29.1 圆的有关性质 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计涵盖“圆的有关概念”和“过三点的圆”，通过生活中圆的形象及毕达哥拉斯名言导入，类比直线确定条件，构建从圆的定义、相关概念到确定圆的条件的知识支架。 亮点在于结合动手操作与动态视频，培养几何直观（数学眼光），通过反证法探究三点共线不能作圆发展推理意识（数学思维），实例丰富如矩形顶点共圆证明，助力学生提升探究能力，为教师提供清晰教学流程。

29.1 圆的有关性质 29.1.1 圆的有关概念 课题 圆的有关概念 课型 新授课 教学内容 教材第79-81页的内容 教学目标 1.经历圆的概念的形成过程和发现有关结论的过程，发展学生数学思考的能力. 2.理解圆、弧、弦等与圆有关的概念以及等圆等弧等概念. 3.掌握点与圆的三种位置关系，使学生会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系. 4.通过证明矩形和直角三角形的顶点共圆，获得用圆的定义证明共圆的基本方法. 5.利用圆的概念解决简单问题，形成几何直观，增强应用意识.体会圆在生产生活中的广泛应用，感受数学的价值，体会图形的匀称美，培养审美意识.通过数学文化，培养学生的历史感.渗透类比学习的数学思想. 教学重难点 教学重点：经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念；掌握点与圆的三种位置关系；能用定义证明几点共圆. 教学难点：理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义。用集合的观点定义圆，学生不容易理解为什么必须满足两个条件. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引出课题 教师多媒体展示我们生活中常见的具有圆形象的物体. 1.古希腊数学家毕达哥拉斯曾说过：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆.” 2.感知圆的世界：圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象。 2.动手操作，形成概念 画圆：（1）画一个半径为2cm的圆． （2）在操场上画一个半径为3m的圆,你有什么办法? 【师生活动】学生思考回答.教师总结并播放视频。 · O P 观察归纳圆的形成过程，得出圆的动态旋转定义： 在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆． 固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 【师生活动】学生观察归纳回答圆的形成过程，教师给出圆的定义并板书。 【师生活动】从画圆的过程中，你能说出圆上点有什么特性吗？ 教师引导学生回答（1）圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长(半径r). （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. O r 【师生活动】教师归纳给出第二个定义，稍作对比总结，学生理解即可。 归纳出圆的另一定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合． 对比圆的两种定义：1、动态：旋转；2、静态：集合. 【探究】观察画圆的过程，还可以发现平面被圆分成三部分，相应地，平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内（如图）. 类似于用点到圆心的距离刻画点在圆上，可以用点到圆心的距离刻画点在圆外、点在圆内，设O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP=d，则有 【师生活动】教师提出问题，并展示相关图片，引导学生思考.并适时提出问题追问. 【追问1】圆中还有哪些元素呢？ 连接 圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径，直径长是半径长的2倍.如图，AB，AC是弦，AB是直径. 【教师活动】教师适当引导学生思考直径与弦的关系，让学生理解，①直径一定是弦，但是弦不一定是直径，②直径是最长的弦. 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．以 A，B 为端点的弧记作AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． 【追问2】下面两段弧都是以A、B为端点，如何区分呢？ 大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的弧ABC）叫作优弧.小于半圆的弧（如图中的 弧AC ）叫作劣弧． 【教师活动】教师适当提醒，引导学生思考，师生共同得出结论：每一个弧都对应唯一的弦，在同圆中每一条弦都对应两个弧.然后教师可让学生观看“弓”的实物图片，由此引出弓形的概念，由前面得出的结论“在同圆中每一条弦都对应两个弧”可得，同一个圆中弦AB与其所对的弧组成的弓形有两个，如下图. 由弦及其所对的弧组成的图形叫作弓形. 【追问3】下列每组中的两个圆能重合吗？ 预设答案：（1）不重合；（2）重合. 能够重合的两个圆叫作等圆. 容易看出：等圆是两个半径相等的圆. 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. 3.学以致用，应用新知 【例】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一圆上. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC，BD相交于点O ， ∴OA=OC= AC，OB=OD = BD,AC=BD. ∴OA =OC =OB =OD. ∴A，B，C，D 四个点在以点O为圆心、OA为半径的圆上. 4.随堂训练，巩固新知 （1）有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C （2）如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC. 证明：∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∵点C、D分别为OA、OB的中点，∴OC＝OA，OD＝OB，∴OC＝OD.又∵∠O＝∠O，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴BC＝AD. （3）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=90°，∠D=90°，点O是AB的中点. 求证：A，B，C，D四点在同一圆上. 证明：如图，连接OC，OD. ∵在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=90°，∠D=90°，O是AB的中点，∴OC=AB， OD=AB ∵O是AB中点，∴OA=OB=AB，∴ OA=OB=OC=OD， ∴A，B，C，D四点在同一圆上. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.圆的定义是什么？ 3.你知道了哪些与圆相关的概念？ 6.布置作业 教材P116练习第1-4题. 用生活中的物体展示圆，激发学生兴趣，让学生直观感受生活中物体的美，体会数学源于生活。 激发学生探究欲望，调节课堂积极向上的氛围。 培养学生观察、归纳总结的能力。 使学生能够尽量轻松地理解圆的集合定义。渗透类比学习的数学思想。 让学生通过观察图形或量一量的方式得到线段之间的数量关系，培养学生的观察能力. 引导学生总结归纳出“点和圆的位置关系”以及“点到圆心的距离的数量关系”互相呼应，培养学生归纳总结问题的能力. 对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条． “同圆的半径相等”、“公共角”、“直径是半径的2倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充分利用图形的直观性挖掘出这些隐含的条件，从而使问题迎刃而解。 让学生讲解展示解题过程，教师辅助解释，其他同学倾听，学习。 通过追问，考查学生对知识的掌握情况，培养学生用所学知识解决问题的能力. 通过问题串的形式引发学生思考，利用多媒体课件演示相关图形及概念，直观形象，便于学生理解. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 圆的有关概念 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 29.1.2 过三点的圆 课题 过三点的圆 课型 新授课 教学内容 教材第116-119页的内容 教学目标 1.理解并掌握确定圆的条件，以及过不在同一条直线的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念； 2.理解反证法的思想，能够运用反证法证明命题； 3.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力，进一步体会解决数学问题的策略； 4.经历探索圆的确定条件的过程，发展学生的数学思考能力，进一步认识和理解研究图形方法. 教学重难点 教学重点：不在同一条直线上的三个点确定一个圆的证明及做法. 教学难点：过不在同一条直线上的三个点作圆，对反证法的理解. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 1.经过一点可以作 条直线？ 2.经过两点只可以作 条直线？ 预设答案：1.无数；2.一. 【师生活动】 教师提出问题，引导学生回顾所学知识，明确“两点确定一条直线”，然后教师追问：确定一个圆需要几个已知点呢？ 2.类比探究，学习新知 【探究】 【问题1】经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？ 【师生活动】先让学生思考，然后教师展示过一个点作圆的过程，引导学生理解作圆的实质是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了.所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆.由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个. 【问题2】经过两点A，B能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点？ 【师生活动】先让学生思考，然后教师展示过两个点作圆的过程，引导学生理解已知点A，B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径，即圆心到A，B的距离相等，因此圆心应在线段AB的垂直平分线上.在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到点A的距离即为半径，圆就确定下来了，由于线段AB的垂直平分线上有无数个点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个. 【问题3】经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 分组讨论： 1.学生先分组进行讨论； 2.教师根据讨论情况作相应提示； 3.学生讲解思路，教师补充完善. 【教师活动】教师完善分析及展示作图过程. 分析：对于经过不在同一条直线上的三点作圆的问题，因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离要相等.因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上.如下图，分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，设它们的交点为O，则OA=OB=OC.于是以点O为圆心，OA（或OB，OC）为半径，便可作出经过A，B，C三点的圆.因为过A，B，C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只有一个，即不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 【拓展】 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆.外接圆圆心是三角形的三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 【教师活动】引导学生熟悉相关概念，让学生自己尝试总结出：“三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.”这一结论. 【做一做】 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 答：如下图： 结论： 锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外. 【思考】 问题4：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ 预设答案：不能. 【师生活动】教师提出问题后，让学生尝试过在同一条直线上的三个点画圆，在学生得出不能做出这样的圆的结论后，追问：如何证明经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆呢？ 【证明猜想】 已知：点A、 B、 C三点在直线l上. 求证：过A、 B、 C三点不能作圆. 证明：假设经过同一条直线l上的A、B、C三点可以作一个圆. 那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1和l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆． 【师生活动】教师带领学生总结出证明的大概过程： 假设命题不成立→推出矛盾→原命题成立 【归纳】 在证明一个命题时，先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法． 【延伸】 反证法证题的基本步骤： 第一步：假设命题的 不成立. 第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设相 的结果. 第三步：由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明 是正确的. 答案：结论；矛盾；原命题. 【追问】什么样的命题适合用反证法证明呢？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多、至少型命题 3.学以致用，应用新知 【例1】点 A,B,C 不在同一条直线上，求作过 A,B,C 三点的圆（三角形外接圆）. 1. 解：如图. （1）连接 AB，分别以A、B为圆心，大于 AB 长为半径画弧，上下两段弧交于 D、E，直线 DE 就是 AB 的垂直平分线。 (2)连接 BC，同理分别以B、C为圆心，大于 BC 长为半径作弧，得到两组交点，连接交点画出 BC 的垂直平分线。 (3) 两条垂直平分线交于一点 O，点 O 到A、B、 C三点距离相等（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），即 OA=OB=OC，O 为圆心。 (4)以 O 为圆心，OA（或OB 、OC）长为半径画圆，⊙O 即为经过 A、B、 C三点的圆。 【例2】 用反证法证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 已知：如图，AB//CD，直线EF交AB于点O， 求证：12. 证明：假设1≠2，过点O作直线A ′B ′，使EOB′2.根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′//CD，这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与基本事实 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.这说明1≠2不正确，所以12. 4.随堂训练，巩固新知 （1）判断正误： ①任意的一个三角形一定有一个外接圆( ) ②任意一个圆有且只有一个内接三角形( ) ③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) ④经过三点一定可以确定一个圆( ) 答案：①√；②×；(3)√；④×. （2）若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案：B. （3）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( ) A．第①块 B．第④块 C．第③块 D．第②块 答案：D. （4）完成下面的证明过程： 已知：如图，直线l1，l2， l在同一平面内，且l1l，l2l. 求证：l1//l2. 证明：假设 ，则l1与l2相交，设l1与l2交于点P.由已知条件 ， 得知，过点P有两条直线与直线l垂直， 这与“ ”相矛盾，所以，“假设 ”不成立，故 . 答案：l1l2，l1l，l2l，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，l1l2，l1//l2. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1. 本节课学习了哪些主要内容？ 2. 几个点可以确定一个圆？ 3.用反证法证明的步骤是什么？ 6.布置作业 教材P118练习第1-2题，P119练习第1-2题. 先回顾已学知识，在此基础上提出问题，引导学生思考新知识，便于学生理解. 以探究的形式通过三个问题逐步得出结论“不在同一直线上的三点可以确定一个圆”，既降低了学习的难度，又培养了学生的学习兴趣以及探索能力，进一步体会解决问题的策略. 通过让学生分组讨论的方式培养学生的合作意识，通过教师补充完善的过程体现数学中思维的严谨性. 通过讲解让学生熟悉三角形的外接圆和三角形的外心等概念. 巩固所学知识，加深对三角形外接圆的理解.进而归纳出锐角、直角、钝角三角形外心的位置. 通过观察引导学生思考，得出猜想. 教师通过引导，让学生自主思考探究，培养学生的推理能力以及逻辑思维能力. 教师引导学生归纳总结出反证法的概念，培养学生归纳总结问题的能力. 通过填空的形式让学生总结出反证法证题的基本步骤，进一步巩固反证法的概念. 通过提问让学生初步理解“什么样的命题适合用反证法证明”，体会“正难则反”的思想. 通过名人名言让学生加深对反证法的理解，并体会反证法在数学中的适用性. 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 通过分组探究的方式让学生进一步熟悉反证法的推理过程及步骤，培养学生的合作探究意识以及知识的应用意识. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 过三点的圆 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $