25.2.1 配方法 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“解一元二次方程－配方法”，通过知识链接回顾平方根概念，以工人师傅修屋顶的梯子问题为情境引入直接开平方法，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生掌握直接开平方法和配方法。 特色在于以合作探究为主线，通过实际情境培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，借助填空归纳规律发展推理意识，当堂检测结合实际应用与代数证明，提升模型意识和运算能力，助力学生形成有条理的思维品质。

25.2.1 配方法 导学案 课题 解一元二次方程－配方法 学科 数学 年级 九年级上册 学习目标 1.会用直接开平方法、配方法解一元二次方程， 2.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能。 重点难点 重点：用直接开平方法和配方法解一元二次方程 难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n0)的形式. 教学过程 知识链接 1.如果x2=a，则x就叫做a的___________。 2.如果x2=a，则x=___________. 3.如果x2=64，则x=____________ 合作探究 知识1、直接开平方法 工人师傅为了修屋顶，把一梯子搁在墙上,梯子与屋檐的接触处到底端的长AB=5米,墙高AC=4米,问梯子底端点离墙的距离是多少? ●一般地,对于形如x2=p(p≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得这种解一元二次方程的方法叫做___________. ◆对于一元二次方程x2=p，如果p≥0，那么就可以用开平方法求它的根： ◆当p>0时,方程有两个不相等的根：__________________ ◆当p=0时,方程有两个相等的根：___________ ◆当p＜0时,方程______实数根。 例1、用开平方法解方程 （1）9x2=4 （2）（x+3）2=5 知识点2配方法 利用完成下列填空： (1)x2＋8x＋_________=(x＋_____)2 (2)x2－3x＋_____=(x－______)2 (3)x2－12x＋_________=(x－___)2 观察每个式子前后的两个数有什么特点？ 思考：怎样解方程？ 例2、用配方法解下列方程 （1）x2－8x+1 = 0； （2）； （3）． 归纳：一般地，对于方程 （1）当P＞0时，方程有两个不等的实数根:________________， （2）当P=0时，方程有两个相等的实数根______________________ （3）当P＜0时，方程___________实数根 自主尝试 知识1练习： 1、填空： (1)方程x2=0.36的根是__________；(2)方程2x2=8的根是__________； (3)方程(x+1)2=1的根是_________ 2、用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0 (2) (2x－3)2=7 （3）（x+6）2-9=0 （4）3（x-1）2-6=0 知识2练习： 解下列方程： 当堂检测 1.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是( ） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 2.用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( ) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 3.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（ ） A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 4.一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为( ) A．1 s B．2 s C．1 s或2 s D．不能确定 5.若a，b，c是△ABC三边长，且满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6.已知关于x的方程x2＋3mx＋m2＝0的一个根是x＝1，那么m＝_________ ． 7.已知x2＋y2＋4x＋6y＋13＝0且x，y为实数，则xy2＝____． 8.用配方法证明：无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于10. 9.已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a＋19. (1)求证：B－A＞0； (2)指出A与C哪个大？并说明理由． 小结反思 通过本节课学习你有哪些收获？有哪些疑惑？ 1、 你会利用直接开平方法和配方法来解一元二次方程？ 2、 希望大家注意配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。 25.2.1配方法 导学案 课题 解一元二次方程－配方法 学科 数学 年级 九年级上册 教学目标 1.会用直接开平方法、配方法解一元二次方程， 2.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能， 3.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重点难点 重点：用直接开平方法和配方法解一元二次方程 难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n0)的形式. 教学过程 知识链接 1.如果x2=a，则x就叫做a的___________。 2.如果x2=a，则x=___________. 3.如果x2=64，则x=____________ （前面我们认识到了什么是一元二次方程，那么怎么解一元二次方程呢？今天我们就来学习形如x2=n的方程的解法！） 合作探究 知识1、直接开平方法 工人师傅为了修屋顶，把一梯子搁在墙上,梯子与屋檐的接触处到底端的长AB=5米,墙高AC=4米,问梯子底端点离墙的距离是多少? 设BC=x,根据勾股定理，得　x2+42=52. 化简：x2=9, ∴x1==3,X2=-=-3 (不合题意，舍去）． ●一般地,对于形如x2=p(p≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. ◆对于一元二次方程x2=p，如果p≥0，那么就可以用开平方法求它的根： ◆当p>0时,方程有两个不相等的根： ◆当p=0时,方程有两个相等的根： ◆当p＜0时,方程没有实数根。 例1、用开平方法解方程 （1）9x2=4 解：两边同除以9，得 利用开平方法，得x= ∴原方程的根是x1=,x2= （2）（x+3）2=5 解：利用开平方法，得x+3= 可得x+3=,x+3= ∴原方程的根是x1=,x2= 注意：这种解法中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。 小结：一般来说，解形如ax2+c=0(其中a≠0)的一元二次方程，其步骤是： （1）通过移项、两边同除以a，把原方程变形为 （2）根据平方根的意义，可知 知识点2配方法 利用完成下列填空： (1)x2＋8x＋_________=(x＋_____)2 (2)x2－3x＋_____=(x－______)2 (3)x2－12x＋_________=(x－___)2 观察每个式子前后的两个数有什么特点？ 结论：加上的最后一个常数是一次项系数一半的平方 思考：怎样解方程？ 归纳：1.通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法； 2.配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程 说明：引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程． 例2、用配方法解下列方程 （1）x2－8x+1 = 0； （2）； （3）． 学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析得到 （1）中经过移项可以化为，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到，得到（x－4）2=15；解得： （2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即，方程两边都加上，方程可以化为； 解得： （3）按照（2）的方式进行处理．最后求得方程无解 总结：利用配方法解方程时应该遵循的步骤： （1）把方程化为一般形式； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解． 说明：在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理等），通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程． 归纳：一般地，对于方程 （1）当P＞0时，方程有两个不等的实数根，， （2）当P=0时，方程有两个相等的实数根 （3）当P＜0时，方程没有实数根 自主尝试 知识1练习： 1、填空： (1)方程x2=0.36的根是__________；(2)方程2x2=8的根是__________； (3)方程(x+1)2=1的根是_________ 答案：（1）x1=0.6,x2=-0.6 （2）x1=2,x2=-2 （3）x1=0,x2=-2 2、用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0 (2) (2x－3)2=7 （3）（x+6）2-9=0 （4）3（x-1）2-6=0 答案：（1） （2） （3）解得：x1=－3,x2=－9. （4） 知识2练习： 解下列方程： 答案：（1） （2） （3） 原方程无实数根 （4） 当堂检测 1.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是( ）C A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 2.用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( )D A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 3.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（ ）B A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 4.一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为( )C A．1 s B．2 s C．1 s或2 s D．不能确定 5.若a，b，c是△ABC三边长，且满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则三角形是( )B A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6.已知关于x的方程x2＋3mx＋m2＝0的一个根是x＝1，那么m＝_________ ． 答案： 7.已知x2＋y2＋4x＋6y＋13＝0且x，y为实数，则xy2＝____．答案：-18 8.用配方法证明：无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于10. 证明：将2x2－8x＋18配方得2(x－2)2＋10. ∵(x－2)2≥0，即2x2－8x＋18≥10， ∴无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于10 9.已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a＋19. (1)求证：B－A＞0； (2)指出A与C哪个大？并说明理由． 解：(1)B－A＝(a－1)2＋2＞0 (2)C－A＝(a＋2)2＋13＞0，∴C＞A 小结反思 通过本节课学习你有哪些收获？有哪些疑惑？ 3、 你会利用直接开平方法和配方法来解一元二次方程？ 4、 希望大家注意配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $