1.3空间向量及其运算的坐标表示同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以基础巩固为核心，通过“概念辨析-运算应用-综合探究”三阶分层设计，全面覆盖空间向量坐标表示知识点，适配新授课知识内化与能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|空间直角坐标系定义、向量坐标运算|单选题1（向量加减）、4（对称点）直接对应教材梳理内容，强化概念记忆与公式直接应用| |中档|向量共面、投影、距离公式综合|单选题2（共面条件）、填空题13（投影向量）融合多公式应用，发展运算能力与逻辑推理| |综合|几何情境中的向量应用、最值问题|解答题16（模的最值）、单选题8（三棱锥距离）结合空间观念，体现数学思维与问题解决能力|

1.3空间向量及其运算的坐标表示（北京专用) 教材知识梳理 1.空间直角坐标系 (1)定义：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标 系Oy,然后过O作一条与」 垂直的数轴 轴.这样建立的空间直角坐标系 记作O-yz. (2)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组X,y,z来表示，有序实数组 x,y,z叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的，y叫做点M 的 ,Z叫做点M的 (3)空间两点间距离 ①点Px,y,z到坐标原点O0,0,0的距离OP= ②任意两点P1X1,y1,ZP2Xy2,Z2间的距离P,P2 2.设点P的坐标为x,y,z. (1)点P关于xOy平面的对称点的坐标是 (2)点P关于vOz平面的对称点的坐标是 (3)点P关于xOz平面的对称点的坐标是 (4)点P关于x轴的对称点的坐标是一： (5)点P关于y轴的对称点的坐标是 (6)点P关于z轴的对称点的坐标是 (7)点P关于坐标原点O的对称点的坐标是 3.设后=xy,2i=x,y2,2g小则有 向量运算 坐标表示 加法 a+b=」 减法 a-b= 数乘 λa=’λ∈R 试卷第1页，共3页 数量积 a6= 4.空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a=a1,a2,agi=b,b,bg则 平行(al a/i6≠d)~a=λ6 λ∈R 垂直ā上刮 a16ab=0。— ā'6均为非零向量) 模 la]-Va.a-Vaj+a+aj 夹角公式 cosa,6a·6 ab+a2b2+a3b3 1a6 Vaj+a+a3Vbj+b+b 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.（25-26商二上北京顺义期末)已知向量a=1,016=0,11则a+b=（） A.1,0,1 B.0,1,1 c.1,1,1 D.1,1,2 2.（25-26高=上北京阶段检测）已知a=2,136=-1,0-2'=3,2,若a方 c三个向量共面，则实数入的值为() A.5 B.4 C.3 D.2 3.(25-26高二上北京期中)三角形ABC中，A1,0,0,B4,-5,6,C0,1,0,则BC 边上的中线向量AD为() A.2,-2,3 B.1,-2,3 c.3,-4,6 D.-1,2,-3 4.（25-26高二上北京期中)在空间直角坐标系中，点A2,-1,3关于平面xOy的对称 点的坐标为() A.-2,-1,3B.2,1,3 C.2,-1,-3 D.-2,1,3 试卷第2页，共3页 5.(25-26高二上·北京延庆期中)若ABCD是平行四边形，且A2,-5,1、B2,-2,4、 C1,-4,1,则顶点D的坐标为() A.1,-7,-2 B.1,-1,4 C.1,-2,3 D.1,-6,-1 6.(25-26高二上·北京·阶段检测)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,1),B(3,2,2), 点D满足AD=2AB,则点D的坐标是() A.(5,4,3) B.(3,4,3) c.(4,3,2) D.（1,2,3 7。(24-25高二上北京期末)设x∈R向量ā=(1，x,16=(2,-4,2'a/16则 x=() A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 8.(24-25高三上·北京朝阳·期中)在三棱锥O-ABC中，棱OA,OB,OC两两垂直， 点P在底面ABC内，已知点P到OA,OB,OC所在直线的距离分别为1,2,2，则线段 OP的长为() A.32 2 B.33 C.3 D. 2 92 9.(25-26高二上·北京通州·期中)在空间直角坐标系0yz中，点A1,2,1关于x轴的对称 点为点B,点B在坐标平面Oyz内的射影为点C,则点C的坐标为() A.-1,-2,0B.0,-2,-1 C.0,-2,1 D.1,-2,1 10.(25-26高=上北京期中)已知向量à=1,00b=0,-1,1少则g+26为(） A.1 B.3 C.6 D.9 二、填空题 11.(25-26高二上·北京·期中)已知 AB=(2,-3,0),AC=(1,0,1),AD=(0,2,入)，若A,B,C,D四点共面，则入= 12.(25-26高二上·北京昌平.阶段检测)已知点A1,3,1,B1,3,4,若AP=2AB,则点 P的坐标是 试卷第3页，共3页 13.(24-25高二上北京阶段检测)已知a=2,-2,3,6=1,1,-2八则向量a在向量6上 的投影向量的坐标为 14.(2024北京东城：二模)如图，在六面体ABCD-A1B,C1D1中，平面ABCD∥平面 A1B1C1D1,四边形ABCD与四边形A1B,C1D1是两个全等的矩形.AB/∥A1B1, AD∥A1D1,AA1⊥平面ABCD.AB=B1C1=2,BC=A1B1=4,AA1=2,则BB1= 该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为 A 三、解答题 15.(24-25商=上北京期中)设x,y∈R向量ā=1,11)，6=1，y,1,=(z,-4,2” 且a1b,b11心 (1)求a+b: (2)求向量à+b与b-c夹角的余弦值， 16.(25-26高二上·河北阶段检测)已知空间向量i=x,y,1,i=x,-2,2x】 (①)若m‖n,求x+y的值： (2)若i⊥i,求y的最小值及此时x的值； 3)若而-=3：求(x-1P+(y+2P的最大值 试卷第4页，共3页 1.3空间向量及其运算的坐标表示（北京专用） 教材知识梳理 1．空间直角坐标系 （1）定义：在空间中任意选定一点作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系，然后过作一条与________垂直的数轴________轴．这样建立的空间直角坐标系记作． （2）空间中一点的坐标：空间一点的坐标可用有序实数组来表示，有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，其中叫做点的________，叫做点的________，叫做点的________． （3）空间两点间距离 ①点到坐标原点的距离________． ②任意两点，间的距离________． 【答案】 平面 横坐标（或坐标） 纵坐标（或坐标） 竖坐标（或坐标） 2．设点P的坐标为． （1）点P关于xOy平面的对称点的坐标是______； （2）点P关于yOz平面的对称点的坐标是______； （3）点P关于xOz平面的对称点的坐标是______； （4）点P关于x轴的对称点的坐标是______； （5）点P关于y轴的对称点的坐标是______； （6）点P关于z轴的对称点的坐标是______； （7）点P关于坐标原点O的对称点的坐标是______． 【答案】 3．设，，则有 向量运算 坐标表示 加法 ______ 减法 ______ 数乘 ______， 数量积 ______ 【答案】 4．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设，，则 平行 垂直 ______（，均为非零向量） 模 夹角公式 【答案】；；； 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京顺义·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加法坐标运算可得答案. 【详解】因为，，所以. 故选：D 2．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】应用向量共面的充要条件存在满足，列式计算求解. 【详解】由题意得，，， 若，，三个向量共面，则存在满足， 则，所以， 故选：B. 3．（25-26高二上·北京·期中）三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中点坐标公式求得中点坐标，再由终点坐标减去起点坐标得到向量坐标. 【详解】中点，则. 故选：B. 4．（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助空间直角坐标系性质计算即可得. 【详解】关于平面对称的两点横、纵坐标相等，竖坐标相反， 故点关于平面的对称点的坐标为. 故选：C. 5．（25-26高二上·北京延庆·期中）若是平行四边形，且、、，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，根据题意得出，结合空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】设点，因为四边形为平行四边形，故， 即，即，解得，即点. 故选：A. 6．（25-26高二上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可得、的坐标，根据条件，列出等式，即可得答案. 【详解】设，则，， 因为， 所以，解得，则. 故选：A 7．（24-25高二上·北京·期末）设，向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量共线的充要条件求解即可. 【详解】因为向量，，，所以存在，使得， 即，解得， 故选：C. 8．（24-25高三上·北京朝阳·期中）在三棱锥中，棱，，两两垂直，点在底面内，已知点到，，所在直线的距离分别为1，2，2，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由棱，，两两垂直建立空间直角坐标系，设点坐标，分别表示出到三条轴的距离，然后得出的值. 【详解】如图，棱，，两两垂直， 可以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 设，由题意可得：，∴， ∴， 故选：A 9．（25-26高二上·北京通州·期中）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，点在坐标平面内的射影为点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中点关于轴的对称及点在面上的射影求解. 【详解】因为点关于轴的对称点为点， 所以点在坐标平面内的射影为点， 故选：B 10．（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先求的坐标，再求向量模即可求解. 【详解】由题意有：， 所以. 故选：B. 二、填空题 11．（25-26高二上·北京·期中）已知，若四点共面，则______. 【答案】/ 【分析】根据空间向量共面定理，可设，根据对应坐标相等求得 【详解】由四点共面，可知存在实数m，n，使得， 即， 则有，解得 故答案为： 12．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知点，若，则点的坐标是_____ 【答案】 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点的坐标是， 故答案为： 13．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】因为， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14．（2024·北京东城·二模）如图，在六面体中，平面平面，四边形与四边形是两个全等的矩形.，，平面.，，，则________.该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为________. 【答案】 6 【分析】建系，求相关点的坐标，结合空间中两点间距离公式求两点间距离，即可得结果. 【详解】因为平面，且平面，则， 且，即两两垂直， 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 则； 要求六面体的任意两个顶点间距离的最大值，只需考虑各体对角线的距离， 则， 所以该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为. 故答案为：；6. 三、解答题 15．（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）首先利用向量的共线和向量的垂直求出向量的坐标，进一步求出向量的模； （2）利用向量的线性运算和向量的夹角运算求出结果. 【详解】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 16．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知空间向量. (1)若 ，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3) 【分析】（1）根据向量平行时的坐标关系，即可取得x，y的值，即可得答案. （2）根据向量垂直时的坐标关系，根据二次函数的性质，即可得答案. （3）根据求模公式，可得x，y的关系，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为 ， 所以， 当时，， 所以，不存在，所以； 当时，可得，解得， 所以 （2）因为， 所以，即， 所以当时，y的最小值为 （3）， 因为， 所以，即， 由，解得 则所求 ， 所以当时，的最大值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $