第二章 一元二次方程 单元练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册一元二次方程单元复习卷，以社会热点与数学建模为特色，覆盖方程定义、解法、应用及综合探究，适配单元复习巩固与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根的判别式等|第3题用表格数据判断方程解范围，体现数据分析能力| |填空题|5/15|方程应用、根与系数关系|第12题握手问题建模，培养模型意识| |解答题（一）|3/21|基础解法与证明|18题根的判别式证明，强化推理能力| |解答题（二）|3/27|实际应用与创新定义|19题利润问题、20题“理想方程”新定义，提升应用与创新意识| |解答题（三）|2/27|项目化与综合实践|22题黄芪销售、23题函数与矩形地块探究，融合跨学科与数学思维|

· 第二章 一元二次方程 单元复习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 3．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 4．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 5．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 6．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 7．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A． B．且 C．且 D． 9．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（   ） A．24或 B．24 C． D．或24 10．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．一元二次方程的解为_________． 12．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为____________ 13．若关于x的方程的一个根为，则另一个根为________． 14．已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 15．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 17．解下列方程 (1) (2) 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？ (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 20．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程．(1)关于的方程是理想方程，求的值；(2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 21．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．项目化学习；项目主题：探究土地规划与销售利润问题．项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题为主题开展项目学习．驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题：(1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； (2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 23．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图像交点的坐标． 如图2，反比例函数（）的图像与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图像并说明理由；理由为______． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数（）的图像有唯一交点时的交点坐标及a的值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D B C D C B A 1．C 【分析】考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、含有2个未知数，不符合题意； B、为分式方程，不符合题意； C、只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意； D、含有2个未知数，不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握配方法的步骤是解本题的关键． 根据配方法解题步骤：先移项、把二次项系数化为1，然后利用完全平方公式配方，即可作出判断． 【详解】解：， 方程移项得， 配方得，即． 故选：D． 3．D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 4．D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 5．B 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 6．C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 7．D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 8．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 9．B 【分析】此题考查了解一元二次方程——因式分解法和三角形的三边关系及勾股定理逆定理的运用，解方程求出方程的解得到x的值，利用三角形的三边关系判断出符合条件的值，再判断出该三角形为直角三角形，即可得到结果． 【详解】解：， ∴或， 解得：， 当时， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合题意，舍去， 当时， ∵， ∴能构成三角形， 此时该三角形的三边长为：， ∵， ∴该三角形是直角三角，直角边为和， ∴该三角形的面积是， 故选：B． 10．A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 11．， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．设有人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此列出方程即可． 【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得： ，即， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据根与系数的关系，两根之积等于常数项除以二次项系数，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：设另一个根为，由根与系数的关系得， 其中，，，代入得：， 即， 解得：． 故答案为：． 14． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，长方形面积为相邻两边长的乘积，即可得到结果． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为和． 根据根与系数的关系可得：． 长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， 这个长方形的面积为． 15． 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 16．(1)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）先将方程左边因式分解，然后再移项，最后利用因式分解法求解即可； （2）直接利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， 或， ，． 18．(1) 证明：∵一元二次方程，且 ∴ ， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)当时，方程的另一个根为；当时，方程的另一个根为 【分析】（1）根据证明即可． （2）利用一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：设是方程的两个根， 则，， 不妨设， ∴把代入方程得：， 故， 整理，得， 或， 当时，， 解得，此时方程的另一个根为； 当时， 解得， 此时方程的另一个根为． 19．(1)平均每天销售数量为32件 (2)当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元 【分析】（1）根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件”，列出平均每天销售的数量即可， （2）设每件商品降价元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 若降价6元，则多售出12件， 平均每天销售数量为：（件)， 答：平均每天销售数量为32件； （2）解：设每件商品降价元， 根据题意得： ， 解得：，， ，（符合题意）， ，（舍去）， 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 20．(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 21．(1)； (2)或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 22．(1) (2)80元 【分析】（1）利用矩形和菱形均为中心对称图形的性质，过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形面积平分，因此，分别找出矩形和菱形的对称中心（即对角线交点），连接这两点即可得到所求直线； （2）属于典型的利润问题，根据等量关系，“总利润＝单件利润×销售量”列出一元二次方程，求解后，需根据题目中“销售单价不得低于62元”这一限制条件对解进行检验和取舍． 【详解】（1）解：作图思路： ∵矩形和菱形都是中心对称图形， ∴它们的对称中心分别是各自对角线的交点， ∵过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形面积平分， ∴连接矩形和菱形的对角线交点即可得到所求直线， 作法： ①连接矩形的对角线、，交于点， ②连接菱形的对角线、，交于点， ③作直线， ④直线即为所求作的直线； （2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤， 根据题意列方程得： ， 整理得： ， 解得： ，， ∵销售单价不得低于62元， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答，李伯应将销售单价定为80元． 23．（1）；4；2；（2）与函数 图像没有交点；（3） 【分析】(1)根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． (2)仿照(1)，根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． (3)仿照(2)，根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或 ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）不能围出面积为 的矩形；理由如下： 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图像无交点； 的图像，如图中所示： ∵与函数图像没有交点， ∴不能围出面积为 的矩形． 故答案为：与函数 图像没有交点； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图像有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个解， ∴， 解得：，（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图像的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 答案第8页，共13页 答案第9页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $