专题02 矩形的性质与判定（十四大题型42道题）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以矩形性质与判定为核心，通过14个递进知识点42道题构建从概念理解到综合应用的训练体系，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质理解|3题|矩形特性辨析与基础作图|从矩形定义出发，建立与平行四边形的性质差异认知| |性质应用（角度/线段/面积）|9题|结合对角线、折叠等求角度线段及面积|深化性质在计算中的应用，渗透转化思想| |坐标系与折叠|6题|坐标确定与折叠前后图形关系分析|体现几何与代数结合，培养空间观念| |斜边中线|3题|直角三角形斜边中线性质应用|衔接矩形性质与三角形中线定理| |判定定理|6题|判定条件补充与格点矩形构造|从定义到判定定理，构建判定逻辑链| |性质与判定综合|12题|综合证明及角度线段面积计算|整合性质与判定，提升综合推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题02 矩形的性质与判定（十四大题型42道题） 目录 知识点一矩形性质理解 1 知识点二利用矩形的性质求角度 3 知识点三根据矩形的性质求线段长 5 知识点四根据矩形的性质求面积 8 知识点五利用矩形的性质证明 10 知识点六求矩形在坐标系中的坐标 14 知识点七矩形与折叠问题 19 知识点八斜边的中线等于斜边的一半 24 知识点九矩形的判定定理理解 27 知识点十添一条件使四边形是矩形 29 知识点十一证明四边形是矩形 31 知识点十二根据矩形的性质与判定求角度 34 知识点十三根据矩形的性质与判定求线段长 36 知识点十四根据矩形的性质与判定求面积 40 知识点一矩形性质理解 1．下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．对角相等 B．对边相等 C．邻角互补 D．对角线相等 【答案】D 【解答】解：A、B选项：平行四边形与矩形的对角，对边均相等，不符合题意； C选项：平行四边形对边平行，邻角互补，矩形也具有该性质，不符合题意； D选项： 一般平行四边形对角线仅互相平分， 矩形对角线相等，符合题意． 2．已知矩形对角线夹角，较短边，则矩形面积为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出对角线相等且互相平分，从而得到，结合判定为等边三角形，求出对角线长，再利用勾股定理求出矩形的另一边长，最后计算面积． 【解答】解：四边形是矩形 ，， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 矩形的面积． 3．如图，四边形为矩形，点在上，连接，请用尺规作图法，在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求．（作法不唯一） 【分析】在边上截取点，使，结合，得到四边形是平行四边形，则． 【解答】解：略 知识点二利用矩形的性质求角度 4．如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【解答】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在矩形中，点分别在边上，且，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点．则的长是_________． 【答案】 【分析】由可求出，的值，根据折叠的性质可知，，，然后根据勾股定理求解即可． 【解答】解：， ， ， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可知，，， ， ． ． 6．如图，是矩形的对角线，且，请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见详解 【分析】本题主要考查矩形的性质、特殊三角函数值、尺规作图画角平分线，掌握特殊三角函数值是解题的关键． 已知，推出，得到，又根据矩形性质得，得到，推出，那么是的角平分线，画出即可． 【解答】解：∵， ∴． ∵矩形， ∴，． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 知识点三根据矩形的性质求线段长 7．如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据矩形的性质结合三角形的中位线求解即可. 【解答】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 点P，Q分别为，的中点， 是的中位线， 8．如图，在矩形中，于点E，，若，则______． 【答案】/厘米 【分析】连接，交于点，设，则，，根据矩形的性质，可得，从而可得点是的中点，进而垂直平分，最后根据垂直平分线的性质，得，则． 【解答】解：连接，交于点， 设，则，， 矩形， 和相等且互相平分， ， ，， 点是的中点， ， 垂直平分， ， ， ， ． 9．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）解：， ， ， ， 在和中， ． （2）2 【分析】（1）根据已知条件可由角边角推出全等； （2）先根据勾股定理求出的长，再用求出． 【解答】（1）略 （2），， ， 矩形 ，， 根据勾股定理，， ． 知识点四根据矩形的性质求面积 10．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，交于，根据矩形的性质可得即可求解. 【解答】解：作于，交于， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， ， 故选：C． 11．今年3月，为庆祝建校13周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是________． 【答案】72 【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，利用矩形的性质，直角三角形的性质，求解即可； 【解答】解：过点B作于点E，过点D作于点F， 根据题意，得， ∴四边形是平行四边形． ， ， ， ， 根据题意，得矩形的宽为， ， ， 故重叠部分图形的面积是：； 12．如图，在矩形中，，垂足为，且与互相平分，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求矩形的面积． 【答案】（1）证明：与互相平分， ∴四边形为平行四边形 ， ∴平行四边形为菱形 （2）矩形的面积为 【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形为平行四边形，再根据菱形的判定证得结论； （2）先利用勾股定理求得，再根据菱形的性质求得，然后根据矩形的性质求解即可． 【解答】（1）略 （2）解：在中，由勾股定理得：， 即， 解得； ∵四边形为菱形， ， ∴矩形的面积为． 知识点五利用矩形的性质证明 13．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，如果，，那么的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，再证明，则可证明是等边三角形，得到，则，再由矩形的对角线相等即可解答． 【解答】解：∵矩形的对角线、相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在矩形中，． 故选：B． 14．在矩形中，，，点在边上．且，是射线上的一个动点．若是等腰直角三角形，则的长为________． 【答案】或 【分析】如图1，当时，根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，，过作于，根据全等三角形的判定和性质定理，勾股定理即可得到结论；如图2，当时，根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，，过作于，根据全等三角形的判定和性质定理，勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图1，当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图2，当时，   ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 15．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，求证：． 【答案】证明：∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解答】略 知识点六求矩形在坐标系中的坐标 16．如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，结合两点的坐标，即可得出结果. 【解答】解：∵，两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， 又∵点在第一象限， ∴. 17．如图，四边形是矩形，、．则B点坐标为_____．将沿直线折叠，如图所示，此时点A落在点D处，与交于点E，直线的解析式为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和点A，C的坐标即可得到B点坐标；由折叠和平行线的性质得到，推出，然后利用勾股定理求出，然后利用待定系数法求解． 【解答】解：∵四边形是矩形，、 ∴，，， ∴B点坐标为； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴ 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为． 18．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点在第一象限． （1）求，两点的坐标； （2）若的面积与的面积相等，求的值； （3）在平面直角坐标系中存在一点，使得以，，，四个点为顶点的四边形为矩形，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【分析】（1）轴上点纵坐标为0，轴上点横坐标为0，代入函数解析式求解即可； （2）先求出的面积，可得的面积，再用点的坐标表示的面积，代入计算即可； （3）根据矩形互相平分且相等的性质，列中点公式求的坐标，再验证对角线相等即可． 【解答】（1）令，代入一次函数解析式得， 解得， ∴； 令，代入一次函数解析式得， ∴； （2）过作轴于，过作，交于， ∵轴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∵且在第一象限， ∴， ∴ ， ∴, ∴ ， ​ 令， 解得； （3）由（2）得 ，四个点构成矩形，根据矩形对角线互相平分且相等，分三种情况讨论： ① 若为矩形的对角线： 中点坐标为 ，， 设， ∴由中点重合： 解得 ∴ ， ∵矩形的对角线相等，则, ∴， 整理的：, 解得：，， ∴（不符合题意，舍去）或； ② 若为矩形的对角线： 中点坐标为 ， 同理得： 解得 ， 此时,即， ∴ 整理得， 解得（舍去） ③ 若为矩形的对角线： 中点坐标为 ， 同理得： ​ 解得 ， ∴， ∵， ∴ 整理得， ∴， ∴; ∴ 存在或使得以，，，四个点为顶点的四边形为矩形． 知识点七矩形与折叠问题 19．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，且与相交于点，则的长是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据矩形和折叠可得，再根据等角对等边得出，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：矩形中，，， ， ， 折叠， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即的长是5． 20．如图，在矩形中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是________．（写出个即可） 【答案】或或 【分析】分情况讨论与的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【解答】解：在矩形中，， ①当与的夹角为时，即，如图： 根据折叠可得， ， ， ； ②当与的夹角为时，即，或， 如图：当， ， ， ， ； 当，如图： ， ， ， ； 综上，的度数可以是或或． 21．如图，在矩形中，，，点是射线上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． （1）当点落在边上时，四边形的形状是_______，此时线段长为_______． （2）当点、、在同一条直线上时，求线段长． （3）当为直角时，直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；3 （2） （3）或 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，即可求解； （2）根据折叠的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求解即可； （3）设，分两种情况：当点F在边上时，当点F在边的延长线上时，结合勾股定理解答即可． 【解答】（1）解：如图， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴； （2）解：如图， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 在中，， ∴， 解得：； （3）解：由折叠的性质得：，， 设， 当点F在边上时，则， ∵为直角， ∴， ∴点D，E，F三点共线， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点F在边的延长线上时，则， ∵为直角， ∴， ∴点D，E，F三点共线， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，线段长为或． 知识点八斜边的中线等于斜边的一半 22．如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得，结合推出，即为等腰三角形；再结合是中点，得，在中，是斜边中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可求． 【解答】解：连接， 四边形是平行四边形， ，对角线互相平分，． 已知，则， 得， 是等腰三角形． 为中点， 等腰中，中线， ， 即是直角三角形． 又为的中点， 在中，斜边中线． ， ． 23．如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．若，则的周长为 ____________． 【答案】16 【分析】由三角形中位线定理得到，可证明，得到，则由直角三角形的性质和线段中点的定义可得，据此可得答案． 【解答】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， ∴的周长． 24．如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）1.4 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质得出，根据等边对等角得出，结合角平分线的定义得出，则，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）证明平行四边形是矩形，得出，，，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，从而得出，解方程即可． 【解答】（1）略 （2）解：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中，， 在中， ， ∴， 解得． 知识点九矩形的判定定理理解 25．为检测如图所示的平行四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（     ） A．测量与的长度是否相等 B．测量与的长度是否相等 C．测量与的长度是否相等 D．测量与的长度是否相等 【答案】B 【解答】解：A、测量与的长度是否相等，无法确定是矩形，故本选项的测量方法不可行； B、测量与的长度是否相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项的测量方法可行； C、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行； D、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行． 26．如图，，为的正方形网格中的两个格点．四个顶点都是格点的矩形称作格点矩形，在此图中以，为顶点的格点矩形共可以画出_________个． 【答案】 【分析】根据网格特点、矩形的判定画出相应的图形即可． 【解答】如图所示，共可以画出以下个以，为顶点的格点矩形． 27．如图，在中，，交于点，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）的平分线交于点，当，时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出，即可得出结论； （2）过点作于点，由角平分线的性质得出．由三角函数定义得出，．，设，则，在中，由三角函数定义即可得出答案． 【解答】证明：（1）四边形是平行四边形， ，． ， ． 为矩形． （2）过点作于点，如图所示： 四边形是矩形， ， ， 为的角平分线， ． ， ． ，， ． ． ，． 设，则， 在中，， ． 解得：， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键． 知识点十添一条件使四边形是矩形 28．如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确基础图形是平行四边形，需回忆平行四边形判定为矩形的定理，包括对角线相关、内角相关的判定条件。逐一分析各选项对应的几何性质，结合判定定理匹配符合要求的选项． 【解答】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中对角线，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确． 选项B：邻边相等（）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误． 选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误． 选项D：对角线互相垂直（）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误． 29．如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 【答案】或（合理即可） 【解答】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由矩形的判定，添加或（合理即可）． 30．如图，在中，点、分别在、上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接、，请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2）（答案不唯一）， 方法一：添加四边形的对角线相等，即， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形； 方法二：添加四边形的一个内角为直角，如， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形． 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证； （2）平行四边形满足对角线相等或有一个内角是直角，即可判定为矩形，据此即可解答． 【解答】（1）略 （2）略 知识点十一证明四边形是矩形 31．在四边形中，，，下列说法能使四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，，可得四边形为等腰梯形或平行四边形，结合矩形的判定，逐一分析各选项即可． 【解答】解：，， 四边形是等腰梯形或平行四边形． 对选项A：若四边形为等腰梯形，为底边，等腰梯形同一底上的角相等，满足，但不是矩形，故A不符合题意． 对选项B： 同理可得， 即四边形四个内角均为直角， 四边形是矩形，故B符合题意． 对选项C：等腰梯形可以满足腰长等于底边长，即，仍为等腰梯形，不是矩形，故C不符合题意． 对选项D：等腰梯形对角线相等，满足，但等腰梯形不是矩形，故D不符合题意． 32．毕业季同学们互送贺卡如图所示，小颖制作了一张贺卡，做好后量得，，，小颖立刻判断这张贺卡形状是矩形，小颖的判断依据是_________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】先证明出四边形为平行四边形，再结合勾股定理逆定理得出，即可得出结果． 【解答】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∴小颖的判断依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形． 33．如图，在中，，点是线段的中点，，，，垂足为点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，点是线段的中点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． ， ， 平行四边形是矩形． （2） 【分析】（1）先根据两组对边平行判定四边形是平行四边形，再结合，有一个角是直角的平行四边形为矩形完成证明． （2）先求出，由勾股定理算出，再借助三角形面积法，求出线段的长． 【解答】（1）略 （2）解：，， ， ， ∴在中，， ∵四边形是矩形， ，， ， 即， ． 知识点十二根据矩形的性质与判定求角度 34．如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得AC=BD=8，AB=4，进而证得四边形ABCD为矩形，利用勾股定理求得BC即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵△ABO是等边三角形，AC=8cm， ∴AO=OB=AB=4cm， ∴AC=BD， ∴四边形是ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC=， ∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= （cm2）， 故答案为：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． 35．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 【答案】15° 【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案． 【解答】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC， ∵， ∴∠BEA＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝30°， ∵=BC， ∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴90°−75°＝15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 36．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠DOE； 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得出答案． 【解答】证明：（1）， ， ， 四边形是矩形； （2）四边形是矩形， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 知识点十三根据矩形的性质与判定求线段长 37．如图，在梯形中，，，，，，则的长度为（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，可得四边形为矩形，求出的长，再根据含角的直角三角形的性质求解． 【解答】解：过点作于点，则， ，， ∴， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， ． 38．如图，直线与坐标轴分别交于点，，点是线段上一动点，过点作轴于点，作轴于点，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】如图，连接，首先求出，，利用勾股定理求出，证明四边形是矩形，得到，当时，最小，然后利用等面积法求解即可． 【解答】解：如图，连接， 直线与坐标轴分别交于点A，B， 当时，， ∴， ， 当时，， 解得， ∴， ∴， ， 轴，轴，， 四边形是矩形， ， 当时，最小，即最小， ∵， ∴， ， ， ∴线段的最小值为． 39．菱形的对角线相交于O，E是的中点，于F，于G，． （1）菱形的周长为________； （2）求证：四边形是矩形； （3）若，求的长． 【答案】（1）； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，即点是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （3）． 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可求出菱形的周长； （2）先根据菱形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，证出，然后可证出四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定即可得证； （3）根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出的长，则可得的长，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【解答】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，是的中点，， ∴，， ∴菱形的周长为； （2）略； （3）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 知识点十四根据矩形的性质与判定求面积 40．如图所示，六边形中，平行且等于，平行且等于，平行且等于，对角线，已知，，则六边形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于，交于点，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和易得，计算该六边形的面积可以分成部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积． 【解答】解：连接交于，交于点，如图： 平行且等于，平行且等于， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，，，， ， 四边形是矩形， ，且，， ． 六边形的面积平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积 ． 41．如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】连接，与交于点F，只要证明四边形是菱形，四边形是平行四边形结合勾股定理即可解决问题． 【解答】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题． 42．如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）选择①， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 选择②， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2） 【分析】（1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明是平行四边形，然后根据矩形的定义得到结论即可； （2）利用勾股定理得到长，然后利用矩形的面积公式计算即可． 【解答】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴矩形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题02 矩形的性质与判定（十四大题型42道题） 目录 知识点一矩形性质理解 1 知识点二利用矩形的性质求角度 2 知识点三根据矩形的性质求线段长 3 知识点四根据矩形的性质求面积 4 知识点五利用矩形的性质证明 5 知识点六求矩形在坐标系中的坐标 5 知识点七矩形与折叠问题 6 知识点八斜边的中线等于斜边的一半 7 知识点九矩形的判定定理理解 8 知识点十添一条件使四边形是矩形 9 知识点十一证明四边形是矩形 10 知识点十二根据矩形的性质与判定求角度 11 知识点十三根据矩形的性质与判定求线段长 12 知识点十四根据矩形的性质与判定求面积 12 知识点一矩形性质理解 1．下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．对角相等 B．对边相等 C．邻角互补 D．对角线相等 2．已知矩形对角线夹角，较短边，则矩形面积为______． 3．如图，四边形为矩形，点在上，连接，请用尺规作图法，在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 知识点二利用矩形的性质求角度 4．如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，点分别在边上，且，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点．则的长是_________． 6．如图，是矩形的对角线，且，请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 知识点三根据矩形的性质求线段长 7．如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．5 8．如图，在矩形中，于点E，，若，则______． 9．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 知识点四根据矩形的性质求面积 10．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 11．今年3月，为庆祝建校13周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是________． 12．如图，在矩形中，，垂足为，且与互相平分，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求矩形的面积． 知识点五利用矩形的性质证明 13．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，如果，，那么的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 14．在矩形中，，，点在边上．且，是射线上的一个动点．若是等腰直角三角形，则的长为________． 15．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，求证：． 知识点六求矩形在坐标系中的坐标 16．如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 17．如图，四边形是矩形，、．则B点坐标为_____．将沿直线折叠，如图所示，此时点A落在点D处，与交于点E，直线的解析式为_____． 18．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点在第一象限． （1）求，两点的坐标； （2）若的面积与的面积相等，求的值； （3）在平面直角坐标系中存在一点，使得以，，，四个点为顶点的四边形为矩形，求点的坐标． 知识点七矩形与折叠问题 19．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，且与相交于点，则的长是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 20．如图，在矩形中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是________．（写出个即可） 21．如图，在矩形中，，，点是射线上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． （1）当点落在边上时，四边形的形状是_______，此时线段长为_______． （2）当点、、在同一条直线上时，求线段长． （3）当为直角时，直接写出线段的长． 知识点八斜边的中线等于斜边的一半 22．如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 23．如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．若，则的周长为 ____________． 24．如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，，求的长． 知识点九矩形的判定定理理解 25．为检测如图所示的平行四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（     ） A．测量与的长度是否相等 B．测量与的长度是否相等 C．测量与的长度是否相等 D．测量与的长度是否相等 26．如图，，为的正方形网格中的两个格点．四个顶点都是格点的矩形称作格点矩形，在此图中以，为顶点的格点矩形共可以画出_________个． 27．如图，在中，，交于点，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）的平分线交于点，当，时，求的长． 知识点十添一条件使四边形是矩形 28．如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 29．如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 30．如图，在中，点、分别在、上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接、，请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 知识点十一证明四边形是矩形 31．在四边形中，，，下列说法能使四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 32．毕业季同学们互送贺卡如图所示，小颖制作了一张贺卡，做好后量得，，，小颖立刻判断这张贺卡形状是矩形，小颖的判断依据是_________． 33．如图，在中，，点是线段的中点，，，，垂足为点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 知识点十二根据矩形的性质与判定求角度 34．如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 35．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 36．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠DOE； 知识点十三根据矩形的性质与判定求线段长 37．如图，在梯形中，，，，，，则的长度为（     ） A．4 B．6 C． D． 38．如图，直线与坐标轴分别交于点，，点是线段上一动点，过点作轴于点，作轴于点，连接，则线段的最小值为________． 39．菱形的对角线相交于O，E是的中点，于F，于G，． （1）菱形的周长为________； （2）求证：四边形是矩形； （3）若，求的长． 知识点十四根据矩形的性质与判定求面积 40．如图所示，六边形中，平行且等于，平行且等于，平行且等于，对角线，已知，，则六边形的面积是（     ） A． B． C． D． 41．如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为________． 42．如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $