2026年八年级数学秋季开学·学情自测卷（河北专用，新教材人教版八上13-14章：三角形与全等三角形）

**基本信息** 2026年八年级开学数学学情自测卷聚焦三角形与全等三角形，通过尺规作图、三角板操作等情境，融合几何直观与推理能力，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|三角形类型判断、等腰三角形性质、尺规作图原理|结合图形遮挡、尺规步骤辨析考查空间观念| |填空题|4/12|等腰三角形周长、角平分线计算、作图依据|通过木工角尺、三角尺平分角考查推理意识| |解答题|8/72|面积证明、全等综合、三角板探究|以“玩转三角板”为主题，设计多情境操作探究，培养创新意识与应用能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、单选题 1 2 4 5 6 78 910 11 12 A B B C C D C B C C B 二、填空题 13.42 14.85o 15.SSS HL 16.8 三、解答题 17.(7分) (1)解：：点D是BC边上的中点，(1分) Sc=2SABn=2×7.5=15.(2分) (2)略(3分) (3)解：，BF是△ABC的中线，(4分) :.SABc=2S.cr=2xI0=20,(5分) .AE是△ABC的高线， 5e号4-6c=20,(6分 又BC=8 .AE=5.(7分) 18.(8分) (1)解：AF是△ABC的高，(1分) .AF⊥BC,(2分) .∠AFC=90°，(3分) .∠CAF=56° .∠ACD=180°-∠AFC-∠CAF=34°，(4分) .CE平分∠ACD, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠DCE=)∠ACD=17,(5分 .∠CED=49° :.∠ADC=180°-（∠DCE+∠CED)=180°-(17°+49）=114°.(6分) (2)解：，AD是△ABC的中线，△ABD的面积是42，(7分) .SAcD=SABm=42,(8分) :△DCE的DE边上的高与△ACE的AE边上的高相等，且DE:AE=3:4, .SE:SACE=3:4,(8分) 又SDcE+SAcE=SAcD=42, 4×42=24,(8分) .S4cE=3+ 即△ACE的面积为24. 19.(8分) (1)解：在△A0D中，∠A+∠D+∠AOD=180°，且∠A+∠D=85°，(2分) :.∠A0D=180°-（∠A+∠D)=95°，(4分） .∠AOD=∠BOC=95°，(5分) :∠B+∠C+∠BOC=180°， .∠B+∠C=85°：(6分) (2)略(7分) (3)解：如下图，(8分) D A1 M B,∠DAP=∠BAP∠DCP=∠BCP ∠1=∠2，∠3=∠4， 由(1)得1+∠D=∠3+∠P,∠4+∠B=∠2+∠P, 两式相加，得∠1+∠4+∠B+∠D=∠2+∠3+2∠P, 即∠B+∠D=2∠P, 2P-(2B+ZD)-×90=45 20.(8分) 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)解：△ABC≌△ADE,(4分) ∴∠BAC=∠DAE,即∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠EAC, ∠DAF=∠EAC, ∠CAD=110°，∠BAE=30°， .∠DAF+∠EAC=∠CAD-∠BAE=80°. ∴.∠BAD=40°， (2)解：△ABC2△ADE,(8分) ∴，AB=AD=10,DE=BC=BE+EC=9, △ADF与△BEF的周长和为AD+BE+DE+AB=10+4.5+9+10=33.5. 21.(9分) (1)略(2分) (2)解：由(1)可得，△A0C≌aB0D(SAS),(4分) .∠OAC=∠OBD,(6分) 在△AO0和△BP0中，∠BQP=∠AQ0,∠OA0=∠QBP, .(8分) .∠APD=180°-∠BP0=180°-50°=130°.(9分) 22.(9分) (1)略(1分) (2):△ACE≌△ACF,(2分) .∠AEC=LAFC,(3分) :.180°-∠AEC=180°-∠AFC,即∠CEB=∠CFD,(4分) 在△BCE和△DCF中， [∠B=∠D=90° ∠CEB=∠CFD CE=CF .△BCE≌aDCF(AAS),(5分) ∴BE=DF,BC=DC=6,(6分) :AD=AF+DF=AE+BE=AB=8, ∴四边形BCD的面积=S+5ce号B-BC+号4D-DC-×8x6+×86=48,8分) 2 (3):△ACE≌△ACF,(9分) 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACE=∠ACF,(9分) 又，∠CAE=∠CAF, .∠DAB+∠ECF=(∠CAE+∠CAF)+(∠AEC+∠ACF)=2(∠CAF+∠ACF),(9分) .∠DFC=∠CAF+∠ACF .∠DAB+∠ECF=2∠DFC.(9分) 23.(11分) (1)略(4分) (2)CD∥AB,(8分) .∠BAC+∠ACD=180°， ∠BAC=180°-114°=66°， AP平分∠CAB, ∠MAB=∠BAC=33°； 2 (3)略(11分) 24.(12分) (1)解：①'∠CAB=90°，(2分) .∠1+∠2=180°-∠CAB=90°， :CG⊥EF,BH⊥EF, .∠CGA=∠AHB=90°， 则在Rt△CGA中，∠I+∠3=90°， .∠2=∠3， 在△CGA和△AHB中， ∠CGA=∠AHB,∠2=∠3，AC=AB, ∴.△CGA≌△AHB(AAS): ②.△CGA≌△AHB. .CG=AH=2,AG=BH=3,(4) .GH=GA+AH=3+2=5;(5分) (2)解：略(6分) (3)解：过B作BM⊥AD交直线AD于M,(7分) 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D 图3 由三角板可得AC=AB,∠CAB=∠EDF=∠M=90°， .∠CAD=∠ABM=90°-∠BAD,(8分) .aCAD≌aBAM(AAS),(9分) ∴.AD=BM,(10分) AD=6. .AD=BM=6,(11分) 5m408M=方6x6=18、(12分 2 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级上册第13章三角形+第14章全等三角形 一、选择题：本题共12小题，每小题3，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2．等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 3．如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤： 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 则下列说法错误的是（     ） A．在作法步骤（2）中，可以得到 B．在作法步骤（3）中，可以得到 C． D．判定的依据是 4．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 5．如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 8．利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 9．如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 11．活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 二、填空题：本题共4小题，每题3分，共12分． 13．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 14．如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 15．木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 三.解答题（本题共8小题，共72分） 17．（7分）阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 18．（8分）如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 19．（8分）已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 20．（8分）如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 21．（9分）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 22．（9分）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 23．（11分）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，垂足为，求证：． 24．（12分）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 试卷第2页，共23页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共12题，每小题3，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形， 故选：A． 2．等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系．本题需结合等腰三角形两腰相等的性质，分情况讨论第三边的长度，再根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不符合的情况． 【详解】解：等腰三角形两边长为、 分两种情况讨论 ①若第三边长为，则三边为、、 ，不满足三角形两边之和大于第三边的关系 此情况不成立 ②若第三边长为，则三边为、、 ，，满足三角形三边关系 此情况成立 第三边长为 故选：B． 3．如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤： 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 则下列说法错误的是（     ） A．在作法步骤（2）中，可以得到 B．在作法步骤（3）中，可以得到 C． D．判定的依据是 【答案】C 【详解】解： A、以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则，不符合题意； B、以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点，则，不符合题意； C、题目中没有信息说明，符合题意； D、判定的依据是，不符合题意． 4．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 5．如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明，得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：平分，， ， 在和中， ， ， ． 6．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 7．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【答案】D 【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分别求证即可解答． 【详解】解：甲：是的外角， ， 是的外角， ， ； 乙：， ， ，， ，， ； 丙：在中，， 在中，， ． 综上所述，甲、乙、丙都能求出． 8．利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 【答案】C 【分析】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明；乙同学的钝角三角形要先延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，证明，再证明，然后即可证明；丙同学的锐角三角形，先过点作交于点，过点作交于点，证明，因缺少条件无法证明，逐一判断即可． 【详解】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明，故选项A不符合题意； 选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵缺少条件证明，故选项C符合题意； 选项D，综上各个选项，选项D不符合题意． 9．如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，根据角平分线判定定理即可推出①，根据即可推出②，根据等腰三角形性质推出，推出，根据平行线判定推出③即可；无法证明故④错误． 【详解】解：∵， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故③正确； 在和中，缺少全等条件，故④错误， 故选：B． 10．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 11．活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据得到，证明，得到，，即，证明，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 12．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 三、填空题：本题共4小题，每题3分，共12分． 13．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长． 【详解】解：等腰三角形底边长为，腰长为， 这个三角形的周长为 ． 14．如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【答案】 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 15．木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形两种不同判定方式，都实现了角的平分. 【详解】如图①所示，由角尺两边相同刻度分别与，重合，可知， 故在和中， 由 ，得； 如图②所示，由所作垂线可知， 故在和中， 由 ，得. 16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 【答案】 【分析】根据题意过点B'作B'H⊥AC于H，由全等三角形的判定得出△ACB≌△B'HA（AAS），得AC＝B'H＝4，则有S△AB'C＝AC•B′H即可求得答案． 【详解】解：过点B'作B'H⊥AC于H， ∴∠AHB'＝90°，∠BAB'=90°， ∴∠HAB'+∠HB'A＝90°，∠BAC+∠CAB'＝90°， ∴∠HB'A＝∠CAB， 在△ACB和△B'HA中， ， ∴△ACB≌△B'HA（AAS）， ∴AC＝B'H， ∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， ∴AC＝B'H＝4， ∴S△AB'C＝AC•B′H＝×4×4＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质和旋转的性质以及勾股定理，根据题意利用全等三角形的判定证明△ACB≌△B'HA是解决问题的关键． 三.解答题（本题共8小题，共72分） 17．（7分）阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 【答案】(1)15； (2)． 证明：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴． (3)5 【分析】（1）根据点是边上的中点，可得，再代入已知数据求解即可； （2）过点A作于点E，根据推出，再通过面积公式求证即可； （3）根据是的中线，可得，再利用三角形面积公式，代入已知数据求解的长度． 【详解】（1）解：∵点是边上的中点， ∴． （2）略 （3）解：∵是的中线， ∴， ∵是的高线， ∴， 又∵， ∴． 18．（8分）如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出的面积，再得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的中线，的面积是42， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， 又∵， ∴， 即的面积为24． 19．（8分）已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． 20．（8分）如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全等三角形的性质和等量代换求解即可； （2）利用全等三角形的性质结合题目条件求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，， ， ， （2）解：， ，， 与的周长和为． 21．（9分）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴ ，∴， 在和中，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用证明三角形全等，即可得到与的数量关系； （2）由全等三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，求出，根据平角的定义，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴ ∴． 22．（9分）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) 证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； (2)48 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 23．（11分）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，垂足为，求证：． 【答案】(1)证明：连接、，如图， 由作法得，， 而， ， ， 即平分； (2) (3)证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中 ． 【分析】（1）作图步骤给出三组相等线段，思路是连接辅助线、，利用证明与全等，通过全等三角形对应角相等，直接证出平分； （2）已知，同旁内角互补，可先由算出的度数；再结合第一问结论是角平分线，所求就是的一半，代入数值即可求出角度． （3）先由平行线内错角相等得到，结合角平分线推出，等角对等边得；又垂直，有两组直角相等，再搭配一组等角与一组等边，用即可证明两个直角三角形全等． 【详解】（1）略 （2）， ， ， 平分， ； （3）略 24．（12分）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【答案】(1)①；②5 (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）①根据题意，利用全等三角形的判定即可证明； ②利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据题意及角度等量代换，证明，即可解答； （3）过作交直线于，证明，得到，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ，， ， 则在中，， ， 在和中， ，，， ； ②∵， ∴，， ∴； （2）解：略 （3）解：过作交直线于， 由三角板可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第2页，共23页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题3分，共12分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题：本题共8小题，每题2分，共16分． 13．_________14．___________15．_________16．___________   四、解答题（共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） _ 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 22．（9分） 30．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 郑 注意事 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 2 3 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3 3 3 45 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 12345- 45 破。 6789 6 45678 67 6 567 678 5. 正确填涂 7 123456789 1234567 8 8 8 缺考标记 9 9 9 9 9 9 9 选择题（每小题3分，共12分） 1[A][B][CI[D] 5 [A][B][C][D] 9[A][B][CD] 口 2 [A][B][C][D] 6[A][B][CI[D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][CI[D] 7[A][B][C][DI 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 12[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题， 每题2分，共16分， 13 14. 15 16 四、 解答题（共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(7分) 童 知 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(9分) D 图1 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) 图1 图2 22.(9分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) M D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级上册第13章三角形+第14章全等三角形 一、选择题：本题共12小题，每小题3，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2．等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 3．如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤： 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 则下列说法错误的是（     ） A．在作法步骤（2）中，可以得到 B．在作法步骤（3）中，可以得到 C． D．判定的依据是 4．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 5．如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 8．利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 9．如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 11．活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 二、填空题：本题共4小题，每题3分，共12分． 13．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 14．如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 15．木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 三.解答题（本题共8小题，共72分） 17．（7分）阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 18．（8分）如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 19．（8分）已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 20．（8分）如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 21．（9分）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 22．（9分）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 23．（11分）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，垂足为，求证：． 24．（12分）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 o : 数学 .: (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 注意事项： : 斯 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：八年级上册第13章三角形+第14章全等三角形 一、选择题：本题共12小题，每小题3，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目 要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1.如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 O O 2.等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为() A.4 B.8 C.4或8 D.4或12 3.如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤： 作法：(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点 然 C,D; (2)画一条射线OA,以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点 ·: C'; (3)以点C”为圆心，CD长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点 D; (4)过点D画射线OB',则∠AOB=∠AOB. : : 则下列说法错误的是() A.在作法步骤(2)中，可以得到OC'=OC : : 试题第1页（共8页） 6学科网·上好课 B.在作法步骤(3)中，可以得到CD=CD C.∠AOB=∠AOB=30° D.判定△COD≌△COD的依据是SSS 4.如图所示的是一块三角形草坪ABC，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距 离相等，则凉亭的位置应选在() A.△ABC三条中线的交点处 B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条高所在直线的交点处 D.△ABC三边的垂直平分线的交点处 5.如图，点D为△ABC内一点，点P为△ABC外一点，连接CD,BD,BP,DP,且BC=BP,CD平分 ∠ACB,∠DBP=∠DBC,∠ACB=62°，则∠P的度数为() A.20° B.28 C.31° D.36° 6.如图，在△ABC中，AC=BC=8,SABc=24,P为AB边上一动点（不与A,B重合），PE⊥AC于点 E,PF⊥BC于点F,则PE+PF的值是() A.8 B.7 C.6 D.5 7.如图1，已知∠DAB=20°，∠B=60°，∠BCD=40°，要求出∠ADC的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种 添加辅助线的方案，其中能求出∠ADC度数的方案是() 甲：C ☑：C 丙：C B A 延长AD,交 过点D作DF∥AB, 连接AC. BC于点E. 交BC于点F. 图1 图2 A.只有甲、乙能求出 B.只有甲、丙能求出 试题第2页（共8页） 6学科网·上好课 C.只有乙、丙能求出 D.甲、乙、丙都能求出 8.利用尺规作图作△4B'C"≌△ABC,已知甲、乙、丙三位同学所参照的△ABC分别为直角三角形、钝角 三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形 作图步骤 第一步：作AB=AB:第二步：作∠AB'C=∠ABC;第三步：作AC=AC. 下列说法正确的是() A.甲同学所作△AB'C'与△ABC不一定全等 B.乙同学所作△AB'C'与△ABC不一定全等 C.丙同学所作△AB'C'与△ABC不一定全等 D.甲、乙、丙三位同学所作△AB'C'都与AABC全等 9.如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别为R、S,若 AQ=PO,PR=PS,则这四个结论中正确的有() B ①AP平分∠BAC;②AS=AR;③OP∥AR;④△BRP≌△CSP, A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N,将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A 处后，再将纸片沿着BA'对折一次，使得点C落在BN上的C'处，已知∠CMB=68°，∠A=18°，则原三角 形中∠C的度数为() B 试题第3页（共8页） A.90 B.88 C.87 D.86° 11.活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中BD是半圆形量角器 的直径，C是BD的中点，AB=BC,BE⊥AD.将这个工具按图2所示放置在∠PMN内部，使点A落在 ∠PMN的一条边上，∠PN的顶点M落在角尺边缘BE上，量角器上一点F落在∠PMN的另一条边上，且 CF⊥MN于点F,连接CM,作射线MB.若用量角器测得∠DCF=40°，则∠PN的度数为() 成 B 张 ○ 图1 图2 A.50° B.55° C.60° D.70 12.己知AB=10,AC=6,BD=8,其中∠CAB=∠DBA=.点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→ 游 A→B路径运动.同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后 另一个点随即停止运动.它们的运动时间为t秒， ①若x=1,则点P运动路程始终是点9运动路程的2倍： S ②当PQ两点同时到达A点时，x=6: ③若=90°，t=5,x=1时，PC与PQ垂直： ④若运动过程中存在△ACP与△BP9全等，则x=0.8或 1 11 以上说法正确的选项为() 世 A.①③ B.①② c.①②④ D.①②③④ 二、填空题：本题共4小题，每题3分，共12分， 13.己知等腰三角形的底边和腰长分别为12cm和15cm,那么这个三角形的周长为 14.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ACE=20°，∠B=50°，∠ADC= 试题第4页（共8页) : D 15.木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示.学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示.他们在 ∠AOB两边上分别取出OM=ON,前者使角尺两边相同刻度分别与M,N重合，角尺顶点为P;后者分 别过M,N作OA,OB的垂线，交点为P,则射线OP平分∠AOB,均可由△OMP2△ONP得知，其依据 分别是 B 0 N 图① 图② 16.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB',连接 B'C,则△AB'C的面积为 O : 分 三.解答题（本题共8小题，共72分) 17.(7分)阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 试题第5页（共8页） 可学科网·上好课 问题：己知：如图1，在△ABC中，点D是BC边上的中点，连结AD. 求证：SBD=SACD· B C DE 图1 证明：过点A作AE⊥BC于点E, :点D是BC边上的中点， BD=CD」 :S.ABD =IBD.AE.S.ACD= ICD.AB, .S.ABD=S.ACD. B B D D E 图2 图3 图4 任务： (1)如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若S,AD=7.5,SBc=一： (2)如图3，在△ABC中，点D是BC边上的点且CD=3BD,SBD和SABc存在怎样的数量关系？请模仿文 本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，AE,BF分别是△ABC的高线和中线，已知ScF=10,BC=8,则AE的长为一 18.(8分)如图，AD,AF分别是△ABC的中线和高，CE平分∠ACD交AD于点E. 试题第6页（共8页） 6学科网·上好课 B (1)若∠CED=49°，∠CAF=56°，求∠ADC的度数： (2)若DE:AE=3:4,△ABD的面积是42，求△ACE的面积. 19.(8分)已知线段AB与CD相交于点O,连接AD,BC. 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A+∠D=85°，则∠BOC的度数为 ,∠B+∠C的度数为 (2)如图2.若∠EAO=∠C,∠EAD=∠D,求证：∠B=2∠D: (3)如图3，若∠DAP=∠BAP,∠DCP=∠BCP,∠B+∠D=90°，求∠P的度数. 20.(8分)如图，△ABC2△ADE,点E在BC边上（不与点B,C重合）DE与AB交于点F. D B E (1)若∠CAD=110°，∠BAE=30°，求∠BAD的度数： (2)若AD=10,BE=CE=4.5,求△ADF与△BEF的周长和， 21.(9分)【综合与探究】 试题第7页（共8页） 图1 图2 在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,连接AC,BD (1)【模型呈现】如图1，A,O,D三点共线，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由： (2)【模型应用】如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点Q,若∠AOB=50°，求∠APD的度 数。 % 22.(9分)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E,F分别在边AB,AD上，AE=AF, CE=CF,连接AC. 河 游 S E B (1)求证：AC平分∠DAB: (2)若AB=8,CD=6,求四边形ABCD的面积： (3)猜想∠DAB+∠ECF与∠DFC之间的数量关系，并证明你的猜想. 23.(11分)如图，AB∥CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F两 点，再分别以B,P为圆心，大于2P长为半径作圆，两条圆弧交于点P,作射线4P,交CD于点 世 M. M D B @ (1)求证：AP平分∠CAB; (2)若∠ACD=114°，求∠MAB的度数； (3)若CN⊥AM,垂足为N,求证：△CAW≌△CMN. 24.(12分)【研读素材】 试题第8页（共8页） 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”.今天，就让我们 O 带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学 与生活的联系， 在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC:在△DEF中，∠FDE=90°，∠FED-30°.我们将用三种不同方式摆 放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段EF上时，过点 C作CG⊥EF垂足为点G,过点B作BH⊥EF垂足为点H. B 2 H 人 D : 图1 ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的 结论 O 解：∠CAB=90°，.☑+∠2=180°-∠CAB=90°. : ,CG⊥EF,BH⊥EF, ∴.∠CGA=∠AB=90°. 则在Rt△CGA中，A+∠3=90°. 斟 .∠2=∠3. 款 在△CGA和△AHB中， : : ·.·∠CGA=∠AHB,∠2=∠3，AC=AB、 .: o O .△CGA≌ (AAS). ②若CG=2,BH-3,则GH= 【比照推演】 ·: (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点C在线段DF上 时，过点B作BM⊥DE垂足为点M,请你猜想线段BM,MD,DC之间的数量关系，并说明理由，在这 : 个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美 : 试题第9页（共8页） .: o可学科网·上好课 GD 图2 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段DF上且项点C在线段DE上时，若 AD=6,连接BD,求△ABD的面积.此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁 移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力. E AD B A 图3 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落.在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大 家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答.愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻 辑的眼光看待世界。 试题第10页（共8页）