21.23一元二次方程的根的判别式的应用 导学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根的判别式的应用，从判别式定义及根的三种情况入手，通过例1及变式1-1至1-5巩固基础，再以例2到例4及变式延伸至参数范围、几何结合等应用，构建从概念到综合运用的学习支架。 该资料通过梯度化例题与变式设计，帮助学生逐步掌握判别式应用，培养运算能力与推理意识（数学思维），结合等腰三角形等实际问题，发展模型意识（数学语言），提升用数学眼光分析问题的能力，习题覆盖全面且层次分明，助力学生高效学习。

21.23一元二次方程的根的判别式的应用 根的判别式】 【方法点拨】根的判别式：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示， 即∆＝b2-4ac. 的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时 方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时 方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时 方程无实数根 【例1】关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式1-1】若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【变式1-2】若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a应满足（　　） A．a≤1 B．a≤1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a≥1 【变式1-3】若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则常数c等于　 　 ． 【变式1-4】若关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　 ． 【变式1-5】若关于x的一元二次方程2x2﹣2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是　 　 ． 【例2】已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0． （1）若x＝﹣2是方程的一个根，求k的值； （2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． 【变式2-1】关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x+2﹣m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求m的取值范围． 【例3】已知关于x的方程mx2﹣（5m+3）x+6m+9＝0． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【变式3-1】已知关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0根为正整数，求整数m的值． 【例4】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+5k＝0． （1）试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【变式4-1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+k＝0． （1）证明：此方程一定有两个实数根． （2）若一个等腰三角形的一边为5，另外两边的长是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【变式4-2】关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+10＝0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围． （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边长分别为a，b，c，则S△ABC＝，其中p＝，这就是海伦﹣秦九韶公式．如图，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，试利用阅读材料中的信息，求△BIC的面积． 【变式4-3】已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.23一元二次方程的根的判别式的应用 根的判别式】 【方法点拨】根的判别式：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示， 即∆＝b2-4ac. 的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时 方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时 方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时 方程无实数根 【例1】关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】根据一元二次方程根的判别式公式Δ＝b2﹣4ac，确定方程x2+mx﹣1＝0中a，b，c的值，代入公式计算Δ，再根据Δ与0的大小关系判断根的情况． 【解答】解：在方程x2+mx﹣1＝0中， ∵a＝1，b＝m，c＝﹣1， ∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4， ∵m2≥0， ∴m2+4＞0， ∴方程x2+mx﹣1＝0有两个不相等的实数根， 故答案选：A． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，解题的关键是通过计算根的判别式Δ的值来判断根的情况． 【变式1-1】若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4m≥0，然后解关于m的不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0， 解得m≤1， 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 【变式1-2】若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a应满足（　　） A．a≤1 B．a≤1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a≥1 【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，即可得判别式Δ≥0且a≠0，继而可求得a的范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4•a×1＝4﹣4a≥0， 解得：a≤1， ∵方程ax2﹣4x+1＝0是一元二次方程， ∴a≠0， ∴a的范围是：a≤1且a≠0． 故选：B． 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 【变式1-3】若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则常数c等于　1　 ． 【分析】根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4c＝0，进行计算即可得． 【解答】解：由条件可知：Δ＝（﹣2）2﹣4c＝0， ∴c＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系． 【变式1-4】若关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　　 ． 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，可得出关于a的不等式，解之即可得出a的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×a＞0， 解得：． ∴a的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【变式1-5】若关于x的一元二次方程2x2﹣2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是k＞　 ． 【分析】根据Δ＝b2﹣4ac＜0时，一元二次方程无实数根从而列式计算可以得解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣2x+k＝0无实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×2×k＜0， ∴k＞． 故答案为：k＞． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根． 【例2】已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0． （1）若x＝﹣2是方程的一个根，求k的值； （2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． 【分析】（1）将已知根x＝﹣2代入原一元二次方程，得到关于k的方程，求解即可得到k的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于0，据此列出关于k的不等式，解不等式得到k的取值范围． 【解答】解：（1）一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0， ∵a＝1，b＝﹣2（k﹣1），c＝k2， ∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2 ＝4（k2﹣2k+1）﹣4k2 ＝﹣8k+4， ∵x＝﹣2是方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0的一个根， ∴（﹣2）2﹣2（k﹣1）×（﹣2）+k2＝0，即k2+4k＝0， ∴k＝0或k＝﹣4； 当k＝0时，Δ＝4＞0，方程有解，符合题意； 当k＝﹣4时，Δ＝36＞0，方程有解，符合题意； （2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根， ∴Δ≥0， ∴﹣8k+4≥0， 解得． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 【变式2-1】关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x+2﹣m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求m的取值范围． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）用m表示出方程的根，再结合方程的根为非负数即可解决问题． 【解答】证明：（1）因为一元二次方程为x2+（m﹣3）x+2﹣m＝0， 所以Δ＝（m﹣3）2﹣4×1×（2﹣m）＝m2﹣6m+9﹣8+4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2， 又因为（m﹣1）2≥0， 所以该方程总有两个实数根． 解：（2）x2+（m﹣3）x+2﹣m＝0， （x﹣1）（x+m﹣2）＝0， 则x1＝1，x2＝﹣m+2． 因为该方程的实数根均为非负数， 所以﹣m+2≥0， 解得m≤2， 故m的取值范围是：m≤2． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【例3】已知关于x的方程mx2﹣（5m+3）x+6m+9＝0． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【分析】（1）当m≠0，此方程为关于x的一元二次方程，再计算出判别式Δ＝（m﹣3）2，然后根据判别式的意义即可得出方程有两个实数根；当m＝0时，关于x的方程mx2﹣（5m+3）x+6m+9＝0为﹣3x+9＝0有一个实数根，从而得出结论； （2）利用求根公式得到x1＝3，x2＝2+，由于方程的两个实数根都是整数，根据整数的整除性易得整数m＝1，﹣3． 【解答】（1）证明：①m≠0时， ∴关于x的方程mx2﹣（5m+3）x+6m+9＝0为关于x的一元二次方程， ∵Δ＝[﹣（5m+3）]2﹣4m（6m+9） ＝25m2+30m+9﹣25m2﹣36m ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2≥0， ∴方程有两个实数根； ②当m＝0时，关于x的方程mx2﹣（5m+3）x+6m+9＝0为﹣3x+9＝0， 解得x＝3， ∴方程有一个实数根； 综上所述，关于x的方程mx2﹣（5m+3）x+6m+9＝0总有实数根； （2）解：根据题意得：x＝＝， ∴x1＝＝3，x2＝＝＝2+， ∵方程的两个实数根都是正整数， ∴整数m＝1，﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 【变式3-1】已知关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0根为正整数，求整数m的值． 【分析】（1）分两种情况：当m＝0时；当m≠0时，由根的判别式Δ＝4＞0，可证出无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1；当m≠0时，解方程得两个根为x1＝，x2＝1，根据根为正整数且m为整数求解即可． 【解答】（1）证明：当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1； 当m≠0时， ∵Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×m×（m+2） ＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8m ＝4＞0， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）解：当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1； 当m≠0时，原方程整理可得：（mx﹣m﹣2）（x﹣1）＝0， x1＝，x2＝1， ∵方程的两个根均为正整数，m为整数， ∴当m＝1时，x1＝3，x2＝1； 当m＝2时，x1＝2，x2＝1． 故整数m的值为0或1或2． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出原方程的实数根． 【例4】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+5k＝0． （1）试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【分析】（1）先计算根的判别式，再利用完全平方式的非负性得结论； （2）先求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质确定k，最后求出三角形的周长． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣（k+5），c＝5k， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4×5k＝k2﹣10k+25＝（k﹣5）2， ∵Δ＝（k﹣5）2≥0， ∴无论k取何值，这个方程总有实数根． （2）当等腰三角形的腰长为8时，则方程的一个根为8， 由条件可得82﹣8（k+5）+5k＝0， 解得k＝8， 将k＝8代入方程，得x2﹣13x+40＝0， 解得x1＝8，x2＝5， 所以这个等腰三角形的周长为：8+8+5＝21， 当等腰三角形的底长为8时，则方程有两个相等的实数根， 所以（k﹣5）2＝0，即k＝5， 所以方程为x2﹣10x+25＝0，解得x1＝x2＝5， 所以这个等腰三角形的周长为：8+5+5＝18， 综上所述，这个等腰三角形的周长为21或18． 【点评】本题考查了一元二次方程和等腰三角形，掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质和三角形成立的条件等知识点是解决本题的关键． 【变式4-1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+k＝0． （1）证明：此方程一定有两个实数根． （2）若一个等腰三角形的一边为5，另外两边的长是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【分析】（1）利用根的判别式即可证明； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． 【解答】（1）证明：对于一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+k＝0， Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+k）＝k2+2k+1＝（k+1）2， ∵（k+1）2≥0， ∴Δ≥0， ∴此方程一定有两个实数根． （2）解：由x2﹣（3k+1）x+2k2+k＝0得x1＝k，x2＝2k+1， 若k＝5，则2k+1＝11，此等腰三角形的三边分别为5，5，11，5+5＝10＜11，不能构成三角形； 若2k+1＝5，则k＝2，此等腰三角形的三边分别为2，5，5，2+5＝7＞5，能构成三角形，周长为2+5+5＝12； 若2k+1＝k，则k＝﹣1，此时三角形边长为负数，不符合题意； 综上所述，这个等腰三角形的周长为12． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，等腰三角形性质，解题的关键是掌握一元二次方程的判别式． 【变式4-2】关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+10＝0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围． （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边长分别为a，b，c，则S△ABC＝，其中p＝，这就是海伦﹣秦九韶公式．如图，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，试利用阅读材料中的信息，求△BIC的面积． 【分析】（1）将一元二次方程的a、b、c代入根判别式的解不等式即可； （2）根据根的判别式和等腰三角形的性质解答即可； （3）利用角平分线的性质和题目中的公式计算即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+10＝0有两个实数根x1，x2， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即： （﹣6）2﹣4×1×（m+10）≥0，解得m≤﹣1． ∴m的取值范围：m≤﹣1； （2）∵BC为等腰△ABC的底边， ∴x1，x2是等腰△ABC的腰长， ∴关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+10＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即： （﹣6）2﹣4×1×（m+10）＝0，解得m＝﹣1， ∴一元二次方程为：x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∴等腰△ABC的腰AB＝AC＝3， ∴等腰△ABC的周长为：AB+AC+BC＝3+3+4＝10． ∴等腰△ABC的周长为：10； （3）根据题意得：p＝＝＝5， ∴S△ABC＝ ＝2． ∵∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I， ∴点I到△ABC三边的距离相等，设这个距离为h， 则S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI ＝•h ＝p•h， ∴2＝5•h， 解得h＝， ∴S△BIC＝ ＝ ＝． ∴△BIC的面积为：． 【点评】此题考查根的判别式、等腰三角形的性质和角平分线的性质，熟练掌握根的判别式、等腰三角形的性质和角平分线的性质是关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/16 0:42:05；用户：刘银银；邮箱：15198321411；学【】号：39141288 【变式4-3】已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）将x＝﹣1代入方程中，化简即可得出b＝c，即可得出结论； （2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用Δ＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，进而得出结论； （3）先判断出a＝b＝c，再代入化简即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0， ∴b＝c， ∴△ABC是等腰三角形， （2）△ABC是直角三角形， 理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0， ∴a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形； （3）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0， 即：x2+x＝0， ∴x（x+1）＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣1， 即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，解一元二次方程，解本题的关键是建立方程． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/16 0:44:06；用户：刘银银；邮箱：15198321411；学号：39141288 学科网（北京）股份有限公司 $