29.3 弧长和扇形面积 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦弧长、扇形面积及圆锥侧面积和全面积的公式推导与应用。课堂导入从弯形管道展直长度、蒙古包构造等生活实例切入，通过复习圆周长、圆柱侧面积等旧知，搭建类比推导新知的学习支架。 该资料以实际问题驱动学习，如计算管道展直长度、蒙古包毛毡用料，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过类比推导公式、动手展开圆锥侧面等活动发展推理能力，结合实例应用强化模型意识，助力学生提升知识应用能力，为教师提供结构化教学流程与实践案例。

29.3 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 课题 弧长和扇形面积 课型 新授课 教学内容 教学目标 1．掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算． 2．通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生分析问题、解决问题的能力． 教学重难点 教学重点：弧长,扇形面积公式的导出及应用。 教学难点：对图形的分析和对公式的运用。 教具学具 多媒体课件、圆形纸片、直尺、圆规、量角器 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，复习引入 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图中虚线的长度），再下料，这就涉及到计算弧长的问题． 教师提出问题后，学生认真思考，说明解题的关键是求中心线“展直长度”，但如何求呢？从而引出今天的课题：弧长和扇形面积． 2.探究互动，获得新知 【思考1】我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角呢？ 设：圆的半径为，求的圆心角所对的弧长. 教师引导学生由圆周长入手，推导弧长公式． 教师提出问题后，学生认真思考，由中等学生回答：圆周长为，可看作是360°的圆心角所对的弧长；1°的圆心角所对的弧长为；圆心角为n°的弧长是圆心角为1°的弧长的n倍；∴的圆心角所对的弧长为. ∴弧长公式为： 注：不写度，和180表示的是倍、分关系. 教师关注学生对公式的理解程度. 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形，可以发现，扇形的面积除了与圆 的半径有关，还与组成扇形的圆心角的大小有关，在同圆或等圆中，圆心角越大，扇形面积也就越大. 【思考2】由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分，想一想，如何计 算圆的面积？圆面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？的圆心角呢？ 设：已知⊙O半径为，求的圆心角所对的扇形面积. 教师引导学生类比弧长公式的推导过程，推导出扇形面积公式： （1）圆面积S=πR2，可以看作是360°的圆心角所对的扇形面积；（2）圆心角为1°的扇形的面积=． （3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍； ∴扇形面积公式为. 【师】比较扇形面积公式和弧长公式，看看它们之间有什么关系？经过观察，学生能够看出： ，其中，是扇形的弧长，为半径． 3. 学以致用，应用新知 【例1】制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图中虚线的长度），再下料，试计算图所示的管道的展直长度L.(结果取整数) 解：由弧长公式，得的长： . 因此所要求的展直长度 2×700+1 570=2 970（mm）. ∴所要求的展直长度约为2 970mm. 【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位） 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D， 交于点C，连接AC. ∵OD=OC-DC，OC=0.6,DC=0.3,∴OD=0.3. ∴OD=DC. 又AD⊥OC, ∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 则有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OAB= 4.随堂训练，巩固新知 （1）在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm. 答案：π （2）如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧的长为________cm. 答案：2π （3）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________．(结果保留π) （4）如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　　) A．πcm2 B.πcm2 C.cm2 D.cm2 答案：C （5）如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则圆中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为 （结果保留π）. 答案：2π 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）弧长和扇形面积公式是什么？你是如何得到这两个公式的？如何运用？ （3）弧长与圆周长，扇形面积与圆面积之间有什么联系？ 6.布置作业 教材P136练习第1-3题. 由实际问题引出课题，可激发学生的学习兴趣. 教师根据学生已有的知识结构，强调弧、扇形的有关概念。 在教师的引导下，推出弧长公式，使学生明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，更要学会学习新知识的方法。 类比的推出扇形面积公式，并由学生比较两个公式的联系，使学生在学习知识时，明确知识之间的联系，在解题时，根据题目条件，选择适当的公式。 数学知识来源于生活实际，又用来解决实际中的问题，强化数学的应用意识。 教师出示例题后，引导学生分析已知条件，教师要关注学生对题目中的有关概念是否清楚，如水面高指的是什么？ 教师关注学生对题目的理解，师生共同分析题目条件后，由学生独立写出解题过程，用实物投影展示学生的解题过程，再由学生对解题过程给予评价． 学生在学习新知识的同时要想到学过的知识，在这里就运用了垂径定理． 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝，要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义。 公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S＝lr，其中l是弧长，r是半径． 求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 弧长和扇形面积 提纲挈领，重点突出 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 课题 圆锥的侧面积和全面积 课型 新授课 教学内容 教学目标 1.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题． 2.通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题． 教学重难点 教学重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式。 教学难点：探索两个公式的由来。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【观察思考】 【问题】观察下面的物体，你能抽象出什么相同的几何图形？ 预设答案：圆锥. 【追问】你知道如何求圆锥的侧面积和全面积吗？ 【复习回顾】 如图，底面半径为r、母线(上下底面圆周上对应两点的连线)为l的圆柱，它的侧面展开图是什么？ 预设答案：将侧面沿母线剪开并展开，侧面由曲面变成了平面，侧面展开图是长方形. 【问题】这个侧面展开图的面积计算公式是什么呢？ 预设答案：长方形的长是底面圆的周长2πr，长方形的宽是圆柱的母线长l，所以，侧面展开图的面积为2πrl. 【追问】能否类比这种方法求圆锥的侧面积？ 2.类比探究，学习新知 【思考】 【师生活动】教师先带领学生熟悉圆锥的结构和圆锥中的元素，然后类比圆柱的侧面的展开方法，将圆锥的侧面展开，化曲面为平面. 【问题1】观察圆锥，你能说出它是由哪些面围成的几何体吗？ 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 底面是一个圆，侧面是一个曲面. 【追问1】圆锥中常见的元素有哪些？ 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线.圆锥的母线有无数条. 连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫作圆锥的高. 【追问2】圆锥的母线、高、半径三者之间有什么关系？ h2+r2=l2 【问题2】如图，底面半径为r、母线为l的圆锥，它的侧面展开图又是什么？ 预设答案：将曲面变成平面，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平, 圆锥的侧面展开图是扇形. 【追问】这个侧面展开图的面积计算公式是什么呢？ 预设答案：求出扇形的面积即可. 回顾扇形的面积公式： S扇形= 注：C1是扇形的弧长，R是扇形的半径. 【师生活动】先让学生自己动手操作，将扇形纸片折成圆锥再展开，然后提出下面的问题让学生抢答. 【抢答】 (1)展开的扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？ (2)展开的扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？ 预设答案：(1)母线长；(2)相等. 【问题3】如何计算圆锥的侧面积？ 圆锥的侧面积=扇形的面积. 圆锥的侧面积=扇形的面积== 【问题4】如何计算圆锥的全面积呢？ 圆锥的全面积=侧面积+底面积 =+ 说明：r是底面圆的半径，l是圆锥的母线长. 3.学以致用，应用新知 【例】蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡塔建20个底面积为12m2 ,高为3.2m,外围高为1.8m的蒙古包,至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142,结果取整数)？ 解：如图是蒙古包的示意图．根据题意，下面圆柱的底面积为 12 m2， 高为h2 = 1.8 m；上面圆锥的高为h1 = 3.2－1.8 = 1.4(m). 圆柱的底面圆半径为 侧面积为 2π×1.954×1.8 ≈ 22.10 (m2)， 圆锥的母线长为 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为 因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要的毛毡 20×(22.10 + 14.76) ≈ 738 (m2). 4.随堂训练，巩固新知 （1）已知一个圆锥的底面半径为12 cm，母线长为20 cm，则这个圆锥的侧面积为_______，全面积为__________. 答案： 240π cm2；384π cm2. （2）若圆锥的底面半径r=4 cm，高线h=3 cm，则它的侧面展开图中扇形的圆心角是 度. 答案：288 （3）如图，把圆锥的侧面展开得到扇形，其半径OA=3，圆心角∠AOB=120°，求的长. 解：根据弧长计算方法，可得， 的长为 （4）童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的母线长为15 cm，底面半径为5 cm，生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方厘米的材料吗（不计接缝用料和余料，π取3.14）？ 解：根据题意，圆锥形帽身的母线长为15 cm，底面半径为5 cm，则其侧面积为 π515=235.5(cm2). 因此，生产这种帽身10 000个至少需材料 235.5 10 000=2 355 000 (cm2). （5）如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80 cm，母线为50 cm.在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积. 解：烟囱帽的侧面展开图是扇形， 如图，设该扇形的面积为S. 在铁皮上画一个扇形，除需知道扇形半径l外，还需知道扇形圆心角α.由弧长计算方法，可得 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）圆锥的侧面积和全面积公式是什么？你是如何得到这两个公式的？如何运用？ 6.布置作业 教材P138练习第1-2题，P138习题29.3第7-8题. 通过熟悉的生活中实物图片引入，提高学生的学习兴趣，并让学生感受数学与实际生活的联系.并通过追问引出本节课要学习的内容. 通过回顾圆柱的侧面积的计算方法，渗透化曲面为平面的思想，为后面推导圆锥的侧面积计算公式作准备. 通过观察让学生熟悉圆锥的结构和相关元素，培养学生的观察、分析能力. 通过分析得出圆锥的母线、高、半径三者之间的关系，为后面解题作准备，同时进一步培养学生的观察能力和抽象概括能力. 类比圆柱的侧面积的推导方法，将圆锥的侧面展开，培养学生获取新知的能力，并进一步渗透化曲面为平面的思想. 先让学生明白圆锥侧面展开图的面积就是展开的扇形的面积，再通过回顾扇形的面积公式，引导学生关注扇形中各元素与圆锥中各元素之间的关系. 通过动手操作培养学生的操作实践能力，并让学生熟悉展开的扇形中的弧长和半径与圆锥中元素的关系，为后面推导出圆锥的侧面积公式作铺垫，通过抢答提高学生学习的积极性. 将圆锥的侧面积转化为已学的扇形的面积，让学生掌握解决问题的策略.并引导学生推导出圆锥的侧面积公式和全面积公式，培养学生分析问题和解决问题的能力. 让学生在探究过程中进一步加深对圆锥侧面积公式的理解，培养学生的应用意识. 还通过画图让学生掌握侧面展开后的图形中圆心角的计算，让学生全面领会圆锥中有关元素间的关系. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 圆锥的侧面积和全面积 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $