第14章 全等三角形专题2——三角形全等的判定的基本模型 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以全等三角形五大基本模型（平移、翻折、旋转、一线三等角、截长补短）为核心，通过分类题型构建图形变换与全等判定的逻辑关联，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移型|4题|共线点、对应边平行/相等|从平移变换抽象全等条件，强化SAS/ASA判定应用| |翻折型|6题|公共边/角、轴对称图形|通过翻折性质推导对应边/角关系，深化SSS/SAS推理| |旋转型|5题|共顶点、旋转角相等|结合旋转不变性构建全等，培养动态图形分析能力| |一线三等角型|2题|共线等角、垂直/斜交|提炼“一线三垂直”模型，发展模型意识与转化思想| |截长补短|1题|线段和差、对角互补|通过延长/截取构造全等，提升综合证明能力|

第14章 全等三角形专题2 ——全等的基本模型 题型一：平移型 平移型 1．已知，如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，．求证：．    2．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 4．已知：如图，已知点、、、在同一直线上，，，．求证：． 题型二：翻折型 翻折型 5．已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 6．如图，，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，，请你添加一个适当的条件，使得：______（只需填写一个）． 8．如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件______． 9．已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 10．如图所示，已知，，，交于点，连接．试说明：． 题型三：旋转型 旋转型 11．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，点三点在同一直线上，且；若，则为（  ） A．49° B．47° C．45° D．43° 13．如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接，求证：平分． 14．如图，已知，，，求证：． 15．如图，在中，是高，点E是上一点，，，M，N分别是，上的点，且． (1)试说明：； (2)求证：． 题型四：一线三等角型 16．综合探究： 特例探究：已知在中，，，直线经过点，且于点，于点． （1）当直线处在图1的位置时，请求出线段、、的数量关系为_____． （2）当直线处在图2的位置时，猜想，，之间的数量关系，并证明． 图1 图2 图3 图4 拓展延伸： （3） 在直线上依次取互不重合的三个点E，C，D，在直线上方有，且，直接写出线段，，之间的数量关系_____． （4）如图4，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 17．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 题型五：截长补短 18．综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形专题2 ——全等的基本模型 题型一：平移型 平移型 1．已知，如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，． 求证：．    【答案】见解析 【分析】根据，，得到，根据，得到，结合，则可根据判定． 【详解】证明：，， ， ，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 2．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴， ∴． 3．如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由得，根据平行线的性质求出，然后根据可证明； （2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可求的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．已知：如图，已知点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理．根据平行得到，再通过得到，就可以证明，由全等三角形的性质得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 题型二：翻折型 翻折型 5．已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 【答案】B 【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案． 【详解】A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意； B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意； C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意； D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意． 故选：B． 6．如图，，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 已知，是公共角，根据选项逐一进行分析即可得． 【详解】解：，， 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加不能证明，符合题意． 故选：． 7．如图，，请你添加一个适当的条件，使得：______（只需填写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），根据已有条件结合定理添加合适条件． 已知，可得，且为公共边，根据全等三角形判定定理，添加一组对应边相等或一组对应角相等的条件即可． 【详解】，而， ． 同时，是和的公共边，即， ①添加（SAS判定）： 在和中， ， ； ②添加（AAS判定）： 在和中， ， ； ③添加（ASA判定）： 在和中， ． 可添加的条件为（或或等，答案不唯一），这里以为例． 故答案为：（答案不唯一）． 8．如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要利用“”证明成立，还需增加一个条件． 故答案为：． 9．已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 10．如图所示，已知，，，交于点，连接．试说明：． 【答案】 证明：在和中， ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 证明，则．证明，可得 ． 【详解】略 题型三：旋转型 旋转型 11．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解． 【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意； B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意； D、添加，不能证明，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 12．如图，点三点在同一直线上，且；若，则的度数为（  ）    A．49° B．47° C．45° D．43° 【答案】B 【分析】利用“边边边”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠1，∠BAC=∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3=∠1+∠2，然后求解即可． 【详解】在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SSS)， ∴∠ABC=∠1，∠BAC=∠2， 在△ABC中，由三角形的外角性质得，∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2， ∵∠1+∠2+∠3=94°， ∴2∠3=94°， ∴∠3=47°. 故选B. 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的性质与运用. 13．如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接，求证：平分． 【答案】 证明：，， ． 在和中， ， ， ， 平分． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据题意证得，可得，即可求解． 【详解】略 14．如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过得出． 根据可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 15．如图，在中，是高，点E是上一点，，，M，N分别是，上的点，且． (1)试说明：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据垂直的定义得出，然后利用全等三角形的判定进行证明即可； （2）利用全等三角形的性质得出，再根据全等三角形的判定得出，可证结论成立． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴． 在和中， ，，， ∴． （2）证明∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． 题型四：一线三等角型 16．综合探究： 特例探究：已知在中，，，直线经过点，且于点，于点． （1）当直线处在图1的位置时，请求出线段、、的数量关系为_____． （2）当直线处在图2的位置时，猜想，，之间的数量关系，并证明． 图1 图2 图3 图4 拓展延伸： （3） 在直线上依次取互不重合的三个点E，C，D，在直线上方有，且，直接写出线段，，之间的数量关系_____． （4）如图4，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ； （2），理由是： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴， 即． （3） （4），理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据余角的性质易得，进而可根据证明，可得，，再利用线段的和差即得结论； （2）同（1）可证明，于是可得，，再利用线段的和差即可进行判断并推出结论； （3）证明，则，即可得到结论． （4）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3），理由如下： ， ， ，   在和中， ， ，          ，     ． （4）， 理由：∵， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 17．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 题型五：截长补短 18．综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：延长到G，使得，连接，    在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）；理由如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； 学科网（北京）股份有限公司 $