1.3 勾股定理的应用 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦北师大版八年级上册勾股定理的应用，通过知识回顾勾股定理及逆定理，结合装修工人检测垂直的实际问题导入，搭建从理论到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融合生活实例与古典问题，如用刻度尺检测垂直、《九章算术》芦苇问题，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过折叠图形、立体展开求最短路径等练习，发展数学思维中的推理能力与空间观念，解题过程规范体现数学语言的模型意识。助力学生提升应用能力，教师可借助结构化内容高效教学。

北师版八年级上册 1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 知识回顾 1. 勾股定理的内容是什么？ A B C 直角三角形 a2 + b2 = c2 2. 勾股定理的逆定理是什么？ a2 + b2 = c2 直角三角形 新知探索 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB。 （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ A B C D 用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长， 若 AD2 + AB2＝DB2， 则 ∠A＝90°，即AD⊥ AB。 （2）李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm。边 AD 垂直于边 AB 吗？ A B C D ∵ AD2 + AB2＝302 + 402 ＝ 2500， DB2 ＝502 ＝ 2500， ∴∠A＝90°，即AD ⊥ AB。 所以边 AD 垂直于边 AB 。 A B C D （3）如果李叔叔随身只带了一把长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗？ 能检验。 在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F。 E F 因为 12² + 16² = 20²， 用刻度尺测 EF 长度， 若 EF = 20 cm， 根据勾股定理逆定理，AD⊥ AB； 若 EF ≠ 20 cm，则 AD 不垂直 AB。 尝试·思考 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F。你能求出 DF 的长吗？ A D B C G E F x 4 8－x 8－x 解：∵点 E 是边 AD 的中点， ∴ DE = AD = 4 cm。 设 DF = x cm， 则 CF = EF = (8－x) cm， 在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2， 则 42 + x2 = (8－x)2，解得 x = 3。 ∴DF 的长为 3 cm。 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？(选自《九章算术》) 例 题 B O C A 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为 1 丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺。 由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺。 在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得 AC2 + OA2 = OC2， 即 52 + x2 = (x + 1)2。 解得 x = 12。 12 + 1 = 13。 因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺。 B O C A 勾股定理的应用 求直角三角形的边长 勾股定理的实际应用问题 课堂小结 　　1． 如图，一根竿子，原高一丈(一丈＝十尺)，一阵风将竿子折 断，竿梢恰好抵地，抵地处离竿子底部6尺远，求折断处离地面的高 度．设竿子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为 ⁠． x2＋62＝(10－x)2 课堂练习 　　2． (北师八上P14随堂练习T1改编)有五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形摆放正 确的是（　C　） C 　　3． 如图所示，图中阴影部分(半圆)的面积为 ⁠． 8π cm2 　　4． 小华和小明在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高 度CE，他们进行了如下操作：①测得风筝与风筝的牵引端的水平距离 BD的长为12 m；②测得风筝线BC的长为20 m；③测得风筝的牵引端 到地面的距离AB为1.62 m．求风筝的垂直高度CE. 　　解：由题意，得BC＝20，BD＝12， 　　DE＝AB＝1.62. 　　在Rt△BCD中，由勾股定理， 　　得BC2＝BD2＋CD2， 　　即202＝122＋CD2. 　　所以CD＝16. 　　所以CE＝CD＋DE＝16＋1.62＝17.62(m)． 　　答：风筝的垂直高度CE为17.62 m． 　　5． 如图，折叠长方形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F 处．若BC＝4，AB＝3，求线段CE的长度． 　　解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 　　AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25. 　　所以AC＝5. 　　由折叠知，AF＝AB＝3， 　　BE＝EF，∠AFE＝∠B＝90°. 　　所以FC＝AC－AF＝2，∠EFC＝90°. 　　在Rt△EFC中，EF2＋FC2＝CE2， 　　即(4－CE)2＋22＝CE2.解得CE＝ . 　　6． 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个 取水点A，B，其中AB＝AC，由于某些原因，由C到A的路现在已经 不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(点A， H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，测得BC＝1.5千米，CH ＝1.2千米，BH＝0.9千米． 　　(1)CH是不是从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明． 　　解：(1)是．理由如下： 　　在△CHB中，因为CH2＋BH2＝1．22＋0.92＝2.25，BC2＝2.25， 　　所以CH2＋BH2＝BC2. 　　所以△CHB是直角三角形． 　　所以CH⊥AB． 　　所以CH是从村庄C到河边最近的路． 　　(2)新路CH比原路CA少多少千米？ 　　(2)设CA＝x千米，则AH＝(x－0.9)千米． 　　在Rt△ACH中，由勾股定理，得CA2＝AH2＋CH2. 　　所以x2＝(x－0.9)2＋1.22.解得x＝1.25. 　　所以CA＝1.25千米． 　　所以CA－CH＝1.25－1.2＝0.05(千米)． 　　答：新路CH比原路CA少0.05千米． 7. 【课本再现】 【方法探究】(1)对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图 形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之 间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题。例如图1中 求蚂蚁从点A爬到点B的最短路程，可将圆柱展开成如图2所 示的长方形，点A，B对应的位置如图 所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最 短路程为 cm。 15　 C层 拓展练 7. 【课本再现】 【方法应用】(2)如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面 边长为3 cm，高为10 cm。在其侧面从点A开始，绕侧面两 周，嵌入装饰彩条至点B停止，则彩条的最短长度 为 cm。 (3)如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点 B沿六棱柱的侧面镶一圈金属丝，已知 此六棱柱的高AB为7 cm，底面边长为 4 cm，则这圈金属丝的长度至少为 cm。 26　 25　 C层 拓展练 $