25.2.3 因式分解法（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过复习因式分解的提取公因式法、公式法、十字相乘法，以及已学的配方法、公式法，构建前后知识联系，为新知学习搭建支架。 以物理学上抛物体情境引入探究，引导学生对比不同解法发现因式分解法的简洁性，结合典例、分层练习及方法适用类型总结，培养学生抽象能力、推理意识和模型意识，助力学生学会根据方程特征选优解法，提升数学思维与应用能力。

第25章 一元二次方程 25.2 降次—解一元二次方程 25.2.3 因式分解法 【学习目标】 1. 理解因式分解法降次解一元二次方程的思路，会用因式分解法解一元二次方程.(重点) 2. 学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程.(难点) 3. 通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，体会转化的思想方法. 学习重点：会运用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 学习难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 【复习导入】 问题1：因式分解的方法有哪些？ (1) 提取公因式法： . (2) 公式法： . (3)十字相乘法： . 问题2：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 【合作探究】 探究点1：因式分解法解方程 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度 (单位：m) 约为 10x－5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面? 用配方法和公式法解方程 10x－5x2 = 0.① 思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？ 思考2 解方程①时，二次方程是如何降为一次的？ 要点归纳： 因式分解法的概念： 先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 因式分解法的基本步骤： 一移—— ； 二分—— ； 三化—— ； 四解—— . 简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解. 典例精析 例1 解下列方程： (1)； (2) 练一练 1.解下列方程： (1) (x+1)2=5x+5； (2)x2-6x+9=(5-2x)2． 拓展提升：十字相乘法 运算法则：x2 + (p + q)x + pq= (x + p)(x + q) 条件：1. 多项式为二次三项式； 2. 多项式的常数项可分解成两个因数，且两个因数的和等于一次项系数. 简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 典例精析 例2 解方程：x2 − 5x + 6 = 0. 步骤： ① 竖分常数项与二次项； ② 交叉相乘，积相加； ③ 检验确定，横写因式. 练一练 2.解下列方程： (1)x2 - 6x + 8 = 0； (2)x2+4x-5=0； 探究点2：灵活选用适当的方法解方程 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x(x+5)=5(x+5)； (2) (5x+1)2=1； (3) x2－12x=4； (4) 3x2 = 4x + 1. 练一练 3. 解方程： (1) 3x²－6x =－3； (2) 4x²－121=0. (3) 2x2 − 5x +1 = 0； (4) x2 + 4x − 2 = 2x + 3. 拓展提升 填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 当堂反馈 1.已知一元二次方程的两根分别为x1＝1，x2＝－3，则这个方程可以是(　　) A.(x－1)(x－3)＝0 B.(x－1)(x＋3)＝0 C.(x＋1)(x＋3)＝0 D.(x＋1)(x－3)＝0 2.[高频易错]方程x2＝2026x的根为(　　) A.x＝0 B.x＝2026 C.x1＝0，x2＝2026 D.无实数根 3.[教材变式]用因式分解法解下列方程： (1)3y2－6y＝0； 书写通关 解：因式分解，得　 　. ∴　 　. 解得y1＝　　，y2＝　　. (2) x2－3x＝x－3； (3) (2x－1)2＝(x＋3)2. 参考答案 【合作探究】 探究点1：因式分解法解方程 典例精析 例1 解：(1)因式分解，得(x－2)(x＋1)=0.∴x－2＝0或x＋1=0,解得x1=2，x2=－1. (2)移项、合并同类项，得4x2－1=0,因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. ∴2x＋1=0或2x－1=0， 解得 练一练 解：(1)∵(x+1)2=5(x+1)，∴(x+1)2-5(x+1)=0，则(x+1)(x-4)=0，∴x+1=0，或x-4=0， 即x1=4，x2=-1． (2)方程整理得(x-3)2-(5-2x)2=0，则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0，(2 − x)(3x − 8) = 0，∴2-x=0，或3x-8=0， 典例精析 例2 解：分解因式，得 (x − 2)(x − 3) = 0 . 于是 x − 2 = 0，或 x − 3 = 0， 即 x1 = 2，x2 = 3. 练一练 2.解：（1）分解因式，得(x-2)(x-4)=0，解得x1=2，x2=4； （2）分解因式，得(x+5)(x-1)=0，解得x1=-5，x2=1； 探究点2：灵活选用方法解方程 例3 解：（1）化简 (3x - 5) (x + 5) = 0.即 3x -5 = 0 或 x + 5 = 0. （2） 开平方,得5x + 1 = ±1. （3） 配方，得x2 - 12x + 62 = 4 + 62,即 (x - 6)2 = 40.开平方，得 （4） 解：化为一般形式3x2-4x-1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0, . 3. (1)解得 x1 = x2 = 1. (2) 解得 (3) (4) 填一填 从上到下，(ax + m)2 = n (a≠0，n≥0) x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 当堂检测 1.B　 2.C　 3.(1) 书写通关 解：因式分解，得　3y(y－2)＝0　. ∴　3y＝0或y－2＝0　. 解得y1＝　0　，y2＝　2　. (2)解法一：左边提公因式，得x(x－3)＝(x－3).移项， 得x(x－3)－(x－3)＝0. 提公因式，得(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1. 解法二：移项合并，得x2－4x＋3＝0. 因式分解，得(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1. (3)解：移项，得(2x－1)2－(x＋3)2＝0. 由平方差公式可得[(2x－1)－(x＋3)][(2x－1)＋(x＋3)]＝0， 即(x－4)(3x＋2)＝0，解得x1＝4，x2＝－. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $