1.3 勾股定理的应用 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件围绕勾股定理的应用展开，通过总统证法导入引导学生探索证明方法，经拼接推导定理后，衔接公式变形、勾股数及求边长分类讨论、实际问题等题型，构建从证明到应用的学习支架。 其亮点在于融合数学思维与应用意识，探索证明培养创新意识，分类讨论和构造直角三角形发展推理能力，如秋千绳索长度、勾股树面积计算等实例强化模型意识。学生能提升解题与应用能力，教师可借助系统题型和考情提炼提高教学效率。

勾股定理的应用 知识导入 思考一下：运用总统证法，证明勾股定理 a b c a b c 拼接 a a b b c c 你能看了上图的拼接方法，自己探索出另一种证明勾股定理的方法吗？ 加菲尔德 (1831-1881) a b c a b c 拼接 勾股定理求边长 1.公式变形 (1) 斜边：c=； (2) 直角边：a=，b=。 2.勾股数 满足 a²+b²=c² 的三个正整数，称为勾股数。 注意： 常见勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④8、15、17；⑤9、40、41；⑥11、60、61。 题型 1 勾股定理求边长需要分类讨论 例 1 (1) 如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为 5、12，则斜边上的高的长度为___________； (2) (宜宾市兴文县期中) 如果一个直角三角形的两边长度分别 6 和 2，则第三边的长度为 ( ) 例 2 (1) (遂宁市射洪市开学) 若实数 m、n 满足 | m−3|+=0，且 m、n 恰好是 Rt△ABC 的两条边长，则第三条边长为 ( ) 题型 1 运用勾股定理解决基本的实际问题 例 1 (成都市郫都区期中) 将一根 24cm 的筷子置于底面直径为 8cm，高为 15cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是________________。 题型 2 运用勾股定理解决实际几何问题 例 2 (成都市武侯区期末) 如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度 DE=0.5m，将它往前推送 1.5m (水平距离 BC=1.5m) 时，秋千的踏板离地的垂直高度 BF=1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索 AD 的长是________m。 题型 1 结合全等得出边的关系 例 1 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，BD:DC=5:3，点 D 到 AB 的距离为 6，则 AB 等于________。 与勾股定理相关的面积问题 题型 1 勾股树 例 1 (1) 已知：如图，以 Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边 AB=5，则图中阴影部分的面积为________。 (2) (宜宾市兴文县期末) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为 “希波克拉底月牙”，当 AC=4，BC=2AC=4，BC=2 时，则阴影部分的面积为________。 例 2 (遂宁市船山区开学) 如图所示，图中所有三角形是直角三角形，所有四边形是正方形，S₁=9，S₃=144，S₄=169，则 S₂=________________________。 考情提炼 1. 勾股定理求线段长 (1) 利用勾股定理求直角边长或斜边长：斜边:__________; 直角边:__________; (2) 若图形中缺少直角条件，则通过作__________的方法构造直角三角形，为勾股定理的应用创造必要条件。如果不能直接用勾股定理求出直角三角形的边长，那么可以引入未知数，建立方程求解. 课堂练习 练 1 (绵阳市江油市期中) 我国是最早了解勾股定理的国家之一。据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为 “商高定理”; 三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ( ) 练 2 (达州市渠县期末) 一架长 25m 的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端 7m, 如果梯子的顶端沿墙下滑了 4m, 那么梯足将滑动__________. 练 3 (1) 如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为 4、5, 则斜边的长度为__________. (2) 直角三角形两条边的长度分别为 6、8, 那么第三条边的长度是__________. 练 4 (巴中市期末) 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A、B、C、D 的面积分别是 3、5、2、3, 则最大正方形 E 的面积是 ( ) 练 5 (达州市通川区期末) 已知，如图，Rt△ABC 中，∠B=90°,AB=6,BC=4, 以斜边 AC 为底边作等腰三角形 ACD, 腰 AD 刚好满足 AD∥BC, 并作腰上的高 AE. (1) 求证：AB=AE; (2) 求等腰三角形的腰长 CD. 练 6 直角三角形的边长分别为 a、b、c, 若 a²=9,b²=16, 那么 c² 的值是 ( ) A. 5 B. 7 C. 25 D. 25 或 7 练 7 某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为 30 元，楼梯宽为 2m, 则购买这种地毯至少需要__________元. 练 8 如图，直角三角形三边上的半圆面积S₁=18π,S₃=50π, 则 S₂=___________; 直角边 b=___________. 下 课 $