精品解析：2022年湖南省娄底市初中毕业学业作业（三）数学试题

娄底市2022年初中毕业学业作业（三） 数 学 时量：120分钟 满分：120分 考生注意：1.本学科作业分试题和答题卡两部分，满分120分. 2.请在答题卡上作答，答在试题上无效. 一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1. 2022的相反数是（ ） A. B. C. 2022 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据梧州日报报道，梧州市委宣传部大力开展庆祝中国共产党成立100周年优秀影片展映展播，线上文艺展播点击率为412万人次，其中4120000用科学记数法表示为（　　） A. 4.12×105 B. 4.12×106 C. 4.12×107 D. 4.12×108 4. 如图，，，垂足为，，则等于（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 5. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 7. 某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ） ①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7 ②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人． ③若从该校初一学生中抽取120人作为样本调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 8. 如图，在中，弦CD与直径AB板交于点E，连接OC，BD．若，，则的度数为（ ） A. 80° B. 100° C. 120° D. 140° 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（　　） A. 5t B. C. D. 5 10. 如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（ ） A. 和的面积相等 B. 四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 11. 已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 12. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 若分式有意义，则实数x的取值范围为 _____． 14. 有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 __． 15. 如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为_________． 16. 已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度． 17. 若且，则_____． 18. 如图，在中，，，，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时，________． 三、计算题（本大题共2小题，共12分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下． 平均每天睡眠时间x（时）分为5组：①；②；③；④；⑤．根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第_______组（填序号），达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为_______； （2）请对该校学生睡眠时间的情况做出评价，并提出两条合理化建议． 22. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，） 23. 为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． （1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ （2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 24. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，对角线所在的直线绕点顺时针旋转角，所得的直线分别交，于点，． （1）求证：； （2）当旋转角为多少度时，四边形为菱形？试说明理由． 六、综合与探究（每小题10分，共20分） 25. 如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为2，求阴影部分的面积； （3）连结，在（2）的条件下，求的长． 26. 直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 娄底市2022年初中毕业学业作业（三） 数 学 时量：120分钟 满分：120分 考生注意：1.本学科作业分试题和答题卡两部分，满分120分. 2.请在答题卡上作答，答在试题上无效. 一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1. 2022的相反数是（ ） A. B. C. 2022 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：2022的相反数等于． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A. ，不是同类项，不能合并，故该选选错误， B. ，故该选项错误， C. ，故该选项错误， D. ，故该选项正确， 故选D． 【点睛】本题主要考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，是解题的关键． 3. 根据梧州日报报道，梧州市委宣传部大力开展庆祝中国共产党成立100周年优秀影片展映展播，线上文艺展播点击率为412万人次，其中4120000用科学记数法表示为（　　） A. 4.12×105 B. 4.12×106 C. 4.12×107 D. 4.12×108 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，可得a=4.12，原数变成4.12时，小数点移动了6位，所以n=6． 【详解】解：4120000用科学记数法表示为4120000=， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，，，垂足为，，则等于（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和求出∠ABC=50°，再利用平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴∠ACB=90°， ∵， ∴∠ABC=90°-=50°， ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和和平行线的性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理计算． 5. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案． 【详解】解：直线与相交于点， ， ， ， 当时，， 关于的方程的解是， 故选：B． 6. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的定义即可求解． 【详解】由图可知左视图是 故选B． 【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知左视图的定义． 7. 某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ） ①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7 ②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人． ③若从该校初一学生中抽取120人作为样本调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形图所给信息，结合题目已知条件，逐项分析即可． 【详解】①根据扇形统计图的圆心角的度数，可知三类不同地区的分布的角度为比为： ，正确； ②，则总数为840人，判断不正确； ③分别随机抽取30、20、70人是按照①分布情况抽取的，符合抽样调查的原则，判断正确． ②不正确，共1个 故答案为：C 【点睛】本题考查了扇形统计图，求样本的容量，抽样调查等知识点，能正确处理扇形统计图的中的信息是解题的关键． 8. 如图，在中，弦CD与直径AB板交于点E，连接OC，BD．若，，则的度数为（ ） A. 80° B. 100° C. 120° D. 140° 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角形外角性质求出∠CDB=∠AED-∠ABD=80°-20°=60°，再根据圆周角定理得出∠COB=2∠CDB=2×60°=120°即可． 【详解】解：∵∠AED是△DEB的外角， ∴∠CDB=∠AED-∠ABD=80°-20°=60°， ∴∠COB=2∠CDB=2×60°=120°． 故选C． 【点睛】本题考查三角形外角性质，圆周角定理，掌握三角形外角性质，圆周角定理是解题关键． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（　　） A. 5t B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由反比例函数中的的几何意义直接可得特定的三角形的面积，从而可得答案. 【详解】解：如图，记直线y＝t与轴交于点 由反比例函数的系数的几何意义可得： 故选： 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，掌握反比例函数的系数与特定的图形的面积之间的关系是解题的关键. 10. 如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（ ） A. 和的面积相等 B. 四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点， ∴DE、DF为△ABC得中位线， ∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE， ∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确； ∴， ∴， ， ∴和的面积相等，故A正确； ∵， ∴DF＝AB=AE， ∴四边形不一定是菱形，故C错误； ∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握上述性质定理和判定定理是解题的关键． 11. 已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，即可求解． 【详解】解：解不等式得， ， 解不等式得， ， ∵该不等式组无实数解， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”． 12. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根． 【详解】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得， 当时，，由图象可得， ，即， 故②正确． ③，， ， 点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离， ， 故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根． 故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 若分式有意义，则实数x的取值范围为 _____． 【答案】且 【解析】 【分析】分式有意义需要同时满足二次根式有意义和分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴且． 14. 有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 __． 【答案】 【解析】 【分析】卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，再根据概率公式=满足条件的样本个数总体的样本个数，可求出最终结果． 【详解】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形， 根据概率公式，（轴对称图形）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率问题，属于基础题，掌握轴对称图形的性质以及概率公式是解题关键． 15. 如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设、分别与交于点、 ，则 ，可得到，在网格图中，利用锐角三角函数值得到，继而，可得到，证得，然后分别求出、，即可解答． 【详解】如图， 设、分别与交于点、 ，则 ， ∴ , ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 由图可知： ， ∴ ， 即与的相似比为 ， ∴与的周长比为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比． 16. 已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度． 【答案】 ①. ②. 216 【解析】 【分析】根据题意可确定，圆锥侧面展开图是半径为8的扇形，并且其弧长即为底面圆的周长，因而求出底面圆的周长即可，另外根据扇形的弧长公式即可直接求出展开之后的圆心角． 【详解】如图，由题意可知，AB=10，AO=8， 在Rt△ABO中，由勾股定理可得，BO=6， 则该扇形展开后侧面是半径为10的扇形，其弧长即为底面圆的周长， ∴底面的周长为：， 根据弧长公式可得：，解得：， 故答案为：；216． 【点睛】本题考查圆锥的侧面展开问题，理解圆锥侧面展开图形的性质以及基本定理是解题关键． 17. 若且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴=， ∴==， 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时，________． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作FM⊥AC于点M，由折叠的性质得FG=，∠EFG=，EF=AE=1，再证明，得，，进而即可求解． 【详解】解：过点F作FM⊥AC于点M， ∵将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上， ∴FG=，∠EFG=，EF=AE=1， ∴EG=， ∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°， ∴， ∴， ∴=，， ∴AM=AE+EM=， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三角形“是解题的关键． 三、计算题（本大题共2小题，共12分） 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，最后代入计算即可． 【详解】原式 当时， 原式． 【点睛】本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式． 21. 2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下． 平均每天睡眠时间x（时）分为5组：①；②；③；④；⑤．根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第_______组（填序号），达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为_______； （2）请对该校学生睡眠时间的情况做出评价，并提出两条合理化建议． 【答案】（1）③，17%． （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由中位数的定义即可得出结论； （2）求出每天睡眠时间达到9小时的学生人数，计算即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，抽取的这500名学生平均每天睡眠时间的中位数为第250个和第251个数据的平均数， 故落在第③组； 睡眠达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为：×100%=17%， 故答案为：③，17%． 【小问2详解】 答案不唯一，言之有理即可． 例如：该校大部分学生睡眠时间没有达到通知要求；建议①：该校各学科授课老师精简家庭作业内容，师生一起提高在校学习效率；建议②：建议学生减少参加校外培训班，校外辅导机构严禁布置课后作业． 【点睛】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键． 22. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】17.4m 【解析】 【分析】先设出佛像的高度为x，再求出AD=BD，最后利用三角函数关系式得到关于x的分式方程，解分式方程并检验即可． 【详解】解：设佛像的高度为xm， ∵∠BAD=45°， ∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD=x， ∵佛像头部为， ∴CD=x-4， ∵∠DAC=37.5°， ∴tan∠DAC= = ≈0.77， 解得：x≈17.4， 经检验，该方程有意义，且符合题意， 因此x≈17.4是该方程的解， ∴佛像的高度约为17.4m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到了锐角三角函数、等角对等边、解分式方程等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能根据题意得到相等关系等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 23. 为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． （1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ （2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】（1）甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；（2）12天 【解析】 【分析】（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，根据题意列出分式方程，故可求解； （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意列出不等式，故可求解． 【详解】解：（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室， 根据题意，得 解这个方程，得． 经检验，是所列方程的根． （间）， 所以，甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室． （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意，得 解这个不等式，得． 所以，最多安排甲公司工作12天． 【点睛】此题主要考查分式方程与不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解． 24. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，对角线所在的直线绕点顺时针旋转角，所得的直线分别交，于点，． （1）求证：； （2）当旋转角为多少度时，四边形为菱形？试说明理由． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，， 在和中，， ． （2）解：当时，四边形为菱形， 理由：， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，两直线相交，对顶角相等，且，证明两三角形全等，即可得出结论． （2）根据平行四边形对角线垂直即可说明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、综合与探究（每小题10分，共20分） 25. 如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为2，求阴影部分的面积； （3）连结，在（2）的条件下，求的长． 【答案】 （1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解； （2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解； （3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）解：， ， ， ，的半径为2， ， ， 如图，连接， 是的直径，， ， ， ， ， 即， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点，连接， 在中，，， ， ． 【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键． 26. 直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、正方形的性质是解题的关键． （1）令，求点，令，求点，将点、点代入抛物线，即可求解； （2）设，由轴交于点，则，再由，可知，则有，连接，延长交轴于点，可证四边形是平行四边形，为等腰直角三角形，可求， ，，求出，，得到，即可求； （3）先求出，直线的解析式为，联立，求出，分四种情况讨论：①当时，点在上，点在上，可确定或，当时，，；②当时，此时轴，或，当时，；当时，． 【小问1详解】 解：令，则， ． 令，则， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 设， 轴交于点， ． ， ． ． ， ． 如图，连接，延长交轴于点， 四边形是平行四边形， ， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 点横坐标为， ∴，即， ． ． ，解得或（舍）． ． 【小问3详解】 令，则，解得或， ． 设直线的解析式为， 将，代入， ，解得， ∴直线的解析式为， ， ． 联立，解得 ． 以点，，，为顶点的四边形是正方形， ①如图2，图3，当时，点在上，点在上， 点在抛物线上， 或． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 此时与轴重合， 不符合题意． ②如图4，图5，当时，此时轴， 或． 当时，， ． 当时，， ． 综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是正方形，点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $