1.4 正方形的性质与判定（九大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

专题1.4 正方形的性质与判定 题型一 证明四边形是正方形 1．下列命题中的真命题是（　　） A．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 B．四个角都相等的四边形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形和平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据菱形、矩形、正方形和平行四边形的判定解答即可． 【详解】解：A、一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故本选项错误； B、四个角都相等的四边形是正方形，还可能是矩形，故本选项错误； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项正确； D、有一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，故本选项错误． 故选：C． 2．按如图所示，将一张矩形纸对折两次，然后剪下一个角保证剪口线与折痕夹角的角度为，将这个剪下的角打开，得到的图形是______．如果剪口线与折痕夹角的角度不为，得到的图形是______． 【答案】 正方形 菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定，折叠的性质，先画出图形，在根据菱形的判定，正方形的判定进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴四边形是菱形， ∵剪口线与折痕夹角的角度为， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； 如图， 由题意得：， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形． 3．如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，四边形满足_____________时，四边形是正方形．（直接写答案） 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 在中，点分别是的中点， ∴， 在中，点分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． (2)证明： 如图所示，连接， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵由（1）知，四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）连接，利用三角形中位线的性质证明即可； （2）连接，根据三角形中位线的性质转化为平行四边形的邻边相等证明即可； （3）根据三角形中位线的性质转化为菱形有一个角为证明即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：四边形满足时，四边形是正方形，理由如下： ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形． 题型二 根据正方形的性质与判定求角度 4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 5．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形、正方形的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）如图：连接，由勾股定理逆定理得到是直角三角形，即可求解； （2）根据平行四边形的性质，正方形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：连接， 根据勾股定理得，，， ∴，， ∴， 是直角三角形， ． （2）解：如图所示，取格点四边形或四边形， 或 四边形：根据格点可得四边形是平行四边形， ∴对角线相互平分，交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求； 四边形，连接， ∵， ∴， ∴即为所求； 根据格点图示，可得点到的高为， ∴ ． 题型三 根据正方形的性质与判定求线段长 7．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，连接，其中，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意，由全等三角形的性质及正方形的判定与性得到相关线段长，在等腰中，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成， ， ，即中间四边形是正方形， ， ， ， 在等腰中，， 故答案为：． 8．正方形中，，是直线上一点，以点为直角顶点，在右侧作等腰直角，连接． (1)如图1，E是的中点时，与的数量关系是_________，的度数是_________． (2)如图2，若是线段上任意一点时，（1）中结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)连接，若，直接写出的长． 【答案】(1)；； (2)成立．证明如下： 过点F作，交延长线于点H，如图， ， 四边形是正方形， ，， ， 在中，，， ， ， ， 在与中, ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ，． (3)或 【分析】（1）添加辅助线，过点F作，交延长线于点G，证明与全等，结合边与角的关系，由此可得． （2）添加辅助线，过点F作，交延长线于点H，证明与全等，结合边与角的关系，由此可得． （3）分类讨论在正方形外部时，与在正方形内部时，结合解直角三角形，以及勾股定理求解的长度，再由与的数量关系求解的长即可． 【详解】（1）解：过点F作，交延长线于点G，如图， 即， ∴， 四边形是正方形， ，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）略 （3）解：当在正方形外部时， 过点D作交的延长线于点M，如图， ∵，即 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，且， ∴，即， 可得（负值舍）， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，， ∴， 在中，， 即，可得， 解得（负值舍）， ∴， ∴， ∵． ∴； 当在正方形内部时， 过点D作交的延长线于点N，如图， ∵，即 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，且， ∴，即， 可得（负值舍）， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵． ∴； 综上，的长为或． 题型四 根据正方形的性质与判定求面积 9．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 10．如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________． 【答案】/30/30.5 【分析】延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，得到边长为9的正方形GEHF，根据四边形EBCF的面积=即可求解． 【详解】解：延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， ∵CF//AE，DF//BE， ∴四边形GEHF是平行四边形， ∵∠AEB=90°， ∴平行四边形GEHF是矩形， ∴∠AEB =∠G=∠CFD=∠H=90°， 根据等角的余角相等， ∴∠EAB=∠GDA=∠FCD=∠HBC， ∴Rt△EAB≌Rt△GDA≌Rt△FCD≌Rt△HBC， ∴EA=GD=FC=HB=5，EB=GA=FD=HC=4， ∴EG=GF=FH=HE=5+4=9，即矩形GEHF是边长为9的正方形， ∴四边形EBCF的面积为： ． 故答案为：． 11．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． (1)求证：四边形ADCE是矩形． (2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积． 【答案】(1)见解析 (2)正方形， 【分析】（1）先根据三线合一定理得到∠ADC=90°，，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可证明平行四边形ADCE是矩形； （2）根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形AECD是正方形，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，， 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE是矩形； （2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE=90°，即AC⊥DE， ∴四边形ADCE是正方形， ∴ ∴． 题型五 根据正方形的性质与判定证明 12．如图，在正方形中，，点是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，则为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，过点作，交于点，根据正方形的性质证明结合勾股定理求解的值，证明矩形为正方形，再根据，，推出，设，根据勾股定理求出的值，进一步可求出的值，然后求出的值，最后对运用勾股定理即可求解． 【详解】如图，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，平分，， ∵在中，，， ∴， ∴根据勾股定理， 整理得，解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∵平分，，， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， 设， ∵在中，，， ∴， ∴根据勾股定理，，解得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，． 13．如图，四边形ABCD是正方形，点G是边BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．已知DE＝10，BF＝6，则EF的长度为 ___． 【答案】4 【分析】因为AF=AE+EF，则可以通过证明△ABF≌△DAE，从而得到AE=BF，AF=DE 便得到了EF=DE- BF． 【详解】证明：∵ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90° ∵DE⊥AG， ∴∠AED=90° ∴∠ADE+∠DAE=90° 又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°， ∴∠ADE=∠BAF． ∵BF∥DE， ∴∠AFB=∠DEG=∠AED． 在△ABF与△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）． ∴BF=AE，AF=DE ∵AF=AE+EF， ∴EF=DE- BF=4， 故答案为：4. 14．如图，点，在正方形的边，上，且，交于点：连接，过点作，垂足为，连接，，交于点． (1)判断与的关系，并给出证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)，； 证明：如图，过点作于，过点作分别交，于，， 四边形是正方形， ，． ． 四边形为矩形，四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ，，． ，，即． ，， ． ． ． ． ， ， ， ． ，． 又， ． ． ． (2) 【分析】（1）过点作于，过点作分别交，于，，证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （2）证明，得出，，再证明，在 中，利用勾股定理求出的长，由等面积法求出的长，在中，利用勾股定理求出的长，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在正方形中，，， 又∵， ． ，． ， ． ． 在中，，， ∴． ∵， ． 在中，， 由（1）可知，， ． 为等腰直角三角形． ． ． 题型六 中点四边形 15．定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 【答案】B 【分析】根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形 各边、 、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，，即两条对角线互相垂直且相等． 16．如图，E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，若，则四边形是_________（填特殊形状）． 【答案】矩形 【分析】由三角形中位线定理可得，，，，，从而得出，，进而可得四边形是平行四边形，结合题意得出，即可得证． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是四边形四条边的中点， ∴为的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 17．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点，，，分别为边，，，的中点．若，求四边形的面积． 【答案】12 【分析】根据中位线定理得到，，，，可知四边形是平行四边形，根据证明四边形是矩形，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵分别为边的中点． ，， ∴． 同理，，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 题型七 （特殊）平行四边形的动点问题 18．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 【答案】D 【分析】对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可． 【详解】解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形，都是矩形， ∴，， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D． 19．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒） ∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， 到达的时间为（秒）， ∴当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 20．如图，在矩形中，，，延长至点，使，连接．动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当点，中有一个点到达终点时，另一个点随即停止运动，设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)在整个运动过程中，________（选填“存在”或“不存在”）值，使得四边形是菱形； (3)若只改变点的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，求动点的速度； (4)连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)2.2秒 (2)不存在 (3) (4)当t的值为或或时，为等腰三角形 【分析】（1）当时，四边形是矩形，根据列出方程即可求解； （2）由勾股定理求出，当时，四边形是平行四边形，可求得t的值，只要判断的长度是否相等，即可判定四边形是否是菱形； （3）设点的速度为，则当时，四边形是正方形，据此列出方程可求解； （4）分三种情况，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，即，，，， 当时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 由题意知，， ∴， ∴， 解得； 答：为2.2秒时，四边形是矩形； （2）解：由勾股定理得，， ∵，即， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 此时， 即不存在t的值，使四边形是菱形； （3）解：设点的速度为， 由（1）知，当时，四边形是矩形， 则当时，四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：在整个运动过程中，当四边形是正方形时，动点的速度为； （4）解：为等腰三角形，有三种情况； ①当时， ∵， ∴， 即， ∴； ②当时，， ∵， ∴在中，， 解得； ③当时，则， ∴， 解得； 综上，当t的值为或或时，为等腰三角形． 题型八 四边形中的线段最值问题 21．如图，在矩形中，，，为的中点，为上的动点且，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质和全等三角形的性质证明，在的延长线上截取，连接，证明，当点三点共线时，最小，即最小，最小值为，在中，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：连接， 在矩形中，，，， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在的延长线上截取，连接， ∴， 又是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，即最小，最小值为， 在中，， 由勾股定理得： ， ∴的最小值为． 22．如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】连接、、，根据矩形的性质和勾股定理，得出，利用直角三角形的斜边中线，得出，证明四边形是矩形，则，当点在上时，有最小值为． 【详解】解：如图，连接、、， 矩形，，， ，，， ， ， ， 在中，O为的中点， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即当点在上时，有最小值为． 23．【问题提出】 (1)如图1，在中，可知______；（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题探究】 (2)如图2，校园劳动实践园里有一块菱形的草莓种植区，其中，E是对角线上的一个浇水点，现在要在的延长线上设一个肥料投放点F，使得，连接，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，正方形的香草种植区，其边长，点E在边上，点F在对角线上，且，要沿铺设两条滴灌带．为了节省管材，要使滴灌带总长度最短，求的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)证明：如图，作交于点， 在菱形中，，， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ． (3) 【分析】（1）根据三角形的基本性质：“三角形任意两边之和大于第三边”，即可求解； （2）作交于点，先利用菱形性质以及平行线的性质推导出是等边三角形，再根据全等三角形的判定定理得到，即可得证； （3）过点作，且，连接，先根据全等三角形的判定定理推导出，得到，再根据两点之间线段最短，当点三点共线时，有最小值，过点作交的延长线于，于，利用勾股定理得到的长，即为所求． 【详解】（1）根据三角形三边关系可知，在中，． （2）略 （3）如图，过点作，且，连接， ， ， ， ， ， ， ， 当点三点共线时，有最小值，其值为的长． 过点作交的延长线于，于， 在正方形中，， ， 在中，， ， ， 在正方形中，， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， 则 的最小值是． 题型九 四边形其他综合问题 24．如图，在正方形中，是对角线上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且，设． 当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个；②当0＜x＜4－2时，P点最多有9个；③当P点有8个时，x＝2－2；④当△PEF是等边三角形时，P点有4个，一定正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】分情况讨论等腰三角形成立时候，点的个数，通过作图可以直观的求出，或者通过点的个数来求的值． 【详解】①如图（1），当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个，所以①正确 ②0＜x＜4－2时，P点最多有8个，所以②不正确 ③当P点有8个时，如图（2）所示： 当或， 或时，P点有8个，所以③不正确 ④如图（3）当△PEF是等边三角形时，P点有4个，所以④正确 综上所述，①④正确 故选B． 25．如图，满足，，，取的中点，为上任意一点，连接，将沿翻折得到（点在直线右侧），交于点，当时，______． 【答案】 【分析】连接AG，设，根据已知条件可得，证明四边形ADEG是平行四边形，再根据勾股定理计算即可； 【详解】连接AG， 设，则， ∵D是AC的中点， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形ADEG是平行四边形， ∴AD∥EG，， ∵，， ∴， 在Rt△ABC中，，， ∴， ∴， 在Rt△CBE中，， ∴； 故答案是． 26．综合与实践课上，教师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图①，当与垂直时，判断与的数量关系，并证明． (2)探究：如图②，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不变，证明见解析 (3)的度数为或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点作于点，作于点．由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，．进而有，从而，进而证得，得证； （3）分情况讨论：过点作于点，作，交的延长线于点，证得，得到，根据角平分线的判定得到平分；连接，过点作于点，过点作交延长线于点，，矩形是正方形，即可作答． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ，平分， ，， ， 四边形是矩形， ； （2）解：的结论不变，理由如下： 过点作于点，作于点， ， 四边形是正方形， ，平分， 四边形是矩形，， ， ， ， 即， ， ； （3）解：过点作于点，作，交的延长线于点， 则， 由（2）有，且四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 在四边形中，， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 平分， 四边形是正方形， ， ， ， 的度数为； 如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， 又， ， ， ， 又，， ， ， 矩形是正方形， 是对角线， ， 的度数为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 正方形的性质与判定 题型一 证明四边形是正方形 1．下列命题中的真命题是（　　） A．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 B．四个角都相等的四边形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．按如图所示，将一张矩形纸对折两次，然后剪下一个角保证剪口线与折痕夹角的角度为，将这个剪下的角打开，得到的图形是______．如果剪口线与折痕夹角的角度不为，得到的图形是______． 3．如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，四边形满足_____________时，四边形是正方形．（直接写答案） 题型二 根据正方形的性质与判定求角度 4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 5．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 题型三 根据正方形的性质与判定求线段长 7．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，连接，其中，则的长是______． 8．正方形中，，是直线上一点，以点为直角顶点，在右侧作等腰直角，连接． (1)如图1，E是的中点时，与的数量关系是_________，的度数是_________． (2)如图2，若是线段上任意一点时，（1）中结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)连接，若，直接写出的长． 题型四 根据正方形的性质与判定求面积 9．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________． 11．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． (1)求证：四边形ADCE是矩形． (2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积． 题型五 根据正方形的性质与判定证明 12．如图，在正方形中，，点是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，则为（     ）． A． B． C． D． 13．如图，四边形ABCD是正方形，点G是边BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．已知DE＝10，BF＝6，则EF的长度为 ___． 14．如图，点，在正方形的边，上，且，交于点：连接，过点作，垂足为，连接，，交于点． (1)判断与的关系，并给出证明； (2)若，，求的长． 题型六 中点四边形 15．定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 16．如图，E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，若，则四边形是_________（填特殊形状）． 17．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点，，，分别为边，，，的中点．若，求四边形的面积． 题型七 （特殊）平行四边形的动点问题 18．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 19．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 20．如图，在矩形中，，，延长至点，使，连接．动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当点，中有一个点到达终点时，另一个点随即停止运动，设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)在整个运动过程中，________（选填“存在”或“不存在”）值，使得四边形是菱形； (3)若只改变点的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，求动点的速度； (4)连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 题型八 四边形中的线段最值问题 21．如图，在矩形中，，，为的中点，为上的动点且，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 22．如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______． 23．【问题提出】 (1)如图1，在中，可知______；（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题探究】 (2)如图2，校园劳动实践园里有一块菱形的草莓种植区，其中，E是对角线上的一个浇水点，现在要在的延长线上设一个肥料投放点F，使得，连接，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，正方形的香草种植区，其边长，点E在边上，点F在对角线上，且，要沿铺设两条滴灌带．为了节省管材，要使滴灌带总长度最短，求的最小值是多少？ 题型九 四边形其他综合问题 24．如图，在正方形中，是对角线上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且，设． 当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个；②当0＜x＜4－2时，P点最多有9个；③当P点有8个时，x＝2－2；④当△PEF是等边三角形时，P点有4个，一定正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 25．如图，满足，，，取的中点，为上任意一点，连接，将沿翻折得到（点在直线右侧），交于点，当时，______． 26．综合与实践课上，教师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图①，当与垂直时，判断与的数量关系，并证明． (2)探究：如图②，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $