1.3 矩形的性质与判定（六大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过六类层级化题型构建从概念理解到综合应用的逻辑训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形性质理解|3题|对比菱形考查性质差异，结合中点、垂线应用|从矩形定义出发，关联平行四边形性质，突出对角线相等核心特征| |求角度|3题|围绕对角线交点形成的等腰三角形，结合角平分线|利用矩形对角线性质推导角度关系，强化等边对等角推理| |求线段长|3题|涉及面积、动点、圆与矩形结合，综合勾股定理|以矩形边长、对角线为基础，拓展中点、垂线等辅助线方法| |求面积|3题|含中点四边形、矩形叠加、不规则四边形转化|通过分割、补形思想，将面积问题转化为矩形基本量计算| |性质证明|3题|结合全等、平行判定，涉及中点、角平分线|运用矩形性质构建全等条件，培养逻辑推理能力| |折叠问题|3题|含沿边、对角线折叠，涉及对称与方程思想|综合轴对称性质与矩形不变量，提升空间观念与建模意识|

1.3矩形的性质与判定 题型一矩形性质理解 1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( A.对角线互相平分 B.两组对边分别平行 C.对角线相等 D.两组对角分别相等 2.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE,垂足为F若AB=6, BC=4,则DF的长为 D E 3.如图，在矩形ABCO中，延长AO到点D,使DO=AO,延长CO到点E,使 EO=CO ，连接 AC,AE,DC DE D E (1)求证：四边形ACDE是菱形； (2)若AE=5,AO=3,求四边形ACDE的面积. 题型二利用矩形的性质求角度 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若∠AOB=56°，则 ∠ACB 等于( O B C A.56° B.28° C.20° D.18o 5.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠OAD=65°，则∠ODC= 度 D O 6.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD,交BC于点E ,若∠CAE=10°，求∠OBC的度数. D 题型三根据矩形的性质求线段长 7.如图，矩形ABCD的面积为48，对角线AC的长为10，P是AD边上不与端点 重合的动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E,F,则PE+PF的值为 B 4 2 A.5 B.5 C.5 D.12 8.如图，在矩形ABCD中，连接BD,以B为圆心，BD为半径画弧交射线BC于 点E,连接DE,若AB=6,AD=8,则DE的长为 E 9.如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，连接CE,BE,过点B作 BF⊥CE F CF=ED 于点， E D (1)求证：△ECD≌△BCF; (2)若BC=10,AB=6,求AE的长 题型四根据矩形的性质求面积 10.如图，E,F,GH分别为矩形ABCD各边的中点，若AB=3,BC=4,则四 边形EFGH的面积为( H D E G B A.4 B.6 C.8 D.12 11.如图，ABCD,AEFC都是矩形，而且点B在边EF上，其中AB=2, BC=2AB AEFC ,则矩形 的面积为 12.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O, 若OA=V0,AB=4,BC=26,求四边形ABCD的面积. 4 D B 题型五利用矩形的性质证明 13.如图，在矩形ABCD中，AD=4,CD=6,E为CD的中点，连接AE,过点 E作FLE,交8C于点F,则C的长为() B D E 9 A.4 B. C.5 D.1 14.如图，已知矩形ABCD,AB=6,BC=8,AE平分LBAD交BC于点B,点R G分别为AD、AE的中点，则FG的长为 G E D 15.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF,连接 EF、BF,EF与对角线1C交于点Q且BE=BF,∠BEF=2∠B1C 5 (1)求证：OE=OF; (2)若AD=1,求AB的长 题型六矩形与折叠问题 16.如图，有一张矩形纸片ABCD,AB=4,BC=5,E为CD上一点，将纸片沿 折叠，BC的对应边BC恰好经过点D,则线段DE的长为() AE BC B'C D B 7 A.2 B.3 C.2 D.5 17.如图，矩形ABCD中，AB=2cm,BC=6cm,把△ABC沿对角线AC折叠，得 到△AB'C,且B'C与AD相交于点E,则AE的长为 cm B B 18.如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=6,点E,F分别在AD,BC上，将四边 6 形DEFC沿EF翻折，使点D的对称点P落在边AB上，点C的对称点为点G,PG AP 3 交BC于点H,已知BP=2,设AE=x· B (1)求AE的长： (2)求BH的长. > 1.3 矩形的性质与判定 题型一 矩形性质理解 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．两组对边分别平行 C．对角线相等 D．两组对角分别相等 【答案】C 【分析】对比两种图形的性质，找出矩形具有而菱形不一定具有的选项即可． 【详解】∵矩形的性质：两组对边分别平行，两组对角分别相等，对角线互相平分且相等；菱形的性质：两组对边分别平行，两组对角分别相等，对角线互相垂直平分，对角线不一定相等； ∴逐个对比选项：A 对角线互相平分，矩形和菱形都具有，不符合要求； B 两组对边分别平行，矩形和菱形都具有，不符合要求； C 对角线相等，矩形一定具有，菱形不一定具有，符合要求； D 两组对角分别相等，矩形和菱形都具有，不符合要求； 故选C． 2．如图，在矩形中，E是的中点，，垂足为F．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B=∠BAD=90°，∠BAE+∠DAF=90°， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD=90°，∠FAD+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠FDA， ∴△ABE∽△DFA， ∴， 由题意，AD=BC=4，AB=6， ∵E为BC的中点， ∴BE=2， 在Rt△ABE中，， ∴， ∴解得：， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 题型二 利用矩形的性质求角度 4．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．首先根据矩形的对角线相等且互相平分可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 是的外角，， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，矩形中，对角线相交于点 O，，则________度． 【答案】25 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质可得，再由等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵矩形中，对角线相交于点 O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：25． 6．如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    【答案】 【分析】根据四边形是矩形及平分，可得，从而得出．又由可得，最后得出． 【详解】解：四边形是矩形，平分， ， ． 又， ， ． 故答案为： 题型三 根据矩形的性质求线段长 7．如图，矩形的面积为，对角线的长为，是边上不与端点重合的动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（     ） A． B． C．5 D．12 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】如图，连接， 根据矩形性质可知：， ， ， ， 故选A． 8．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意可得，，，由勾股定理可得，从而可得，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，， 由勾股定理可得， ∵以为圆心，为半径画弧交射线于点， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)解：， ， ， ， 在和中， ． (2)2 【分析】（1）根据已知条件可由角边角推出全等； （2）先根据勾股定理求出的长，再用求出． 【详解】（1）略 （2），， ， 矩形 ，， 根据勾股定理，， ． 题型四 根据矩形的性质求面积 10．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点，若，，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据矩形性质和中点定义求出四个角上直角三角形的直角边长，利用矩形面积减去四个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， ，，，分别为矩形各边的中点， ，， ， ． 11．如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．由，，得出，求出，再利用矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，若，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴ 四边形是矩形． 矩形的面积． 故答案为：． 题型五 利用矩形的性质证明 13．如图，在矩形中，，，为的中点，连接，过点作，交于点，则的长为（  ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 由矩形得到，根据同角的余角相等得到，从而，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：B． 14．如图，已知矩形，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则的长为_________．    【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理．正确连接辅助线是解题关键． 连接．由矩形的性质可间接证明得出，从而可求出，再由勾股定理可求出，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F、G分别为、的中点， ∴， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵ 四边形是矩形， ∴， ∴，． 在和 中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）因为矩形对边平行，所以可得内错角相等，结合已知，可通过证明 和全等，得到． （2）连接，因为等腰三角形 中，所以根据等腰三角形三线合一可得，结合（1）可知，，根据斜边上的中线等于斜边的一半，则有，进而得到 ．结合，利用直角三角形两锐角互余的性质，可推出的度数．最后结合勾股定理，即可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴ ，即． 设 ，则， ∴ ， 即， ， ∴ ． ∵四边形是矩形，， ∴，， 由得，即是矩形对角线 的中点， ， ∴ ，即． 在中，，即， 解得，即． ∵， ∴， 由勾股定理得：． 题型六 矩形与折叠问题 16．如图，有一张矩形纸片，，，为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． 根据折叠的性质，得，，，，． ∵经过点， ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴． 设，则， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． ∴． 17．如图，矩形中，，，把沿对角线折叠，得到，且与相交于点，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据等角对等边，得出，再设，在中，根据勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得 则的长为． 18．如图，矩形中，，，点E，F分别在上，将四边形沿翻折，使点的对称点落在边上，点的对称点为点G，交于点，已知，设． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，可求出，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）可证明，，再根据（1）所求代入数值计算即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，则， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $