角为，①正确. ，所以直线与所成的角为，②正确. ，设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成的角为， 则，由于，所以，③错误. 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则, 由于，所以，④正确. 故答案为：①②④    9．（23-24高二上·北京·期中）已知在空间直角坐标系（O为坐标原点）中，点，点，则z轴与平面OAB所成的线面角大小为______. 【答案】/ 【分析】先求出平面法向量，再求z轴与平面法向量夹角的余弦值，最后求线面角. 【详解】因为， 令平面的法向量为，则， 即，解得， 令，则， 又z轴的方向向量为， 设z轴与平面的夹角为 所以，所以， 故答案为： 10．（23-24高二上·北京·阶段检测）已知长方体中，，，则平面与平面所成的角的余弦值为____________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为， 则平面与平面所成角的余弦值． 故答案为：． 11．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知点，向量，平面经过原点，且与向量垂直，则点A到平面的距离为_______. 【答案】 【分析】求出，再利用点到平面的距离公式，求出答案. 【详解】由题知，设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为， 故答案为：. 12．（25-26高二上·北京平谷·期末）在棱长为1的正方体中，为中点，则点到平面的距离为____________. 【答案】 【分析】建立坐标系，利用点面距的向量求解公式可得答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，；设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设点到平面的距离为，则. 故答案为：    13．（23-24高二上·北京昌平·阶段检测）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是______ 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 则， 设与异面直线和都垂直的向量为， 则，令，则， 又，故异面直线和间的距离是， 故答案为： 三、解答题 14．（2026·北京顺义·二模）如图，在四棱锥中，平面平面， 是棱上一点，满足 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) ∵ 平面平面，且平面平面， 平面，， 由面面垂直的性质定理， ∴ 平面. (2) 【分析】利用面面垂直的性质，结合即可证明线面垂直； 以为原点建立空间直角坐标系，通过求两个平面的法向量夹角即可得到平面夹角的余弦值。 【详解】（1）略 （2）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意得，，，. ∵ ， ∴ ， ∴ . 由得 平面， ∴平面的一个法向量为 . 设平面的法向量为 ， ，， 则， 令，解得，，即 . 设平面与平面的夹角为， 则. 15．（2026·北京丰台·二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，直线交平面于点 . (1)求证： 为的中点； (2)若 是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明：因为平面平面，且平面平面，平面平面， 则，且，可得， 又因为为的中点，所以 为的中点. (2) 【分析】（1）根据面面平行的性质可得，进而可得，即可得结果； （2）建系并标点的坐标，设，，求平面的法向量，根据线面夹角列式求解即可. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则，整理可得，解得 ， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（北京专用) 教材知识梳理 1.夹角 (1)求异面直线所成的角 若两异面直线l1,12所成角为0，它们的方向向量分别为1，i2,则有c0s0= (2)求直线和平面所成的角 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与n的角为p, 则有sin0= (3)求二面角 如图，若PA⊥Q于A,PB⊥B于B,平面PAB交l于E,则为二面角C-I-B的 平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角Q-1-的平面角的大小为6，其两个面Q,β的法向 量分别为n1,n2,则cos0= (4)求平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平 面B的夹角cos0= 试卷第1页，共3页 n 1n2 2.距离 (1)点到平面的距离 设平面a的法向量为n是平面a内的定点，P是平面a外一点，则点P到平面a的距离d= 提醒：用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距 (2)点P到直线1的距离：设P=ā，“是直线1的单位方向向量，则向量亚在直线1上的 投影向量A0=(0i在Rt△APe中，由勾股定理，得PO=VAPP-A0=」 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(25-26高二上·北京·期中)在正方体ABCD-A1BC1D1中，E为CD的中点，则 A,E与CD,所成角的大小为() A君 R C. 3 2.(25-26高二上北京期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=DC=1, DD1=2,那么直线B1D1与平面ACD1所成的角的余弦值是() 试卷第2页，共3页 D D 1 c 2 A. 3 3 D.2 3.(21-22高二上北京期末)已知长方体ABCD-A1BC1D1中， AB=BC=4,CC,=2则平面A,BC,与平面ABCD所成角的余弦值为() 6 V3 2 1 A.3 B. 3 2 D.2 4.(17-18高二上陕西期中)已知平面a的一个法向量1=-2，-2,1点A-13,0在 Q内，则P(-2,1,4到平面的距离为() A.10 B.3 n号 5.(21-22高二上·北京昌平.期中)己知空间中三点 A(-1,0,0),B0,1,-1),C(-2,-1,2),则点C到直线AB的距离为() V6 V3 B.2 3 C.3 D.2 二、填空题 6.(24-25高二上北京密云期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, AD=DD1=1,则异面直线AC与DA1所成角的余弦值为 D C B D 试卷第3页，共3页 7.(24-25高二上北京期末)在直三棱柱ABC-A1BC1中， ∠ACB=受，AC=BC=CC,点D是A,C的中点，则BD与AA,所成角的余弦值为 8.(24-25高二上·北京，阶段检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则以下结论正确的 是 ①直线BC1与DA1所成的角为90° ②直线BC1与CA1所成的角为90 ③直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° ④直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 9.(23-24高二上·北京·期中)己知在空间直角坐标系0-Xyz(O为坐标原点)中，点 A1,1,-1,点B(1,-1,1),则z轴与平面OAB所成的线面角大小为 10.(23-24高二上·北京·阶段检测)已知长方体ABCD-A1B,C1D1中，AB=BC=4, CC1=2,则平面A,BC1与平面ABCD所成的角的余弦值为 11.(25-26高二上北京海淀期末)已知点A-1,2,-1,向量i=1,-1,3,平面c经过 原点O,且与向量n垂直，则点A到平面的距离为 12.(25-26高二上北京平谷期末)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为 BC中点，则点E到平面AB1D1的距离为 13.(23-24高二上·北京昌平.阶段检测)在棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为A1B的中点，则异面直线D1E和BC1间的距离是 三、解答题 14.(2026·北京顺义·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD, PA⊥AB,AB⊥AD,AB‖CD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱PB上一点，满足 PB=3PM 试卷第4页，共3页 D (I)求证：PA⊥平面ABCD: (2)求平面ABCD与平面ACM夹角的余弦值 15.(2026北京丰台·二模)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC, AB=AC=AA1=2,E为A1B1的中点，直线A1C1交平面BCE于点F. A B (1)求证：F为A1C1的中点： 5CM 2)若M是棱CC1上一点，且直线AM与平面BCE所成角的正弦值为3，求CC的值 试卷第5页，共3页