25.2.3 因式分解法（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

 第25章  一元二次方程

25.2 降次—解一元二次方程

25.2.3  因式分解法

【学习目标】

1. 理解因式分解法降次解一元二次方程的思路，会用因式分解法解一元二次方程.(重点)

2. 学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程.(难点)

3. 通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，体会转化的思想方法.

学习重点：会运用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.

学习难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.

【复习导入】

问题1：因式分解的方法有哪些？

(1) 提取公因式法：                         .

(2) 公式法：                         .

(3)十字相乘法：                         .

问题2：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？

 

 

                     

 

                      

【合作探究】

探究点1：因式分解法解方程

问题  根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度 (单位：m) 约为 10x－5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面?

 

 

用配方法和公式法解方程 10x－5x2 = 0.①

 

                      

 

                      

思考1  除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？

 

    

 

思考2  解方程①时，二次方程是如何降为一次的？

  

 

 

要点归纳：

因式分解法的概念：

先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.

因式分解法的基本步骤：

一移——                          ；

 

二分——                          ；

 

三化——                          ；

 

四解——                           .

简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.

 

 

典例精析

例1  解下列方程：

(1)；    (2)

 

 

 

 

练一练  1.解下列方程：

(1)  (x+1)2=5x+5；                         (2)x2-6x+9=(5-2x)2．

 

 

 

 

拓展提升：十字相乘法

运算法则：x2 + (p + q)x + pq= (x + p)(x + q)

条件：1. 多项式为二次三项式；

2. 多项式的常数项可分解成两个因数，且两个因数的和等于一次项系数.

简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.

 

 

典例精析

例2  解方程：x2 − 5x + 6 = 0.

 

 

 

 

 

 

步骤：

① 竖分常数项与二次项；

② 交叉相乘，积相加；

③ 检验确定，横写因式.

 

 

 

练一练  2.解下列方程：

(1)x2 - 6x + 8 = 0；                      (2)x2+4x-5=0；

 

 

 

 

 

 

 

探究点2：灵活选用适当的方法解方程

例2  用适当的方法解方程：

(1)  3x(x+5)=5(x+5)；        (2) (5x+1)2=1；

 

 

 

(3) x2－12x=4；              (4) 3x2 = 4x + 1.

 

 

 

 

 

 

练一练 3. 解方程：

(1)  3x²－6x =－3；                (2) 4x²－121=0.

 

 

 

 

(3) 2x2 − 5x +1 = 0；             (4) x2 + 4x − 2 = 2x + 3.

 

 

 

 

 

拓展提升

填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.

 

一元二次方程的解法	适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解