27.2反比例函数的图象和性质 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦反比例函数的图象和性质这一核心知识点，先通过复习回顾反比例函数的定义、等价形式及k的符号与象限关系，再以描点法为基础引导学生绘制双曲线图象，进而系统探究其象限分布、增减性、对称性、渐近线等性质，构建从概念到图象性质的完整学习支架。 该资料以培养数学眼光、思维和语言为特色，通过描点画图过程发展几何直观，结合易错点强调“在每个象限内”的增减性限定条件培养推理意识，例题精析k的几何意义（如矩形面积=|k|）渗透模型意识。课中助力教师突出重点，课后易错点提醒和知识总结便于学生查漏补缺，强化理解与应用。

27.2 反比例函数的图象和性质 27.2反比例函数的图象和性质讲义 一、学习目标 🎯 用描点法画出反比例函数 y = 的图象，理解其形状为双曲线。 ✅ 掌握反比例函数图象的性质：象限分布、增减性、对称性、渐近线。 💡 理解 |k| 的大小对图象位置的影响，能运用图象性质解决比较大小、求面积等问题。 二、复习回顾 上节课我们学习了反比例函数的概念，回顾以下要点： 定义：形如 y = （k 为常数，k ≠ 0）的函数叫做反比例函数。 等价形式：xy = k 或 y = kx⁻¹。 k 的符号决定图象所在象限：k > 0 → 一、三象限；k < 0 → 二、四象限。 💡 本节课我们将深入探究反比例函数图象的画法及其性质，重点理解“在每个象限内”这个限定条件。 三、用描点法画反比例函数的图象 1. 画 y = 的图象 步骤： 1. 列表：取 x 的一些值，计算对应的 y 值。 1. 描点：在平面直角坐标系中描出这些点。 1. 连线：用平滑曲线将各点依次连接起来。 x 1 2 3 6 -1 -2 -3 -6 y= 6 3 2 1 -6 -3 -2 -1 注意：x 不能为 0，所以图象不与 y 轴相交。当 x 渐近于 0 时，y 的绝对值无限增大，图象无限靠近 y 轴但永不相交。 图1 y = 的图象（k > 0，位于一、三象限） 2. 画 y = - 的图象 用同样的方法画出 y = - 的图象： x 1 2 3 -1 -2 -3 y=- -6 -3 -2 6 3 2 图2 y = - 的图象（k < 0，位于二、四象限） 四、反比例函数的图象性质 1. 形状：双曲线 反比例函数的图象由两支曲线组成，每支都无限接近坐标轴但永不与坐标轴相交，这种形状叫做双曲线。 两支曲线分别位于两个对角象限中（一三或二四）。 2. 象限分布 k 的符号 图象所在象限 举例 k > 0 第一、三象限 y = k < 0 第二、四象限 y = - 3. 增减性（重点！） 这是本节课最容易出错的地方，请特别注意限定条件。 k 的符号 增减性描述 注意事项 k > 0 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 ⚠ 必须说“在每个象限内” k < 0 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 ⚠ 同样不能跨象限比较 图3 k > 0 时，在第一象限内 y 随 x 增大而减小 图4 k < 0 时，在第四象限内 y 随 x 增大而增大 ⚠ 易错提醒：不能说“y = 中 y 随 x 增大而减小”，因为 x = -1 时 y = -6，x = 1 时 y = 6，跨象限后结论不成立！必须加“在每个象限内”。 4. 对称性 关于原点中心对称：若 (a, b) 在图象上，则 (-a, -b) 也在图象上。 关于直线 y = x 和 y = -x 轴对称：反比例函数图象具有两条对称轴。 图7 反比例函数图象关于原点中心对称 五、|k| 对图象位置的影响 |k| 越大，双曲线离坐标轴越远；|k| 越小，双曲线离坐标轴越近。 这是因为 |y| = |k|/|x|，当 x 固定时，|k| 越大，|y| 越大，图象离 x 轴越远。 图6 |k| 越大，曲线离坐标轴越远 图8 反比例函数图象特征汇总 📝 记忆口诀：k 正一三，k 负二四；|k| 大离远轴，|k| 小靠近轴。增减性别忘了“在每个象限内”这个前提！ 六、k 的几何意义 过反比例函数 y = 图象上任意一点 P(x, y)，向 x 轴作垂线，垂足为 A，则矩形 OAPB（B 为向 y 轴的垂足）的面积 = |k|。 图5 k 的几何意义：|xy| = |k|，矩形面积恒为 |k| S矩形 = |x| × |y| = |xy| = |k| 推论：若只作一条垂线（如向 x 轴作垂线），则三角形 OAP 的面积 = 。 七、例题精析 例题 1（比较函数值的大小） 已知反比例函数 y = ，比较 x₁ = 1 和 x₂ = 2 时的函数值 y₁ 和 y₂ 的大小。 解： x₁ = 1 时，y₁ = 4 x₂ = 2 时，y₂ = 2 因为 4 > 2，所以 y₁ > y₂。 答：y₁ > y₂。（注：两点在同一象限内，可以直接比较） 例题 2（跨象限比较的易错点） 已知反比例函数 y = ，点 A(-1, y₁) 和 B(1, y₂) 在该函数图象上，比较 y₁ 和 y₂ 的大小。 解： x = -1 时，y₁ = -4（点 A 在第三象限） x = 1 时，y₂ = 4（点 B 在第一象限） 因为 -4 < 4，所以 y₁ < y₂。 答：y₁ < y₂。（注：两点不在同一象限，需分别代入计算后再比较） 💡 观察提示：y = 的图象中，第一象限的 y 值全为正，第三象限的 y 值全为负。正数 > 负数，所以 y₂ > y₁。 例题 3（应用 k 的几何意义） 已知反比例函数 y = 的图象过点 P(3, 4)。 (1) 求 k 的值； (2) 过 P 作 PA ⊥ x 轴于 A，PB ⊥ y 轴于 B，求四边形 OAPB 的面积。 图9 例题 3 图解 解： (1) 将 P(3, 4) 代入 y = ，得 4 = ，解得 k = 12。 (2) 四边形 OAPB 的面积 = |x| × |y| = 3 × 4 = 12。 也可用公式：S = |k| = |12| = 12。 答：(1) k = 12；(2) 四边形面积为 12。 例题 4（判断图象位置） 已知反比例函数 y = 的图象在第一、三象限，求 m 的取值范围。 解： 图象在第一、三象限 → k = 2 - m > 0 解不等式得 m < 2。 答：m < 2。 八、易错点提醒 ❌ 易错点 正确做法 1 忘记“在每个象限内”的前提 增减性必须加“在每个象限内” 2 跨象限比较大小 需分别代入计算后再比较 3 误以为图象会与坐标轴相交 反比例函数图象以坐标轴为渐近线 4 把 k 的符号和增减性搞反 k>0↓ k<0↑（每象限内） 5 忘记 x ≠ 0 和 y ≠ 0 图象不过原点，不与坐标轴相交 九、知识总结 ■ 形状：反比例函数 y = 的图象是双曲线（两支） ■ k > 0 → 图象在第一、三象限 ■ k < 0 → 图象在第二、四象限 ■ k > 0 时，在每个象限内 y 随 x 增大而减小 ■ k < 0 时，在每个象限内 y 随 x 增大而增大 ■ |k| 越大，曲线离坐标轴越远 ■ 图象关于原点中心对称 ■ 图象上点 P(x,y) 与坐标轴围成的矩形面积 = |k| ■ 三角形面积 = - - 学科网（北京）股份有限公司 $