专题2.2 两条直线的位置关系暑期讲义（5类必考点）--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.2 两条直线的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：两条直线平行的判定】 1 【考点2：已知两条直线平行求参】 3 【考点3：两条直线垂直的判定】 4 【考点4：已知两条直线垂直求参】 5 【考点5：两条直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 7 【知识梳理】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【考点1：两条直线平行的判定】 1．（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）（多选）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 3．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 4．（25-26高二上·江苏常州·期中）与直线相交的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（微点5本是同根生：倾斜角与斜率【讲】（高二进阶微专题））（多选）（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．直线的倾斜角为，直线经过点， B．直线的方向向量为，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 7．（25-26高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 8．（25-26高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【考点2：已知两条直线平行求参】 1．（25-26高一下·山西长治·期末）若直线：与直线：平行，则实数________. 2．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知两条直线：，：，若，则实数______. 3．（25-26高一下·上海嘉定·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则是______． 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 5．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 7．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 8．（第07讲两条直线的位置关系（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）若直线与平行，求的值. 【考点3：两条直线垂直的判定】 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026高二上·全国·专题练习）（多选）（多选）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为_______． 7．（25-26高二上·安徽·阶段检测）在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 8．（第09讲两条直线平行和垂直的判定（思维导图 2知识点 5大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 【考点4：已知两条直线垂直求参】 1．（25-26高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 3．（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 4．（25-26高二下·河北·期末）若直线与直线垂直，则__________. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 6．（25-26高二下·上海·期中）已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 7．（25-26高二上·广东广州·期中）给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 8．（25-26高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【考点5：两条直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 1．（25-26高二上·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 4．（25-26高二·全国·课堂例题）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 5．（25-26高二·全国·课堂例题）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    6．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 7．（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    8．（【一题多解】形状判定坐标为上）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 两条直线的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：两条直线平行的判定】 1 【考点2：已知两条直线平行求参】 6 【考点3：两条直线垂直的判定】 9 【考点4：已知两条直线垂直求参】 12 【考点5：两条直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 16 【知识梳理】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【考点1：两条直线平行的判定】 1．（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行的条件判断即可. 【详解】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 2．（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）（多选）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 【答案】AD 【分析】根据两条直线平行计算求出参数判断A，C，根据平行直线位置关系判断D，应用两点求出斜率判断B. 【详解】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. 3．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 4．（25-26高二上·江苏常州·期中）与直线相交的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项计算所给直线的斜率，与原直线的斜率比较即可得. 【详解】直线斜率为； 对A：可化为，故两直线重合，故A错误； 对B：斜率为，故两直线平行，故B错误； 对C：斜率为，故两直线平行，故C错误； 对D：可化为，斜率为， 则两直线相交，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，直线，直线，此时，即可以推出， 当时，由，得到或， 又时，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 6．（微点5本是同根生：倾斜角与斜率【讲】（高二进阶微专题））（多选）（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．直线的倾斜角为，直线经过点， B．直线的方向向量为，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【答案】CD 【分析】求出设直线的斜率为，直线的斜率为．根据斜率是否相等，即可判断直线的位置关系； 【详解】对于选项A，因为直线经过点，， 所以直线的斜率， 又直线的倾斜角为，所以直线的斜率，故直线与直线平行或重合，故A错误； 对于选项B，直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与不平行，故B错误； 对于选项C，，，则有，故C正确； 又，则，，不共线，故． 对于选项D，由已知点的坐标，得与均与轴垂直且不重合，故有，故D正确． 故选：CD． 7．（25-26高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 8．（25-26高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由如下； 设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． (2)与不平行，理由如下： 因为，，．所以与不平行． (3)，理由如下： 由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． (4)与重合，理由如下： ，因为，， 所以与重合． 【分析】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【详解】（1），理由略； （2）与不平行，理由略； （3），理由略； （4）与重合．理由略. 【考点2：已知两条直线平行求参】 1．（25-26高一下·山西长治·期末）若直线：与直线：平行，则实数________. 【答案】 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线平行， 故直线的斜率存在，且与直线的斜率相等，在轴上的截距不为，故， 所以直线的斜率为，在轴上的截距为， 所以，且， 解得，即实数. 2．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 3．（25-26高一下·上海嘉定·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则是______． 【答案】 等腰三角形或直角三角形 【分析】根据两直线平行的条件得到边角等式，结合正弦定理边化角与三角恒等变换判断三角形形状. 【详解】直线与直线平行， 则有，由正弦定理得，即， 中，，当时，有2种情况， 情况1：，即，此时为等腰三角形； 情况2：，即，则，此时为直角三角形， 综上， 是等腰三角形或直角三角形. 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 5．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 6．（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】A 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 7．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 【答案】B 【详解】直线平行，则， ，解得或； 检验当时，两直线重合； 当时，，两直线平行. 实数的值应为－7． 8．（第07讲两条直线的位置关系（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）若直线与平行，求的值. 【答案】3或5 【分析】根据直线平行的性质求参数即可. 【详解】因为直线与平行， 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意. 综上，的值为3或5. 【考点3：两条直线垂直的判定】 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 3．（2026高二上·全国·专题练习）（多选）（多选）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据斜率的计算公式计算出各条直线的斜率，根据斜率关系判断直线位置关系. 【详解】解：由斜率公式知，，，，，．所以ABC均正确，D错误． 故选：ABC. 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 5．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． 6．（25-26高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为_______． 【答案】A 【分析】利用斜率公式计算AB,AC的斜率，通过计算从而可得，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形， 故答案为：A. 7．（25-26高二上·安徽·阶段检测）在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 【答案】 【分析】求出的平分线的倾斜角，得到斜率. 【详解】因为，所以， 因为点在第一象限，且，所以， 所以直线的倾斜角为，所以， 设的平分线为直线，则直线的倾斜角为， 所以， 即的平分线所在直线的斜率为. 8．（第09讲两条直线平行和垂直的判定（思维导图 2知识点 5大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 【答案】(1)垂直 (2)垂直 【详解】（1）由题意得直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以与垂直． （2）而直线的斜率不存在，故与轴垂直， 直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． 【考点4：已知两条直线垂直求参】 1．（25-26高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 2．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【详解】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 3．（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 【答案】 【详解】因为与垂直，则，解得. 4．（25-26高二下·河北·期末）若直线与直线垂直，则__________. 【答案】 【详解】因为， 所以，解得. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 【答案】 【分析】根据两条斜率存在的直线垂直时，斜率乘积为，求出直线的斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：因为，，，所以直线的斜率， 又直线与直线垂直，设直线的斜率为，则，所以， 因为直线过点，代入直线点斜式方程得，化简得. 6．（25-26高二下·上海·期中）已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与直线垂直的条件直接求解； （2）利用直线与直线平行的条件直接求解． 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则， 当时，即，解得：或， 又，所以. 综上，； 7．（25-26高二上·广东广州·期中）给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直线，的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与垂直. 【详解】（1）由，解得，所以当时，与重合. （2）由，解得，所以时，与平行. （3）当时，即时，与相垂直. 8．（25-26高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【详解】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故 【考点5：两条直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 1．（25-26高二上·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明如下： 由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】略 4．（25-26高二·全国·课堂例题）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【答案】 如下图示：   OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率， BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率． 由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得． 同理，由且AB与CO不重合，得． 因此四边形OABC是平行四边形． 【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系； 【详解】略 5．（25-26高二·全国·课堂例题）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明如下： 由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】略 6．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【分析】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【详解】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 7．（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 8．（【一题多解】形状判定坐标为上）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 【答案】直角梯形；证明见解析． 【分析】由各点坐标可求得四边的斜率，再由平行和垂直的斜率表示即可得出结论. 【详解】由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $