专题30.1.1直线与圆相离、相切、相交 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“直线与圆相离、相切、相交”核心知识点，系统梳理相交（d<r，2公共点）、相切（d=r，1公共点）、相离（d>r，无公共点）的定义、d与r的双向等价关系及几何特征，辅以易错点解析和技巧总结作为学习支架。 该资料通过题型分层设计（例题+变式），结合易错点（如d为垂线段）和技巧（速记口诀、临界思想），培养学生几何直观与推理意识，课中助教师系统授课，课后学生可借变式题巩固，提升应用意识，有效查漏补缺。

专题30.1.1直线与圆相离、相切、相交 【新人教版】 【题型1 直线与圆的位置关系】...........................................................................................................................2 【题型2 已知直线与圆的位置关系求半径的取值】...........................................................................................5 【题型3 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】...............................................................................7 设圆半径为r，圆心到直线的距离为d 1.三种位置关系 · 相交：直线与圆有2个公共点 数量关系：d<r，直线叫做圆的割线。 · 相切：直线与圆有1个公共点 数量关系：d=r，直线叫做圆的切线，公共点叫切点。 · 相离：直线与圆没有公共点 数量关系：d>r。 2.双向等价 位置关系 d与r的大小关系，可以互相推导。 3.几何特征 相交：两点；相切：唯一切点；相离：无交点。 易错1：距离概念理解错误 d是圆心到直线的垂线段长度，不是圆心到直线上任意一点的距离。 易错2：语言描述出错 相切说成“有一个交点”，规范表述：有唯一公共点。 易错3：不会数形结合 只比较d、r，不会根据位置关系反推d、r取值范围。 易错4：动点题型漏多种情况 直线平移、旋转问题，没有分类讨论相交、相切、相离临界情况。 技巧1：速记口诀 d大r，两相离；d等r，切线依；d小r，两交点。 技巧2：判断位置关系标准步骤 · 作出圆心到直线的垂线段，求出距离d； · 将d与半径r比较大小； · 判定直线与圆位置关系。 技巧3：临界思想运用 相切是相交和相离的分界点，参数题目常以d=r作为临界值求参数。 技巧4：作图观察要点 判断相切时，必须保证圆心到直线垂线段长度等于半径。 题型一 直线与圆的位置关系 【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系的判定，根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断位置关系，当时直线与圆相离，时相切，时相交． 【详解】∵的半径，圆心到直线的距离，且，即， ∴与直线的位置关系是相离． 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径等于3，圆心到直线上一点的距离为9，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系判定定理．结合垂线段最短的性质，明确圆心到直线的距离与圆心到直线上一点距离的区别，进而分析直线与圆的位置关系． 【详解】解：设圆心到直线的距离为， ∵圆心到直线上一点的距离为9，根据垂线段最短的性质， ∴， 又∵的半径， ∴可能满足（此时直线与圆相离），或（此时直线与圆相切），或（此时直线与圆相交）， ∴直线与的位置关系以上都有可能． 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，已知的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是关键．直线与圆的位置关系的判断方法：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系的判断方法判断即可． 【详解】解：因为点O到一条直线的距离小于的半径， 所以该直线与相交， 由图可知只有直线与圆相交． 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 【答案】B 【分析】如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F，由勾股定理得，再根据直角三角形斜边上中线的性质得，即可判定A、B；根据等腰三角形三线合一的性质得，，则、是的中位线，，，即可判定C、D． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵中， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点在外，点在外， 故选项A正确；选项B错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴、是的中位线， ∴，， ∴与相切，与相交， 故选项C、D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，中位线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键． 题型二 已知直线与圆的位置关系求半径的取值 【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆相离的条件：圆心到直线的距离大于圆的半径． 根据直线与圆相离的条件，结合已知的圆心到直线的距离，确定半径的取值范围，再判断选项． 【详解】解：∵直线l与相离， ∴圆心到直线的距离半径， 已知， ∴． 观察选项中只有A．，满足条件． 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是求出点到的距离，并结合线段长度确定半径范围．先通过勾股定理求的长，再用面积法求点到的距离，结合直线与圆的位置关系及的长度，确定的取值范围． 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解． 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． 题型三 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 【例3】（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【变式3-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【答案】5 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 【变式3-3】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30.1.1直线与圆相离、相切、相交 【新人教版】 【题型1 直线与圆的位置关系】...........................................................................................................................2 【题型2 已知直线与圆的位置关系求半径的取值】...........................................................................................3 【题型3 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】...............................................................................3 设圆半径为r，圆心到直线的距离为d 1.三种位置关系 · 相交：直线与圆有2个公共点 数量关系：d<r，直线叫做圆的割线。 · 相切：直线与圆有1个公共点 数量关系：d=r，直线叫做圆的切线，公共点叫切点。 · 相离：直线与圆没有公共点 数量关系：d>r。 2.双向等价 位置关系 d与r的大小关系，可以互相推导。 3.几何特征 相交：两点；相切：唯一切点；相离：无交点。 易错1：距离概念理解错误 d是圆心到直线的垂线段长度，不是圆心到直线上任意一点的距离。 易错2：语言描述出错 相切说成“有一个交点”，规范表述：有唯一公共点。 易错3：不会数形结合 只比较d、r，不会根据位置关系反推d、r取值范围。 易错4：动点题型漏多种情况 直线平移、旋转问题，没有分类讨论相交、相切、相离临界情况。 技巧1：速记口诀 d大r，两相离；d等r，切线依；d小r，两交点。 技巧2：判断位置关系标准步骤 · 作出圆心到直线的垂线段，求出距离d； · 将d与半径r比较大小； · 判定直线与圆位置关系。 技巧3：临界思想运用 相切是相交和相离的分界点，参数题目常以d=r作为临界值求参数。 技巧4：作图观察要点 判断相切时，必须保证圆心到直线垂线段长度等于半径。 题型一 直线与圆的位置关系 【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径等于3，圆心到直线上一点的距离为9，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【变式1-2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，已知的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 题型二 已知直线与圆的位置关系求半径的取值 【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 题型三 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 【例3】（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【变式3-3】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $