专题01 菱形的性质和判定问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建菱形专项训练体系，通过7类典型题型系统提炼性质应用与判定方法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|性质用“四边相等+对角线垂直平分”，判定优先“四边相等”或“平行四边形+邻边相等/对角线垂直”|从菱形定义出发，关联全等、勾股定理，构建性质与判定的逻辑闭环| |7类题型|每类1典例+3变式|求角用“对角线平分对角+邻角互补”，多解问题分类讨论图形位置，综合证明结合旋转、对称转化|从基础计算到动态综合，形成“性质应用→判定推理→多知识点融合”的递进链条| |压轴挑战|15题（选择/填空/解答）|函数图象结合菱形性质设坐标求解，动态问题用运动轨迹分析|对接中考命题趋势，强化模型意识与空间观念，提升复杂问题解决能力|

专题01 菱形的性质和判定问题的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用菱形的性质求角问题 题型二、菱形与函数图象综合问题 题型三、与菱形有关的多解问题 题型四、与菱形有关的多结论问题 题型五、与菱形有关的作图问题 题型六、利用菱形的性质证明的综合问题 题型七、菱形的性质和判定综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：围绕边、对角线、对称性设问，常与全等、勾股定理结合，考查证明或计算。 - 解题方法：性质题用“四边相等”“对角线垂直平分且平分对角”；判定题优先证“四边相等”或“平行四边形+邻边相等/对角线垂直”。 - 易错提醒：混淆菱形与矩形对角线性质；忽略“平行四边形”这一前提直接判定；对角线面积公式计算时忘记乘以二分之一。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用菱形的性质求角问题 典例1．（25-26八年级下·山西临汾·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． 【答案】14.4 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得，则，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵是菱形的高， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：已知菱形边长、对角线或邻角关系，求内角度数，常结合对角线与角平分线性质。 2.方法：利用菱形对角线平分对角、邻角互补，结合已知条件设未知角，列方程或直接推导求值。 变式1-1．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________． 【答案】67 【分析】设，根据等边对等角，可得，再由菱形的性质可得，由此可得，再根据三角形内角和为求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得， 则 ． 变式1-2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，菱形，E、F分别为、上的点，且，若，则的度数为________． 【答案】/35度 【分析】连接，先得出，，再证出，则，进而可得是等边三角形，则，然后求出的度数，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 变式1-3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，菱形的边长为10，连结，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，若，则的长为_____． 【答案】3 【分析】分别延长，交于点G．证明得到，取的中点H，连结，根据三角形中位线的性质得到，，从而，再由菱形的边相等得到，从而，得出，即可求出，再由线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，分别延长，交于点G． 因为的平分线交于点E， 所以， 因为过点E作的垂线交于点F， 所以， 又因为， 所以， 所以． 取的中点H，连结， 所以是的中位线， 所以，， 所以． 因为在菱形中，， 所以， 所以， 所以． 所以， 所以． 题型二、菱形与函数图象综合问题 典例2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为与的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，函数图象位于低点时，对应的值为_____． 【答案】或 【分析】结合图象，得到当时，，当点运动到点时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点运动到或时，函数图象位于低点，利用面积法求出的长，从而可求出点的运动路程． 【详解】解：由图象可得：当时，， 当点运动到点时，， 菱形， ， ， ， 当点运动到时，函数图象位于低点，如图， ∵ ∴ 解得：， ∴； 当点运动到时，函数图象位于低点，如图， 同理可得， ∴， ∴． 综上，函数图象位于低点时，对应的值为或． 故答案为：或． 题型模版 1.特征：菱形顶点在函数图象上，或函数图象过菱形顶点，求函数解析式或顶点坐标。 2.方法：利用菱形性质（对角线垂直平分、四边相等）设顶点坐标，代入函数解析式，联立方程求解。 变式2-1．（2026·湖北咸宁·模拟预测）如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点．设的长度为，与的长度和为，图2是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________；（2）a的值为_____． 【答案】 4 【分析】利用菱形轴对称性：、关于对角线对称，所以，则，根据两点之间线段最短，、、共线时，取得最小值（对应图象最低点），当与重合时，，对应图象． 【详解】解：连接，， 菱形，是对角线， 、关于对称，， ． 当与点重合时，，， 已知，菱形中， ， 又菱形中， 为等边三角形，是中点， ， 设，则， ， ， ， 菱形边长； 当、、三点共线时，（两点之间线段最短）； 是等边三角形，为中点， ， 在中，，： ， ， 综上：（1）菱形边长；（2）． 变式2-2．（2026·湖北黄冈·二模）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________，（2）的值为________．      【答案】 4 16 【分析】连接，，设交于点Q，由A、C关于对称，推出，推出，推出的最小值为的长，观察图象可知，当点P与B重合时，，推出，分别求出，的长，即可解决问题． 【详解】解：连接，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ∴， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的横坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的纵坐标， ． 变式2-3．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为______． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，萎形的性质，勾股定理等，由图②得，当时，在减小；当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再沿运动到，或应从出发沿运动到，运动到到，设从出发沿运动到，再沿运动到，连接交于，可得，得到，，，得到，再利用勾股定理求出的值即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图②得，当时，在减小；当时，先变小后变大， ∴应从出发沿运动到，再沿运动到，或应从出发沿运动到，再沿运动到到， 设从出发沿运动到，再沿运动到， 如图，连接交于， ∵四边形为菱形， ∴，，， 当在处时，，即， ∴， 当在处时，， ∴， 当位于处时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 类型三、与菱形有关的多解问题 典例3．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在菱形中，，，是的中点，是边上一动点．将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为________． 【答案】6或 【分析】分两种情况：连接，若；连接，若；分别利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，若， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 过点作于，则， ∴，， ∴， ∴； 如图，连接，若， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴点落在上， ∵是的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； 综上所述，的长为6或． 题型模版 1.特征：条件未明确图形位置或顺序（如对角线夹角、顶点排列），导致多个不同形状的菱形。 2.方法：分类讨论（如钝角/锐角、对角线长短、顶点顺序），按不同情况分别作图求解，验证所有解。 变式3-1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，点在坐标平面内，若以，，，四点为顶点的四边形为菱形，则点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】根据菱形的性质，分为菱形的边和为菱形的对角线两种情况讨论，设出点的坐标，利用勾股定理列方程求解，舍去不符合条件的结果即可得到答案． 【详解】解：，， 设，分两种情况讨论： 1、当为菱形的边时，此时，即 解得或 点在轴正半轴上， ，即 2、 当为菱形的对角线时 此时满足，即 ，如图 在中，， 又 ， 解得，满足， 综上，点的坐标为或． 变式3-2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）菱形中，点是边的中点，交直线于点．若，，则菱形的边长为__________． 【答案】或/或 【分析】本题需分两种情况讨论，点F在线段上和点F在的延长线上，设菱形边长为未知数，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设菱形的边长为， ∴，， 点是的中点， ， ， ， ， 为平行线与之间的距离，即． 分两种情况讨论： 情况1：点在线段上， 过点作，交直线于点． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 又 ，为直角三角形，， 在中，由勾股定理，得 ， ． 情况2：点在的延长线上， 在中，由勾股定理，得 ， ． 变式3-3．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，菱形的顶点是线段上一个动点（不与O，B重合），连接，当为直角三角形时，点的坐标为________． 【答案】或 【分析】先求出，分两种情况进行讨论求解．①当时，先求出，再运用勾股定理，求出，从而得到点的坐标；②当时，设，则，同理运用勾股定理，求出，从而得到点的坐标． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴． ①当时， ∵，， ∴， ∵菱形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②当时， ∵，， ∴， 设，则， ∵菱形的边长为4， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴ ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 题型四、与菱形有关的多结论问题 典例4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是平行四边形，过点A作于点E，于点F，连接，下列说法：①若，则平行四边形是菱形；②若是等边三角形，则；③若平行四边形是菱形，则．其中说法正确的是________．（只需填写正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】利用平行四边形的面积，若，则，即可由菱形的判定得出平行四边形是菱形，可判定①正确；由是等边三角形，得，由四边形内角和可求得，再利用菱形的性质求出，可判定②正确；利用菱形的面积，可得出，再利用等腰三角形的性质可得出，可判定③正确． 【详解】解：①∵， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形，故①正确； ②是等边三角形， ， 又，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，故②正确； ③∵平行四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确； 故答案为：①②③． 题型模版 1.特征：题干给出多个命题或结论，需判断哪些正确，常涉及边、角、对角线及对称性。 2.方法：逐个运用菱形性质（四边相等、对边平行、对角线垂直平分、对称性）进行推理论证或举反例排除。 变式4-1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，中，，延长至点E，延长至点K，使，连接、交于点G，交于点H，连接，如下结论中：①；②四边形是菱形；③是等边三角形；④的最大值为8．正确的是__________（填序号）． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，结合题意得到是等腰三角形，则，可判定①；由此得到，即，证明，可判定四边形是平行四边形，结合菱形的判定即可判定②；无法判定是等边三角形，可判定③；根据题意得到，如图所示，过点A作于点M，，当，即时，的面积最大可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， ∴是等腰三角形， ∴，， ∴，故①正确； ∴，即， ∵点共线， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴点F，H是线段的中点，则， ∴，则， ∵与的大小关系不确定， ∴无法判定是等边三角形，故③错误； 如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， 如图所示，过点A作于点M，则， ∴， ∴当，即时，的面积最大，最大值为，即的值最大， ∴的最大值为8，故④正确． 变式4-2．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，已知菱形的边长为4，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，，分别与交于点，，连接、．以下结论正确的是______． ①；②；③当最小时，；④当时，则． 【答案】①②④ 【分析】可证明是等边三角形，得到，再证明是等边三角形，得到，则可证明，得到，据此可判断①②；证明是等边三角形，得到，则当时，有最小值，即此时有最小值，可证明，据此可判断③；证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，过点E作于点H，可证明是等腰直角三角形，得到，可推出，，则，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，即此时有最小值， ∴此时点M为的中点， ∴，， ∴， ∴点N为的中点， ∴， ∴， ∴，故③错误； 当时，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，则， ∴，， ∴， 过点E作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可证，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④． 变式4-3．（25-26八年级下·北京东城·期末）如图，在菱形中，是的中点．点是线段上的动点，记线段的长为．有以下三个结论： ①若是线段的中点，则； ②的取值范围是； ③若在菱形的内部存在点，使得，且，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________________________． 【答案】①②/②① 【分析】根据菱形性质及三角形中位线定理判断；利用垂线段最短及勾股定理求出的最小值和最大值判断②；通过特殊位置法，当与重合时验证是否符合条件判断③ 【详解】解：四边形是菱形， ， 是线段的中点，是的中点， 是的中位线， ，即，故①正确 四边形是菱形，， ∴， ，， 当时，取得最小值，如图 在中，，， ， 当点与点重合时，取得最大值，如图 过点作交的延长线于点， ，， ∴， ∴， ∴， 是的中点， ， ， 在中， ， ，故②正确， 连接，如图 ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 是的中点， ∴， ∴， 当时，取点与点重合此时为中点，在上，，在上取， ∴， 此时点G在菱形的内部，如图 可以取， 结论③中错误，故③错误， 综上所述，正确结论的序号是①②． 题型五、与菱形有关的作图问题 典例5．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在菱形中，是边的中点，连接． (1)在边上确定一点，使得（尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若菱形的边长为，，求四边形的面积． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2) 【分析】（1）以点B为圆心，为半径画弧，交于点H即可； （2）过点A作交的延长线于点F，求出，然后证明是等腰直角三角形，得到，，求出，然后利用平行四边形的面积公式求解． 【详解】（1）解：∵在菱形中，是边的中点 ∴ 由作图得， ∴ ∵在菱形中， ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）解：如图，过点A作交的延长线于点F ∵菱形的边长为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 题型模版 1.特征：在给定条件下（如边长、对角线长、角度），利用无刻度直尺和圆规按要求画出菱形。 2.方法：依据菱形判定定理（四边相等、邻边相等且平行、对角线垂直平分等）确定作图步骤，先作基准线段，再作垂线或等长弧。 变式5-1（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，已知菱形，连接． (1)实践与操作：利用尺规作四边形，使得四边形为平行四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)如图，四边形即为所求作的平行四边形， (2)12 【分析】（1）如图，以B为圆心、长为半径画弧，再以C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点F，依据“两组对边相等的四边形是平行四边形”的判定方法尺规作图； （2）先由菱形性质结合勾股定理算出对角线一半长度，求出面积，再利用平行线间距离相等得到与面积相等． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点，连接． ∵四边形为菱形，，， ，， 在中，由勾股定理得： ， ∵四边形是平行四边形， ，， 与等底等高（高为），则面积相等． ．   即的面积为12． 变式5-2．（25-26八年级下·广东深圳·期末）在菱形中，对角线、相交于点O，，． (1)请在上找一点E，使得，要求在图1中尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (2)在（1）的条件下，延长交于点F，如图2，求的长． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2) 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧交于点、，作直线交于点，连接，点即为所求； （2）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理可得，作于点，由菱形的面积公式计算可得，作于点，作于点，则，设，则，由勾股定理可得，求出，再由等面积法计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， 如图，作于点， ∵， ∴， 作于点，作于点，则， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 变式5-3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图1，在菱形中，是上的动点（不与点重合），连接．点F在上，且点关于直线对称． (1)在图1中，求作点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接是的中点，连接， ①若E是的中点，，求的长； ②点C关于直线的对称点为H，探究点H与直线的位置关系． 【答案】(1) (2)①；②点H在直线上 【分析】（1）以点为圆心，为半径画圆，交于点，点为所求； （2）①连接，，延长交于点，根据等边三角形的性质可知，，进而根据勾股定理可知，再证明，再根据勾股定理可知的长度；②取的中点，连接，进而根据中位线可知，即可判断求解． 【详解】（1）略 （2）连接，，延长交于点 在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵E是的中点，点关于直线对称． ∴是的中点 ∴， ∴， ∵ ∴， ∵是的中点， ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴ ②取的中点，连接， 由①可知是的中点， ∴是的中位线， 同理可知是的中位线， ∴， ∴与的距离等于与的距离 ∴点C关于直线的对称点为H在直线上 题型六、利用菱形的性质证明的综合问题 典例6．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）在菱形中，，E为中点，与关于对称，延长交于点F，延长交的延长线于点H． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)求和四边形的面积之比． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）由菱形的性质得到，再由平行线的性质和轴对称的性质证明，即可证明； （2）过点E作，交的延长线于点R，由菱形的性质得到，；求出，则可求出，进而得到，由勾股定理可求出的长；证明，可得，据此可得答案； （3）过点D作，交的延长线于点P，连接，设，则，可证明；求出，则可求出，；由勾股定理得，可推出，则可推出；再证明，得到，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点E作，交的延长线于点R， ∵四边形是菱形， ∴，； ∵E为中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点D作，交的延长线于点P，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 由（2）得， ∴， ∴， 由（1）得； ∵， ∴， ∴， ∴，； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：将菱形边、角、对角线性质与其他图形（全等、相似、函数）结合，进行逻辑推理证明。 2.方法：从菱形性质出发，结合已知条件进行几何推理，常通过全等三角形、勾股定理或面积法建立关系。 变式6-1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点．将绕点逆时针旋转 得到（），且，分别交于点，，连结． (1)连结，求证：． (2)当时，求的值． (3)在旋转过程中，当边与菱形其中一条边垂直时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：根据旋转的性质可知， ，，， 菱形， ，， ，， ， ． (2) (3)或 【分析】（1）先证明，再根据即可证明； （2）连结，证明得，进而得出，设，根据求出即可求解； （3）分当时和当时两种情况，画出图形求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图1，连结， 菱形， ， 又， 垂直平分， ，， ，，， ， ， 又， ， ∵菱形中，， ∴， ∴． 设，则， 解得， ． （3）解：①如图2，当时，连结， ∵， ∴， ∴． 由（1）知，，由（2）知，， ∴， ∴， 作于点H，则， ∴， 设， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，当时，连结， 同理可求，，， 设， ，， ∴， ，， ． 综上所述：或． 变式6-2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题情境】 如图1，在菱形中，点在边上，，点在上，． 【初步探究】 (1)求证：． 【深入探究】 (2)将图1中的绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． ①如图2，当线段经过点时，直线分别与边，交于点，，求证：． ②已知，，在旋转过程中，交于点，所在直线交于点，延长交于点，若，请在图3中画出示意图并求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)①证明：∵是菱形的对角线，， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； ②， 【分析】（1）根据菱形的性质及垂直的定义得，，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①根据菱形的性质及垂直的定义得，，，根据旋转的性质得，继而得到，，，，证明得，即可得证； ②如图，过点作于点，连接，，根据菱形的性质及垂直的定义得，，，进一步得，，，，证明得，证明得，推出，根据旋转的性质得，继而得到，，，推出，然后根据等角对等边及勾股定理得，可得答案． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图，过点作于点，连接，设， 由（1）知：，， ∵是菱形的对角线，，，， ∴，，， ∴，， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式6-3．（25-26八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境：在菱形中，，作，，分别交边，于点P，Q． (1)如图1，若点P是边的中点，请你判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，小阳说：“点P为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立．”你同意吗？请说明理由． 拓展延伸： (3)小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)解：线段与之间的数量关系： 理由：如图，连接    ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵点P是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． (2)解：同意． 理由：如图，连接    ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴． (3)或 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据点P是边的中点，可得，，等量代换可得，，故，根据全等三角形的判定和性质可得； （2）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，，等量代换可得，根据全等三角形的判定和性质可得； （3）过点A作于E，连接，根据菱形的性质，，可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据勾股定理可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点A作于E，连接    ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 结合（2）可得：， ∴或． 题型七、菱形的性质和判定综合问题 典例7．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，过点作于点，在右侧作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， 又， 四边形为平行四边形， 又，即， 四边形为菱形； (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可； （2）利用菱形的性质结合勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ，， 在中，由勾股定理，得， ， ． 题型模版 1.特征：需同时运用菱形性质（边角对角线）与判定定理（如四边相等、对角线垂直平分）进行推理计算。 2.方法：先根据条件判定是否为菱形，再利用其性质求角、边或面积；或先由性质得结论，再反推判定条件。 变式7-1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，对角线，交于点，且平分，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形性质即可证明． （2）根据菱形性质和等边三角形性质，利用勾股定理即可计算． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理， ∴， ∴的长为． 变式7-2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形中，，，M为对角线上一动点（不与A、C重合），以为边向上构造等边三角形，线段与交于点G，连接、、，Q为线段的中点，连接． (1)求证：； (2)四边形是否可以是菱形？如果可能，求出此时的长度；如不可能，请说明理由； (3)判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵菱形中，， ， 为等边三角形， ，， ， 又， ． (2)可以是， (3)． 证明如下：如图，延长至H，使，连接、， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ∴， ， 是的中点，Q是的中点， 是的中位线， ， ． 【分析】（1）由菱形的性质可得，由等边三角形的性质可得，，求出，再结合等腰三角形的性质即可得证； （2）由（1）知，，  当G为中点时，四边形是菱形，此时，由等边三角形的性质可得，再结合勾股定理计算即可得出结果； （3）延长至H，使，连接、，证明是等边三角形，得出，，再证明，得出，由三角形中位线定理可得，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：四边形可以是菱形， 由（1）知，，   ∴当G为中点时，四边形是菱形．   ， ， 为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴； （3）略． 变式7-3．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，四边形是平行四边形，延长到，使，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图，若平分． ①求证：四边形是菱形； ②若，，直接写出四边形的面积________． 【答案】(1)四边形为平行四边形，理由： 四边形是平行四边形， ，即， ， ， 四边形为平行四边形； (2)①证明：根据（1）可得四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ∴， ， 平行四边形为菱形； ② 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即可得到四边形为平行四边形； （2）①利用平行线的性质得到即可解答； ②连接，根据菱形的性质和勾股定理求得的长，即可解答． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图，连接交于点， ， 根据①可得四边形为菱形， ，，， 四边形是平行四边形， ， , ， ， ， 菱形的面积为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出，，，确定，得出，再由菱形的性质求解即可． 【详解】：解：∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为上一点，若，且，，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得，再证明，故，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理得，，，再根据三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以、为圆心，以长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接、、、，则下列说法不正确的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．四边形是菱形 C． D． 【答案】D 【分析】由作图可得，从而可得四边形为菱形，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由作图可得， ∴四边形为菱形，故B选项正确， ∴，故C选项正确， ∵菱形是特殊的平行四边形， ∴四边形是平行四边形，故A选项正确； 由已知条件无法得出，故D选项说法错误． 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．连接，．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图所示，那么下列说法正确的是（     ） A． B．当时，点一定运动到的中点 C． D．菱形的面积是 【答案】C 【分析】根据函数图象得出菱形边长，从而求出的值；利用等边三角形面积公式求出的值；根据菱形面积公式计算面积；结合函数图象的对称性分析点的位置． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 由图2可知，点运动的总路程为． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得 ∴，故A错误． 当点运动到点时，的面积最大，最大值为，此时中，，，是等边三角形． ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确． ，故D错误． 当时，即，根据函数图象的对称性，点可能运动到的中点，也可能运动到的中点，故B错误． 5．（25-26八年级下·新疆克孜勒苏·期末）如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、、，则下列四个结论中正确的有（     ）． ①若菱形的边长为1，则的最小值是1； ②； ③； ④连接，则； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】①利用菱形轴对称，两点之间线段最短求最小值；②由旋转、等边三角形边角条件用证；③通过全等三角形面积相等对比两个四边形面积；④举动点特殊位置反例判断垂直是否恒成立． 【详解】解：① 菱形对角线为其对称轴， ，最小值为线段长． ，， 为等边三角形，，①正确． ②∵为等边三角形，绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ，即， ∵， ，②正确． ③由得， ，， 仅当时，， 但两三角形是动点面积，无恒等关系，因此四边形面积不一定相等，③错误． ④与是动点，当点N靠近点B时,与不垂直，④错误． 综上，正确结论为①②，共2个． 二、填空题 6．（25-26八年级下·北京通州·期末）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，已知，则__________°． 【答案】120 【分析】根据菱形性质得平分，进而得，根据三角形外角性质得，计算即可． 【详解】解：由题意得，在菱形中，平分， ， ， ， ， ． 7．（2026·海南·模拟预测）如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出和的长，然后即可计算出重叠部分的面积，再计算出菱形 的面积即可得出结论． 【详解】解：连接， ，和 交于点O，连接交于点O，交于点F，如图所示， ， ∵菱形 的边长为，， ∴，， ， ∴ 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴菱形 的面积， ∵ ， ∴， 由平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴重叠部分的面积为：， ∴重叠部分的面积与菱形 的面积之比为 ． 8．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）在菱形中，，点是菱形内一点，，则的长为_____． 【答案】或 【分析】分成P在上和P在上两种情况进行讨论，根据是等边三角形，即可求得的长度，在直角中利用勾股定理求得的长，则即可求得． 【详解】解：设和相交于点O． ， ∵四边形是菱形，则垂直平分， 又， ∴点在上， 当P在上时， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，． ∴． 在中，． 则； 当P在上时，． 综上，的长为或． 9．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图1，点从菱形的边上一点开始运动，沿直线运动到菱形对角线的交点，再沿直线运动到点停止，设点的运动路程为，点到的距离为，到的距离为，且（当点与点重合时，），点运动时随的变化关系如图2所示，则①_________，②菱形的面积为_________． 【答案】 5 24 【分析】连接，交于点，连接，由当时，的值恒等于，推出点的运动路径是的中位线，则可得到，再由当时，，求出，由菱形的性质求出，的长即可得到答案． 【详解】解：连接，交于点，连接，如图， 由题意知，当时，的值恒等于， ， 点的运动路径是的中位线，且， 当时，， ， 由菱形的性质可得，，， ， ， ， ． 10．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在菱形中，，，线段（点E在点F的左侧）在直线上移动，且，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或2或 【分析】连接，先根据菱形的性质得，，，由角的性质求出．然后分三种情况求解即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵在菱形中，， ∴，，． ∵， ∴， ∴． 当即点E与点O重合时，如图， ． 当即点F与点O重合时，如图， 当时，如图， 设，则， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ， 解得， ∴， 综上可知，的长为或2或． 三、解答题 11．（25-26八年级下·上海松江·期末）如图，在平行四边形中，P是边上的一点（点P不与B、C重合），连接，交对角线于点E，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，设长度为x，的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)证明：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）连接交于点O，由平行四边形的性质得到，证明，推出，据此可证明平行四边形是菱形； （2）连接交于点O，由菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长，得到的长，设点A到的距离为h，利用等面积法求出h的值，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接交于点O， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 设点A到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，菱形和中，点在上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图． (1)在图1中，作一条的平行线； (2)在图2中，过点作一条的垂线． 【答案】(1)如图，为的平行线， (2)如图，即为所求． 【分析】（1）连接，则即为所求； （2）延长交于点M，连接、交于点P，连接，交于点Q，连接交于点H，连接，则即为所求． 【详解】（1）证明：∵四边形和为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，交于点O， ∵菱形中，，，菱形中，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形和为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴． 13．（25-26八年级下·贵州铜仁·期末）已知在菱形中，，，N是上的一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接． (1)如图1，的度数为___________；线段与线段的数量关系为_________； (2)如图2，连接，，试探究线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若点N是射线上的动点，且，求的长． 【答案】(1)， (2)解：，理由如下：    ∵是菱形的对角线，， ∴，，， ∴，； 又∵， ∴； 又∵，， ∴；    ∴，； 又∵， ∴； 在中 ∴， 又∵， ∴； (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质和平行线的性质即可求出的度数；证明，即可得出线段与线段的数量关系； （2）根据菱形的性质可求出，证明，得出，，则，在中，根据勾股定理得出，，即可得出结论； （3）过作，交延长线点E，根据菱形的性质，勾股定理以及含角的直角三角形的性质可求出，，，； 然后分两种情况讨论：①当N在线段上时，②当N在的延长线时，结合（2）中求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴； 又∵，， ∴；    ∴； （2）略 （3）解：过作，交延长线点E， ∵四边形是菱形，，∠． ∴，， 在中，，， ∴，． 在中，，． ∴； ①当N在线段上时，如上图 ∵． ∴； 由（2）， ∴ ； ②当N在的延长线时，如下图    ∵． ∴； 由（2） ∴， 综上，长为或． 14．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）在菱形中，，是对角线上一个动点，连接，以为边向右侧作等边． (1)如图1，当点在菱形内部时，连接交于点． ①判断与的数量关系，并求的度数；（温馨提示：若思考有困难，可尝试连接） ②若，，求的长； (2)如图2，当点在菱形外部时，连接交于点．若，，直接写出________． 【答案】(1)①，；②6 (2)18 【分析】（1）连接，根据证明，则可得，，再根据菱形的对角线平分一组对角可得，，则可得，，进而可得． 连接，过E点作于M点，则可得，，，进而可得．根据证明，则可得，由是等边三角形可得，则可得，根据等腰三角形三线合一可得，则可得，． （2）连接交于点，根据证明，则可得，，再根据菱形的对角线平分一组对角可得，，则可得，，进而可得，根据含的直角三角形三边关系及勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵菱形中，， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 如图，连接，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 同得是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴（等腰三角形三线合一）， ∴， ∴． （2）解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵菱形中，， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是含的直角三角形， ∴， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．（25-26八年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点，大型钢架为菱形，小型钢架为菱形，设计图纸规定两个菱形顶角，、是钢架支撑杆．施工时小型钢架锁死固定不动，大型钢架可绕支点自由旋转调整摆放角度，工程人员需要测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题． 【操作发现】 (1)如图，调整大型钢架，使得大型钢架边与小型钢架边重合．请直接写出钢架支撑杆与之间的数量关系． 【探究验证】 (2)按图方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点落在小型钢架的侧边上，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓广探究】 (3)现场实测：图摆放状态下，，大型钢架边长为米． ①求小型菱形钢架的边长． ②旋转调整大型钢架菱形，当、、三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)解：仍然成立，理由如下： ∵四边形和均为菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴； (3)①米；②6米或米 【分析】（1）证明，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）①过点E作于点H，则，根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，可得，，再由，米，即可求解； ②连接，过点B作于点M，则，根据菱形以及直角三角形的性质可得，然后分两种情况：当点G在线段上时， 当点G在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形和均为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①如图，过点E作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴米， 即菱形的边长为米； ②如图，连接，过点B作于点M，则， 在菱形中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：菱形的边长为米， ∴， 当点G在线段上时，如图， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 当点G在线段的延长线上时，连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 综上所述，的长为6米或米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01菱形的性质和判定问题的七类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、利用菱形的性质求角问题 题型二、菱形与函数图像综合问题 题型三、与菱形有关的多解问题 题型四、与菱形有关的多结论问题 题型五、与菱形有关的作图问题 题型六、利用菱形的性质证明的综合问题 题型七、菱形的性质和判定综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 夙通法通法明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：围绕边、对角线、对称性设问，常与全等、勾股定理结合，考查证明或计算。 解题方法：性质题用“四边相等”“对角线垂直平分且平分对角”；判定题优先证“四边相等”或“平 行四边形+邻边相等对角线垂直”。 -易错提醒：混淆菱形与矩形对角线性质；忽略“平行四边形”这一前提直接判定；对角线面积公式计算 时忘记乘以二分之一。 ◆ 夙题型归纳一精计典型题法，奔尖解题根基 题型一、利用菱形的性质求角问题 典例1.(25-26八年级下山西临汾期末)中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承 载着人们对美好生活的祈盼.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,且AB=15,AC=18】 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则菱形ABCD的高AE为」 题型模版 1.特征：已知菱形边长、对角线或邻角关系，求内角度数，常结合对角线与角平分线性质。 2方法：利用菱形对角线平分对角、邻角互补，结合已知条件设未知角，列方程或直接推导求值。 变式1-1.(25-26八年级下重庆期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E在边 AB上，且DB=DE,若∠ADE=21°，则∠ABD= 0 D 变式1-2.(25-26八年级下·海南省直辖县级单位期末)如图，菱形ABCD,E、F分别为BC、CD上的 点，且∠B=∠EAF=60°，若∠DAF=35°，则∠CFE的度数为 变式1-3.(25-26八年级下·浙江宁波期末)如图，菱形ABCD的边长为10，连结BD,∠ABD的平分线 交AD于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,若AE=6.5,则AF的长为一· B 题型二、菱形与函数图象综合问题 典例2.(24-25九年级上山西晋中·期末)如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为X,PO的长为少，y与x的函数图象如图2所示，请你结合图 象分析，函数图象位于低点时，对应的x值为一 B 图1 图2 题型模版 1特征：菱形顶点在函数图象上，或函数图象过菱形顶点，求函数解析式或顶点坐标。 2方法：利用菱形性质（对角线垂直平分、四边相等）设顶点坐标，代入函数解析式，联立方程求解。 变式2-1.(2026湖北咸宁·模拟预测)如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是BC边的中点，P 是对角线BD上一动点.设PD的长度为x,PE与PC的长度和为y,图2是y关于x的函数图象，其中H 是图象上的最低点，则(1)菱形的边长为， 一；(2)a的值为-. b 图1 图2 变式2-2.(2026湖北黄冈二模)如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是BC边的中点，P是对角 线BD上一动点，设PD的长度为x,PE与PC的长度和为y,图2是y关于x的函数图象，其中H(a,b)是图 象上的最低点，则(1)菱形的边长为」 (2)ab的值为_ 6 b H 图1 图2 变式2-3.(25-26九年级上广东广州期中)如图①，BD是菱形ABCD的对角线，AD<BD,动点P从 菱形的某个项点出发，沿相邻的两条线段以lcm/s的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，CP的 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长(cm) (s) 随时间 变化的函数图象如图②所示，则菱形4BCD的周长为 y(cm) a 2a+1t(s) 图① 图② 类型三、与菱形有关的多解问题 典例3.(25-26八年级下河南许昌期末)如图，在菱形ABCD中，AB=8,∠A=60°，E是AB的中点， F是边AD上一动点，将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF,若AE与菱形ABCD的对角线平行，则DF的长 为 D B 题型模版 1.特征：条件未明确图形位置或顺序（如对角线夹角、顶点排列），导致多个不同形状的菱形。 2方法：分类讨论（如钝角锐角、对角线长短、顶点顺序），按不同情况分别作图求解，验证所有解。 变式3-1.(25-26八年级下浙江金华期末)在平面直角坐标系中，己知 (2,0)B(0,1) 点M在'轴正 半轴上，点N在坐标平面内，若以A,B,M,N四点为顶点的四边形为菱形，则点M的坐标为 变式3-2.(2026黑龙江齐齐哈尔中考真题)菱形ABCD中，点E是边AD的中点，EF⊥BC交直线BC 于点F. .DE=3CF EF=4v10 则菱形ABCD 的边长为 变式3-3.(25-26八年级下河南安阳期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC0的边长为4， ∠OAB=120°，菱形BNB'M的顶点B是线段OB上一个动点（不与O,B重合），连接AB',当△OAB为 直角三角形时，点B的坐标为 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B N 题型四、与菱形有关的多结论问题 典例4.(25-26九年级上全国课后作业)如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC于点 E,AF⊥CD于点F,连接EF,下列说法：①若AE=AF,则平行四边形ABCD是菱形：②若△AEF是等 边三角形，则LB=6O°：③若平行四边形ABCD是菱形，则∠AEF=∠AFE.其中说法正确的是 (只需填写正确结论的序号) 题型模版 1特征：题干给出多个命题或结论，需判断哪些正确，常涉及边、角、对角线及对称性。 2方法：逐个运用菱形性质（四边相等、对边平行、对角线垂直平分、对称性）进行推理论证或举反例排 除。 变式4-1.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，口ABCD中，BC=2AB=4,延长BA至点E,延长AB至 点K,使AE=AB=BK,连接CE、DK交于点G,DK交BC于点H,连接FH,如下结论中：① ∠E+∠K=90° DFHC ②四边形 是菱形：③△AEF 是等边三角形；④ 四边形EFH 的最大值为8.正确的是 (填序号)· 5/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式42.(25-26八年级下·广东广州期中)如图，己知菱形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于 点O,点M,V分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=6O°，AM,AN分别与BD交于点E, F,连接MN、OM.以下结论正确的是 1 ①AM=AN:②CM+CN=4:®当MN最小时，S△4w=2SCD;④当∠DN=150时，则 EF2+DE2=BE2 D 变式43.(25-26八年级下北京东城期末)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4,E是AB的中 点.点F是线段BD上的动点，记线段EF的长为a.有以下三个结论： E ①若F是线段BD的中点，则a=2; ②”的取值范围是1≤a≤2V7 ③若在菱形ABCD的内部存在点G,使得EG=EF,且∠GEF=90°，则a的取值范围是I≤a<2, 其中所有正确结论的序号是 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、与菱形有关的作图问题 典例5.(25-26八年级下·贵州遵义期中)如图，在菱形ABCD中，E是边AD的中点，连接CE O B (I)在边BC上确定一点H,使得AH∥CE(尺规作图，保留作图痕迹) (②)在(1)的条件下，若菱形ABCD的边长为6，∠B=135°，求四边形AHCE的面积. 题型模版 1特征：在给定条件下（如边长、对角线长、角度），利用无刻度直尺和圆规按要求画出菱形。 2方法：依据菱形判定定理（四边相等、邻边相等且平行、对角线垂直平分等）确定作图步骤，先作基准 线段，再作垂线或等长弧。 变式5-1(25-26八年级下·河北保定期末)如图，已知菱形ABCD,连接AC. B (1)实践与操作：利用尺规作四边形ABFC,使得四边形ABFC为平行四边形（要求：尺规作图，保留作图 痕迹，不写作法)： (2)应用与计算：在(1)的条件下，连接AF,若AB=5,AC=8,求△ABF的面积. 变式5-2.(25-26八年级下广东深圳期末)在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AC=6, BD=8 D D E 图1 图2 7/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)请在BD上找一点E,使得AE=BE,要求在图1中尺规作图，不写作法，保留作图痕迹. (2)在(I)的条件下，延长AE交BC于点F,如图2，求BF的长， 变式5-3.(25-26八年级下福建厦门期末)如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是AD上的动点 (不与点4，D重合)，连接BE.点F在CD上，且点E,F关于直线BD对称. A A B 图1 备用图 ()在图1中，求作点F;(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)连接BF,G是BF的中点，连接EG,AG ①若E是AD的中点，AB=4,求AG的长； ②点C关于直线EG的对称点为H,探究点H与直线AB的位置关系. 题型六、利用菱形的性质证明的综合问题 典倒6.(25,2ó八年级下渐江杭州期末)在菱形18CD中，∠C=120°，B为4B中点， △ADE 与 △MDE关于D DA、B 对称，延长交 C于点R,延长DE交CB的延长线于点H, A D B F (1)求证：DF=HF. (2)若AB=10cm,求DH的长. 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)求△DFC和四边形BFDE的面积之比. 题型模版 1特征：将菱形边、角、对角线性质与其他图形（全等、相似、函数）结合，进行逻辑推理证明。 2方法：从菱形性质出发，结合己知条件进行几何推理，常通过全等三角形、勾股定理或面积法建立关系。 变式61.(25-26八年级下·浙江金华期末)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，对角线AC,BD交 于点O.将△COB绕点B逆时针旋转Q°得到△CO'B(0<a<120),且C'O,CB分别交AC于点E, F,连结AO D ()连结OC',求证：△C'OB≌△AOB (2)当OE=OF时，求a的值. AE (3)在旋转过程中，当边C'B与菱形其中一条边垂直时，请直接写出CE的值. 变式6-2.(25-26八年级下·浙江杭州期末)综合与实践 D EC 图1 图2 图3 【问题情境】 如图I,在菱形ABCD中，点E在BC边上，AE⊥BC,点F在CD上，AF⊥CD 【初步探究】 (I)求证：AE=AF 【深入探究】 (2)将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转得到△ABE,点B,E的对应点分别为点B',E'. ①如图2，当线段AB经过点C时，直线B'E分别与边CD,AD交于点P,Q,求证：B'C=D0, ②已知BE=I2,CE=1,在旋转过程中，AB交BC于点H,AE所在直线交CD于点K,延长AE交 9/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B'E'于点R,若AH=AK,请在图3中画出示意图并求线段ER的长. 变式6-3.(25-26八年级下·山西临汾期末)综合与探究 问题情境：在菱形ABCD中，∠B=60,作∠PA犯=∠B,AP,A犯分别交边BC,CD于点P,Q. B B C C 图1 图2 图3 (1)如图1，若点P是边BC的中点，请你判断线段AP与AQ之间的数量关系，并说明理由. 深入探究： (2)如图2，小阳说：“点P为BC上任意一点时，(1)中的结论仍然成立.”你同意吗？请说明理由. 拓展延伸： (3)小宛取出如图3所示的菱形纸片ABCD,测得∠ABC=60°，AB=10,在BC边上取一点P,连接AP, 在菱形内部作∠PAQ=60°，A0交CD于点Q,当AP=9时，请直接写出D0的长。 题型七、菱形的性质和判定综合问题 典例7.(25-26八年级下~陕西榆林·期末)如图，在△ABC中，过点A作AD L BC于点D,在BC右侧作 ∠CBE=∠ACB,BE交AD的延长线于点E,且BE=AC,连接CE. (I)求证：四边形ABEC为菱形： (☒若1B=5.BC=2V5 求四边形ABEC 的面积， 题型模版 10/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：需同时运用菱形性质（边角对角线）与判定定理（如四边相等、对角线垂直平分）进行推理计算。 2方法：先根据条件判定是否为菱形，再利用其性质求角、边或面积；或先由性质得结论，再反推判定条 件。 变式7-1.(25-26八年级下辽宁大连期末)如图，在ABCD中，对角线AC,BD交于点O,且BD平分 ∠ABC,过点A作AE⊥BC交BC于点E. ()求证：四边形ABCD是菱形： (2)若菱形ABCD的周长为l6,AB=AC,求AE的长. 变式7-2.(25-26八年级下湖南长沙期末)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=60°，M为对角 线AC上一动点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN,线段MN与AD交于点G, 连接NC、ND、DM,O为线段NC的中点，连接DO. M (I)求证：AD⊥MN: (2)四边形AMDW是否可以是菱形？如果可能，求出此时AM的长度；如不可能，请说明理由： (3)判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论. 变式7-3.(25-26八年级下河北唐山期末)如图1，四边形ABCD是平行四边形，延长BC到E,使 CE=BC,连接AC、DE. 11/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)判断四边形ACED的形状，并说明理由 (2)如图2，若CD平分∠ACE. ①求证：四边形ACED是菱形； ②若AB=8，,BC=5,直接写出四边形ACED的面积 ◆◆ 同 压轴挑战一攻克高难压轴，突玻思维上限 一、单选题 1.(25-26八年级下·上海宝山期末)如图，己知AC、BD是菱形ABCD的对角线，∠ACD=25°，那么 ∠ABD是() A.25° B.650 C.75 D.85o 2.(25-26八年级下·浙江宁波期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点P为OC上 -点，若∠BPD=0,且40=6，DP=45.则DPC 的面积为（) A.2 B.4 C.6 D.8 3.(25-26八年级下吉林长春期末)如图，∠M0N<90°，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交射线 12/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OM于点A,交射线ON于点B,分别以A、B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点 C,连接AC、BC、OC、AB,则下列说法不正确的是() -N A.四边形OACB是平行四边形 B.四边形OACB是菱形 C.AB⊥OC D.OC=2AB 4.(25-26八年级下河北石家庄期末)如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线 AD-DC-CB的方向匀速运动，运动到点B停止.连接AP,BP.设点P的运动路程为x,△APB的面积 为y,y与x的函数图像如图2所示，那么下列说法正确的是() D 6 图1 图2 .5 A.a=2.4 B.当立时，点P一定运动到D的中点 C.b=5 D.菱形ABC 的面积是22 5.(25-26八年级下新疆克孜勒苏期末)如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转6O°得到BN,连接EN、AM、 CM,则下列四个结论中正确的有()· A O B 13/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值是1； ②△AMB≌△ENB: S四边形AMBE=S四边形ADCM ③ ④连接AN,则AN⊥BE: A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 6.(25-26八年级下·北京通州期末)如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交对角线BD于点E, 已知∠ABC=60°，则∠DEC= D 7.(2026海南模拟预测)如图，菱形ABCD边长为6cm,∠BAD=60°，将菱形ABCD沿CA方向平 移2v5c 得到菱形4B'CD,MD交CD于点E,则重叠部分的面积与菱形1BCD的面积之比为 D 8.(25-26八年级下黑龙江佳木斯期中)在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9,点P是菱形内一点， PB=PD=3 5,则4P的长为 9.(25-26八年级下·湖北襄阳·期末)如图1，点P从菱形ABCD的边AD上一点开始运动，沿直线运动到 菱形对角线的交点，再沿直线运动到点C停止，设点P的运动路程为x,点P到AB的距离为m,到CD的 14/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 距离为n且y-日（当点p与点C里合时，y=0>,点p运时)随，的变化关系如图2所不，则0 CD= 一，②菱形ABCD的面积为 D 2.5 6.5x B 图1 图2 10.(25-26八年级下·江西赣州期中)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠B=120°，线段EF(点E在 点F的左侧)在直线AC上移动，且EF=4,当△DEF为直角三角形时，DF的长为一 D 三、解答题 11.(25-26八年级下·上海松江·期末)如图，在平行四边形ABCD中，P是边BC上的一点（点P不与 B、C重合)，连接AP,交对角线BD于点E,连接CE,且AE=CE, D E B (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)连接AC,若AB=5,AC=6,设BP长度为x,△ABP的面积为y,求y关于x的函数表达式，并写出 函数的定义域. 12.(25-26八年级下·江西赣州期末)如图，菱形ABCD和BEFG中，点G在BC上，请仅用无刻度的直 尺分别按下列要求作图. 15/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B B (图1) (图2) (1)在图1中，作一条EG的平行线： (2)在图2中，过点G作一条EG的垂线. 13.(25-26八年级下·贵州铜仁期末)己知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4,N是BC上的一点， 将线段AN绕点A逆时针旋转120°，得到AM,连接MD. B 图1 图2 备用图 (1)如图1，∠BAD的度数为 -;线段BN与线段DM的数量关系为 (2)如图2，连接BM,BD,试探究线段BM,BD,BN的数量关系，并说明理由： (3)若点N是射线BC上的动点，且CN=1,求BM的长 14.(25-26八年级下湖北省直辖县级单位期末)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是对角线BD上一个 动点，连接AP,以AP为边向右侧作等边△APE. B B 图1 图2 (I)如图1，当点E在菱形ABCD内部时，连接CE交BD于点F. ①判断BP与CE的数量关系，并求∠BFC的度数：（温馨提示：若思考有困难，可尝试连接AC) ②若PF=4,EF=2,求FD的长： (2)如图2，当点E在菱形ABCD外部时，连接CE交BD于点F.若PF=1,EF=7,直接写出BD= 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26八年级下广西南宁·期末)综合与实践 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点A,大型钢架为菱 形ABCD,小型钢架为菱形AEFG,设计图纸规定两个菱形顶角∠BAD=∠EAG,BE、DG是钢架支撑杆. 施工时小型钢架AEFG锁死固定不动，大型钢架ABCD可绕支点A自由旋转调整摆放角度，工程人员需要 测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题. 图1 图2 【操作发现】 (I)如图1，调整大型钢架，使得大型钢架边AD与小型钢架边AE重合.请直接写出钢架支撑杆BE与DG 之间的数量关系。 【探究验证】 (2)按图2方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点D落在小型钢架的侧边EF上，请问(I)中的结论是否仍然 成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 【拓广探究】 (3)现场实测：图1摆放状态下∠ABE=45°，∠BAD=60°，大型钢架边长AB为6米. ①求小型菱形钢架AEFG的边长。 ②旋转调整大型钢架菱形ABCD,当A、B、F三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆CG, 请直接写出CG的长度. 17/17