圆的方程复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学圆方程复习讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，涵盖圆的标准方程、一般方程等基础内容，用对比表格呈现圆与圆位置关系的判断方法及公切线条数，清晰展现重难点分布与内在联系，培养学生几何直观与空间观念。 讲义亮点在于分层题型设计，如求圆方程（例1-1至1-7）、切线问题（例3-3含参数取值范围）等，结合米勒定理、阿波罗尼斯圆模型，培养推理能力与模型观念。例题难度递进，基础生掌握方法，优秀生深入探究，支持学生自主复习，助力教师精准分层教学。

圆方程复习讲义答案 一、基础知识 1.圆标准方程 ：, 圆心，半径.若圆心在原点，则圆方程： 2.圆一般方程： 结构特点：(1)系数相同且为 (2)无项 （1）若，表示圆，圆心,半径 （2）若，表示点 （3）若，不表示任何图形 3.圆参数方程： ,圆心为，半径为r，为参数 4.以,为直径的圆方程: 5.点与圆位置关系 点P，圆C： 点P，圆C： 若，则P在圆外 若，则P在圆外 若，则P在圆上 若，则P在圆上 若，则P在圆内 若，则P在圆内 6.直线与圆位置关系 判断直线与圆位置关系有两种方法 （1）法（较常用）：与圆相交；与圆相切；与圆相离 （2）法：， 消y(或x)化为x(或y)的一元二次方程，利用， 7. 弦长公式：，（是圆心到直线的距离） 8.点P在圆外，过P切线有2条，点P在圆上，切线有1条，点P在圆内，切线有0条 9.过圆外一点引切线，切点为， 切线长公式为， 若在上滑动，则当时，切线长最短，最小l 10．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 11．求过圆上的一点P的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方 程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 说明：若P在圆外，则以上直线为弦所在直线方程lAB 12、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 13．圆系方程 （1）过圆：与圆：交点的圆方程： ,方程不包括圆 若，则为两圆公共弦所在直线方程，若两圆相切则为过两圆切点的内切线方程 两圆公共弦所在直线方程 （2）过圆和直线：的交点的圆方程： 14.（1） （2） （M定点，P动点，d=|MO|） （M定点，P动点，d=|MO|） （3） （4） （M定点，P动点，d圆心到直线距离） （M定点，EF为过M弦,CD被直径AB垂直平分） 15.米勒定理：如图所示，点、点是边上的两个定点，点是上一动点，则当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大，如图中的最大，此时 16.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点,设点在同一平面上且满足（，，为常数），则点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆. 特别地，当时，点的轨迹是线段的中垂线 专题2.6 圆的方程 【题型1 求圆方程】 【例1-1】已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】由线段的中点坐标公式，求得圆心.直径. 故以为直径的圆的标准方程为. 【例1-2】已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 【例1-3】设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】由方程表示圆，得， 圆的圆心为，又此圆关于直线对称，则，即， 因此，解得或， 所以的取值范围为. 【例1-4】已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】设线段中点，则在圆上运动， ，即． 【例1-5】已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】因为，即， 则，整理可得． 【例1-6】已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等，所以对称圆的方程为. 【例1-7】已知两圆和．求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】 【解】由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得， 又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或， 即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 【题型2 圆过定点问题】 【例2-1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 【例2-2】已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 专题2.7 点、直线与圆的位置关系 【题型1 点与圆的位置关系】 【例1-1】已知圆的方程为，若点在圆外，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或，所以m的取值范围为． 【题型2 直线与圆的位置关系】 【例2-1】若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【答案】B 【解】因为点在圆外，所以. 圆的圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 由，可得，则，即圆心到直线的距离. 所以直线与圆的位置关系是相交. 【例2-2】若直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解】因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得. 【题型3 圆的切线问题】 【例3-1】直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时与圆不相切， 则直线的斜率一定存在，设直线方程为，化简得， 依题意，圆心到直线的距离为1，即，解得或， 所以直线的方程为或. 【例3-2】过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【解】圆的圆心，半径， 由题意可得，则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， 则，所以. 【例3-3】已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】圆的圆心为，半径， 由，得，又，则， 而直线上存在点P，满足，于是点到该直线的距离， 解得，所以的取值范围是. 【例3-4】过直线上一点作：的两条切线，切点分别为，，若使得的点有两个，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解】如图所示， 由题意知，的圆心，半径，设， 因为，， 所以点轨迹方程为， 又因为点在直线上，且使得切线长的点有两个， 所以与相交， 又因为圆心到直线距离为， 所以，即，解得. 【题型4 圆的弦长】 【例4-1】已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 【例4-2】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆所截得弦长为8，求该直线的方程． 【答案】(1)(2)或． 【解】（1）设圆的标准方程为，得到圆心坐标为，半径为， 将与坐标代入圆方程得：， ， 消去，整理得：， 将圆心坐标代入得：， 联立①②解得：，， ， 则圆的标准方程为． （2）当直线的斜率存在时，设过点的直线， 圆半径为5，弦长为8， 圆心到直线的距离，由，解得， 直线方程为，即． 当直线的斜率不存在时，直线方程为，直线与圆的交点坐标为，， 直线被圆所截得的弦长为8；故直线的方程为或． 【题型8 直线与部分圆的相交问题】 【例5-1】曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】曲线可整理为，， 所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点， 与半圆相切，则，解得， 经过点，则，解得，所以. 【例5-2】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的右半圆； 当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的左半圆； 所以曲线的图象如图所示： 当直线位于与之间或与之间时，直线与曲线有两个不同的交点， 当直线位于时，直线与圆相切，则，解得； 当直线位于时，； 直线位于与之间时，. 同理可得，直线位于与之间时，. 综上，实数的取值范围是. 【题型6 直线与圆有关的最值问题】 【例6-1】已知圆：，直线：. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标， 【答案】(1)或 (2)， 【解】（1）由已知，圆心到直线：的距离等于半径， 即.解得：或. （2）当时，直线的方程为，四边形的面积 ∵为直角三角形， 当最小时，切线长最短，显然当时， ∴ 四边形的面积最小值为.此时，，， ∴直线：，即. 由，解得，即. 专题2.8 圆与圆的位置关系 【题型1 圆与圆的位置关系】 【例1-1】以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C． =16 D． 【答案】B 【解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得，所以圆的方程为. 【例1-2】已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 【例1-3】已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 【题型2 两圆的公切线】 【例2-1】已知圆与圆恰有三条公切线，则（   ） A．15 B．23 C．21 D．17 【答案】B 【解】的标准形式为. 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切， 所以，解得. 【例2-2】已知与有且有只有两条公切线，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】由，， 则可得，且两圆的半径分别为， 又两圆只有两条公切线，故该两圆相交， 即，显然， 则，解之得. 【例2-3】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 【例2-4】已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 【题型3 相交圆的公共弦】 【例3-1】已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】由题设公共弦的方程为：， 整理得到：即， 【例3-2】已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】由已知，两圆方程相减得，这是两圆公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆方程复习讲义 一、基础知识 1.圆标准方程 ：, 圆心，半径.若圆心在原点，则圆方程： 2.圆一般方程： 结构特点：(1)系数相同且为 (2)无项 （1）若，表示圆，圆心,半径 （2）若，表示点 （3）若，不表示任何图形 3.圆参数方程： ,圆心为，半径为r，为参数 4.以,为直径的圆方程: 5.点与圆位置关系 点P，圆C： 点P，圆C： 若，则P在圆外 若，则P在圆外 若，则P在圆上 若，则P在圆上 若，则P在圆内 若，则P在圆内 6.直线与圆位置关系 判断直线与圆位置关系有两种方法 （1）法（较常用）：与圆相交；与圆相切；与圆相离 （2）法：， 消y(或x)化为x(或y)的一元二次方程，利用， 7. 弦长公式：，（是圆心到直线的距离） 8.点P在圆外，过P切线有2条，点P在圆上，切线有1条，点P在圆内，切线有0条 9.过圆外一点引切线，切点为， 切线长公式为， 若在上滑动，则当时，切线长最短，最小l 10．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 11．求过圆上的一点P的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方 程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 说明：若P在圆外，则以上直线为弦所在直线方程lAB 12、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 13．圆系方程 （1）过圆：与圆：交点的圆方程： ,方程不包括圆 若，则为两圆公共弦所在直线方程，若两圆相切则为过两圆切点的内切线方程 两圆公共弦所在直线方程 （2）过圆和直线：的交点的圆方程： 14.（1） （2） （M定点，P动点，d=|MO|） （M定点，P动点，d=|MO|） （3） （4） （M定点，P动点，d圆心到直线距离） （M定点，EF为过M弦,CD被直径AB垂直平分） 15.米勒定理：如图所示，点、点是边上的两个定点，点是上一动点，则当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大，如图中的最大，此时 16.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点,设点在同一平面上且满足（，，为常数），则点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆. 特别地，当时，点的轨迹是线段的中垂线 专题2.6 圆的方程 【题型1 求圆方程】 【例1-1】已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【例1-3】设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例1-4】已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【例1-5】已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例1-6】已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 【例1-7】已知两圆和．求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【题型2 圆过定点问题】 【例2-1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2-2】已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 专题2.7 点、直线与圆的位置关系 【题型1 点与圆的位置关系】 【例1-1】已知圆的方程为，若点在圆外，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 直线与圆的位置关系】 【例2-1】若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【例2-2】若直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C． D． 【题型3 圆的切线问题】 【例3-1】直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D．或 【例3-2】过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【例3-3】已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【例3-4】过直线上一点作：的两条切线，切点分别为，，若使得的点有两个，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【题型4 圆的弦长】 【例4-1】已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆所截得弦长为8，求该直线的方程． 【题型8 直线与部分圆的相交问题】 【例5-1】曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例5-2】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 直线与圆有关的最值问题】 【例6-1】已知圆：，直线：. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标， 专题2.8 圆与圆的位置关系 【题型1 圆与圆的位置关系】 【例1-1】以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C． =16 D． 【例1-2】已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1-3】已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【题型2 两圆的公切线】 【例2-1】已知圆与圆恰有三条公切线，则（   ） A．15 B．23 C．21 D．17 【例2-2】已知与有且有只有两条公切线，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2-3】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【例2-4】已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【题型3 相交圆的公共弦】 【例3-1】已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $