30.3.2 与正多边形有关的作图 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦正多边形与圆的关系及等分圆周作图，通过六角螺帽等生活实例导入，回顾正六边形中心角、半径等性质，为新知构建学习支架，衔接旧知与等分圆周方法。 特色在于融合数学眼光、思维与语言，生活实例导入培养应用意识，探究环节用多种方法（量角器、尺规）作图发展推理能力与创新意识，如尺规作正六边形、正三角形等实例。开放性问题与图案设计提升实践能力，助力学生建立知识网络，为教师提供清晰教学流程与反思依据。

第2课时　与正多边形有关的作图 　　　　　　　　　　　　　　 课题 第2课时　与正多边形有关的作图 授课人 教 学 目 标 1.了解正多边形和圆的关系,能用等分圆周的方法画正多边形,并能借助圆设计美丽的图案. 2.丰富学生对正多边形的认识,通过设计图案,发展学生的形象思维能力. 3.学会等分圆周的方法构造正多边形,并学会设计图案,发展学生的实践能力和创新能力. 4.通过等分圆周、构造正多边形等实践活动,使学生在数学学习活动中获得成功的体验,建立自信心. 教学 重点 　　用等分圆周的方法画正多边形. 教学 难点 　　掌握等分圆周的不同方法. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　1.若正六边形的边长为1,则正六边形的中心角是　60　°,半径是　1　,边心距是 　,它的每一个内角是　120°　.  2.有一个边长为1.5 cm的正六边形,如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形,那么这张圆形纸片的最小半径为　1.5　cm.  　　复习已学,为新知做好铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 图30-3-12 实际生活中,我们经常遇到画正多边形的问题,比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等,这些问题都与等分圆周有关.要制造如图30-3-12中的零件,也需要等分圆周. 本节课我们就来研究一下具体的解决方法.教师出示课题. 　　从实际生活的需要中引入本节课要研究的问题,使学生有明确的学习目标,体会数学与生活的联系,体现数学的应用价值. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 与正多边形有关的作图 方法一 已知☉O的半径为R,求作☉O的内接正六边形. 分析:1.正六边形每条边所对的圆心角为多少度?[答案:60°] 2.正六边形的边长与圆的半径有什么关系?[答案:相等] 　图30-3-13 作法:如图30-3-13. (1)在☉O上任意取一点A; (2)用量角器量出∠AOB=60°,得到; (3)在圆上依次截取与这条弧相等的弧,就得到☉O的六个等分点A,B,C,D,E,F; (4)连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,即可得到正六边形ABCDEF. 　　在多种方法作图的过程中,先让学生重复思考,明确所画图形圆心角的度数.对于特殊的正多边形的尺规作图是难点,在作法上让学生思考其依据,才有助于作图. 活动 二: 探究 与 应用 　　追问:利用这个图形,你还能作出哪些正多边形? (正三角形、正十二边形、正二十四边形……) 方法二 对于一些特殊的正多边形,还可以用直尺和圆规来作图. 例如,正六边形还可以按如下方法作出: 图30-3-14 作法:如图30-3-14. (1)作☉O的任意一条直径FC; (2)分别以F,C为圆心,以OC长为半径作弧,与☉O交于点E,A,D,B; (3)连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,即可得到正六边形ABCDEF. 思考:你能说明这样作图的依据吗?在半径为R的圆上,从某一点开始,依次以R为半径画弧,可以得到正六边形吗?有什么问题吗? 方法归纳: (1)用量角器等分圆周:由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角可以等分圆周,从而得到正多边形.采用“先用量角器画一个的圆心角,然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”.这种方法简便,且可以画任意正多边形,误差小. (2)用尺规等分圆周:用尺规作图的方法等分圆周,然后依次连接圆上各分点得到正多边形.这种方法有局限性,不是任意正多边形都能用此法作图,这种方法从理论上讲是一种准确方法,但在作图时较复杂,同样存在作图的误差. 　　 【理解应用】 例1　用直尺和圆规作圆的内接正方形. 已知:如图30-3-15,☉O.求作:正方形ABCD内接于☉O. 图30-3-15 解:如图30-3-16. 图30-3-16 (1)作☉O的直径AC,作与AC垂直的直径BD; (2)连接AB,BC,CD,DA. 由作图过程可知,四个中心角都是90°,∴AB=BC=CD=DA. ∵AC,BD都是☉O的直径,∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,即四边形ABCD为☉O的内接正方形. 说明:用等分圆周的方法可以画出如下美丽的图案,欣赏一下. 图30-3-17 　　通过例题,强化学生作图的熟练度,提升学生的作图能力. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　已知半径为R的☉O,用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形. 师生活动:学生先独立解决问题,然后小组内讨论,教师鼓励学生勇于探索实践,上台演示,教师要重点关注学生的解题过程. 解:(答案不唯一)方法一: ①如图30-3-18①,用量角器画圆心角∠AOB=120°,∠BOC=120°; ②连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形. 方法二: ①如图②,用量角器画圆心角∠BOC=120°;②在☉O上用圆规截取;③连接CA,BC,AB,则△ABC为圆内接正三角形. 方法三: ①如图③,作直径AD;②以点D为圆心,以OA长为半径画弧,交☉O于点B,C;③连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形. 图30-3-18 　　开放性问题的设置,既有效加强学生对知识的理解,又活跃学生的思维,使学生综合能力得到提升. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.如图30-3-19,AD为☉O的直径,作☉O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别如下: 　图30-3-19 甲:(1)以点D为圆心,OD长为半径画圆弧,交☉O于B,C两点;(2)连接AB,BC,AC.△ABC即为所求作的三角形. 乙:(1)作OD的垂直平分线,交☉O于B,C两点;(2)连接AB,AC.△ABC即为所求作的三角形. 对于甲、乙两人的作法,下列说法正确的是 (C) A.甲对,乙不对 B.甲不对,乙对 C.两人都对 D.两人都不对 2.用等分圆周的方法画出下列图案,并给它们涂上你喜欢的颜色. 图30-3-20 [答案:略] 活动 三: 课堂 总结 反思 3.尺规作图(不要求写作法,保留作图痕迹): (1)如图30-3-21①,已知正五边形ABCDE,求作它的中心O; (2)如图②,已知☉O,求作☉O的内接正八边形. 图30-3-21 解:(1)如图30-3-22①,点O即为所求. 图30-3-22 (2)如图②,正八边形ABCDEFGH即为所求. 　　当堂训练,及时反馈学生的学习效果,进一步巩固学生对所学内容的理解、掌握.能使教师及时掌握本课教学效果,为后续教学的安排提供依据. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的过程中,使学生充分认识到正多边形和圆之间的密切关系,培养学生解决问题的能力. ②[讲授效果反思] 教学中值得注意:①正多边形中的相关计算;②等分圆周的不同方法. ③[师生互动反思] 教学过程中,由于采用多媒体教学,展示美丽图片和小组合作探究,学生的学习积极性高,发言踊跃,课堂气氛活跃. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $