第二章 一元二次方程 单元练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ）

A． B． C． D．

2．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ）

A． B． C． D．

3．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ）

x	1.1	1.2	1.3	1.4
		0.84	2.29	3.76

A．   B． C． D．

4．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ）

A．5 B． C．1 D．

5．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ）

A． B．2 C． D．

6．已知方程的解是或，则方程的解是（    ）

A． B．

C． D．

7．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ）

A． B．

C． D．

8．关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　）

A． B．且 C．且 D．

9．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（   ）

A．24或 B．24 C． D．或24

10．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ）

A． B． C． D．

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．一元二次方程的解为_________．

12．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为____________

13．若关于x的方程的一个根为，则另一个根为________．

14．已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________．

15．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．

三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

16．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

(1)；       (2)．

17．解下列方程

(1)    (2)

18．已知关于的一元二次方程．

(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根．

四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

(1)若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？

(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

20．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程．(1)关于的方程是理想方程，求的值；(2)当，满足什么条件时，方程是理想方程；

(3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围．

21．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为．

(1) ， （用含t的代数式表示）

(2)则当t为何值时，的面积为．

五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分）

22．项目化学习；项目主题：探究土地规划与销售利润问题．项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题为主题开展项目学习．驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．收集数据：

解决问题：(1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由；

(2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？

23．综合与实践

如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？

【问题探究】

小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题：

设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图像交点的坐标．

如图2，反比例函数（）的图像与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______．

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；

【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图像并说明理由；理由为______．

【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数（）的图像有唯一交点时的交点坐标及a的值．

 

参考答案

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	C	D	D	D	B	C	D	C	B	A

 

1．C

【分析】考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

【详解】解：A、含有2个未知数，不符合题意；

B、为分式方程，不符合题意；

C、只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；

D、含有2个未知数，不符合题意；

故选：C．

2．D

【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握配方法的步骤是解本题的关键．

根据配方法解题步骤：先移项、把二次项系数化为1，然后利用完全平方公式配方，即可作出判断．

【详解】解：，

方程移项得，

配方得，即．

故选：D．

3．D

【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间．

【详解】解： 由表格可知：当时，，

当时，，

方程的一个解的取值范围为．

4．D

【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可．

【详解】解：∵是方程的一个根，