2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（九大重点题型）专项训练-2026-2027学年高一数学上学期重点•题型讲义（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的核心关联，系统梳理从概念辨析到含参数问题、根的分布、恒成立及实际应用的知识脉络，作为函数与方程思想的学习支架，承接二次函数图像与性质，为后续不等式综合应用奠定基础。 该资料按9类重难点题型分层设计，题目选自各地阶段检测与模拟题，典型性强。通过参数讨论培养数学思维（如推理能力分析取值范围），结合实际应用强化数学语言（如用不等式模型解决销售问题），课中辅助教师精准教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 目录●重难点题型分布 重难点题型1 一元二次不等式的概念及辨析 1．（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】不等式，即，解得或. 因此不等式的解集是或. 2．（25-26高二下·江苏徐州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】原不等式等价于. 解得或， 即原不等式的解集为. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由，得．又，所以． 由，得，所以． 因此．所以的元素个数为2． 4．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【详解】因为，故. 5．（2026·陕西咸阳·二模）使得式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】考查二次根式有意义的条件 ，要使二次根式有意义，即，然后求解这个不等式即可得到的取值范围. 【详解】，即，解得. 6．（2026·天津静海·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【详解】由题可得，解得或，即， 所以. 7．（26-27高一·全国·暑假作业）不等式的解集为____________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】已知，方程 的两个根为7和， 所以不等式的解集为． 8．（24-25高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________. 【答案】 【难度】0.96 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】对原不等式 两边同时乘以 ，不等号方向改变，得到 . 因式分解得，因此原不等式等价于 . 令 ，解得两根为 和 . 由于二次函数 的二次项系数为正，图象开口向上，    因此 解集为. 9．不等式的解集为__________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】由，得：， 解得：. 故答案为： 10．（25-26高一上·海南儋州·期中）不等式的解集为______. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】直接利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为即，所以或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 重难点题型2 含有参数的一元二次不等式 1．（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 2．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解含有参数的一元二次不等式 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 3．（2027高三·全国·专题练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，然后对于二次项系数不为零的情况，利用二次函数图象开口向上且与横轴无交点得出判别式小于零，再结合二次项系数大于零的条件解出参数范围． 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为在上恒成立， 所以 解得．综上， 故选：C． 4．（25-26高一上·江苏南通·期末）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】先根据已知不等式的解集得到的符号及关系，再根据一元二次不等式求解方法解不等式. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且，所以. 所以不等式可化为， 所以或. 所以不等式的解集为. 故选：A 5．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】对进行分类讨论即可求解 【详解】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A 6．（25-26高二下·河南·阶段检测）命题“，”是假命题，求实数的取值范围_______________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据全称命题的真假求参数 【分析】利用二次函数性质结合判别式求解 【详解】由题意，命题“，”是假命题，可得二次函数与轴有交点， 又由二次函数性质，可得，即，解得或， 即实数的取值范围为 7．（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以有， 所以，或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 8．（25-26高二下·广西柳州·期中）关于的不等式的解集是，则实数__________. 【答案】1 【难度】0.82 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系结合韦达定理即可求解． 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以是方程的两个根，且， 所以，解得， 所以． 9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）若关于的不等式的解集为，则实数_________． 【答案】 【难度】0.86 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【详解】由题意知和6是方程的两个实数根， 所以，所以． 重难点题型3 一元二次方程根的分布问题 1．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】判断命题的必要不充分条件、一元二次方程根的分布问题 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 3．（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据得到不等式，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有实根， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：B 4．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 5．（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 6．（25-26高一上·山东济南·开学考试）方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题、解不含参数的一元二次不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】先根据韦达定理以及二次方程判别式求出充要条件，再结合选项逐一判断. 【详解】若方程有一个正根和一个负根， 则，，，得， 则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误； 是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误； 是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确； 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误. 故选：C 7．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若集合的元素个数为2，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】令，根据题意结合函数的图象即可求解. 【详解】令， 因为集合的元素个数为2， 则，即函数的图象开口向上， 又，， 则， 所以，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：.    8．（26-27高一·全国·暑假作业）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 9．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【难度】0.6 【知识点】一元二次方程根的分布问题、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 10．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 11．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、一元二次方程根的分布问题 【分析】若一元二次方程有两个正实根，则需满足，直接列不等式求解即可. 【详解】因为方程有两个正实根 ， 所以 ，解得 ； 实数的取值范围为. 故答案为：. 重难点题型4 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.81 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得. 【详解】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 3．（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、由一元二次不等式的解确定参数、二次函数的图象分析与判断 【分析】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 4．方程的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】讨论、分别求出对应的解，即可得. 【详解】当时，，可得， 当时，，可得， 所以方程的解集为. 故选：C 5．一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 6．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A 7．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为___． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据三个二次之间的关系，可得，的解及a的符号，根据韦达定理可得出参数的关系，代入解不等式即可. 【详解】由已知得，和2是的两个解，且a<0.则由韦达定理知，    解得， 则可化为 ∵a<0   ∴不等式化为 解得，或 所以，不等式的解集为 故答案为：. 8．已知，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据不等式分类讨论分析可知：为的零点，运算整理结合基本不等式求解. 【详解】∵则有：当时，则，当时，则 ∴当时，则，当时，则 即为的零点 ∴，则 ∴，当且仅当即时等号成立 故答案为：. 9．若关于x的不等式的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、一元二次方程根的分布问题 【解析】由关于x的不等式的解集中只有一个整数1，可得，得到关于a的不等式组，求出解即可. 【详解】令，由题意可得，即，解得． 故答案为： 重难点题型5 在实数集上的恒成立问题 1．（2026高二下·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据全称命题的真假求参数 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 3．（25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【难度】0.79 【知识点】已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、具体函数的定义域 【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解. 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 4．（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】∵不存在，使得不等式成立， ∴对任意，不等式恒成立， ∴方程对应的，解得． 5．（25-26高一下·上海宝山·期末）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 7．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意，分、两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解. 【详解】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 8．（25-26高一上·山东德州·期末）若“，”是真命题，则的取值范围是__________ 【答案】 【难度】0.7 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据全称命题的真假求参数 【详解】当时，恒成立， 或当，得， 综上，的取值范围是. 重难点题型6 在某区间上的恒成立问题 1．（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 2．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 3．（25-26高一上·江西新余·期末）使得，为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、判断命题的必要不充分条件 【分析】先研究真命题的充要条件，再分析必要条件就是满足真包含的集合即可. 【详解】若，为真命题，则时，， 而，故当时，取到最大值6，故， 因此是所求必要不充分条件的范围的真子集， 故选项中只有满足条件， 故选：C 4．（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 5．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】结合题意利用主元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 故选：C 6．（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 7．（2026高三·全国·专题练习）若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】解法一：多点控制，先利用区间端点 代入不等式，得到关于 的约束条件，再通过三角不等式进行放缩，直接求出 的下界； 解法二：数形结合，利用将不等式 转化为两个函数图像的位置关系，即 的图像始终在 的图像下方解答即可； 解法三：平口单峰，利用将原不等式变形为 ，问题转化为求函数 在区间 上的最大值的最小值即可. 【详解】解法一：多点控制：由题意知当，代入得： 则， 所以，即， 结合，所以， 所以，即， 当且仅当时取等号，故 的最小值为 . 解法二：数形结合：当 时，函数 关于 轴对称， 原不等式等价于 的图像始终在 的图像下方， 画出及的图象， 可得右端点值，顶点值（函数图象在处交点），即． 解法三：平口单峰：由题意得对任意的恒成立， 根据平口单峰函数可得，令，易得，所以， 所以函数 在区间 上的最大值为 ，这就是满足条件的最小 ， 所以 . 8．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）写出满足条件，恒成立的一个实数a的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】对于恒成立，即在上恒成立， 设，可得函数在为单调递减函数， 所以，所以，即实数的取值范围为，可取. 故答案为：（答案不唯一）. 9．（25-26高一上·山东日照·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据全称命题的真假求参数 【分析】利用分离变量先求出该命题为真命题的时候的范围，再求其补集即可. 【详解】若“”为真命题，则， 当时，，所以此时， 所以若“”为假命题，则. 故答案为： 10．（25-26高一上·广东·期末）已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 __． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】分类讨论和两种情况下的范围，最后取交集. 【详解】当时，原式即为，恒成立. 当时，由可得恒成立，即. 而，当且仅当即时取等号，所以． 综上所述， 故答案为：． 重难点题型7 在某区间上的有解问题 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 2．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】把问题转化成“小于或等于的最大值”，再利用配方法求最大值即可. 【详解】因为， 所以， 要存在，使得不等式成立，则小于或等于的最大值， 因为，当时，取“”， 所以， 故选：C. 3．（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 6．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 7．（25-26高一上·湖北十堰·期中），使成立，求m的取值范围______； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为，使成立， 所以，解得得或． 故答案为： 8．（25-26高一上·河北保定·期中）若存在，，则实数的最大值为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可. 【详解】原不等式化为 存在 只需， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为 重难点题型8 实际应用 1．（25-26高一上·江苏·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题意，然后通过计算及，即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 2．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题意得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 4．（24-25高一上·广东肇庆·阶段检测）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】设这批削笔器的销售价格定为元/个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解. 【详解】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B 5．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式的实际应用、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 6．（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液； 故答案为: 7．（24-25高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.78 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、一元二次不等式的实际应用 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 8．（25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用、一元二次不等式的实际应用 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 重难点题型9 综合应用 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.41 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程根的分布问题 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 2．（25-26高一上·河南新乡·期末）已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】一元二次方程根的分布问题、由一元二次不等式的解确定参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】将整理成，设，由中恰有三个正整数得到有两个不同的解，故解得的范围，求出的两个根为，由得到，此不等式的解集为，由中恰有三个正整数得到，从而得到，经过计算得到实数的取值范围是. 【详解】， ， ， ， 设， 中恰有三个正整数， 有两个不同的解， ，， 的两个根为， ，， 转化为， 的解集为， 中恰有三个正整数，故， ， ， ，，， ，， ，，， ，，， 综上可知，， 实数的取值范围是. 故选：B. 3．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 【答案】4 【难度】0.32 【知识点】函数不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】由题设可得，随后讨论的取值可得，，最后由基本不等式可得答案. 【详解】由得， 故当时，， 当时，，故， 故当时，， 即，故， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 4．（25-26高一上·广东中山·期末）当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】先分和进行讨论，当时根据不等式讨论分析可知：为的零点，可得，结合基本不等式求解. 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 目录●重难点题型分布 重难点题型1 一元二次不等式的概念及辨析 1．（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 2．（25-26高二下·江苏徐州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西咸阳·二模）使得式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·天津静海·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一·全国·暑假作业）不等式的解集为____________． 8．（24-25高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________. 9．不等式的解集为__________. 10．（25-26高一上·海南儋州·期中）不等式的解集为______. 重难点题型2 含有参数的一元二次不等式 1．（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2027高三·全国·专题练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏南通·期末）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 6．（25-26高二下·河南·阶段检测）命题“，”是假命题，求实数的取值范围_______________． 7．（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 8．（25-26高二下·广西柳州·期中）关于的不等式的解集是，则实数__________. 9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）若关于的不等式的解集为，则实数_________． 重难点题型3 一元二次方程根的分布问题 1．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东济南·开学考试）方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若集合的元素个数为2，则实数的取值范围为__________. 8．（26-27高一·全国·暑假作业）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 9．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 10．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 11．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 重难点题型4 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 3．（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 4．方程的解集是（   ） A． B． C． D． 5．一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 6．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   7．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为___． 8．已知，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为________ 9．若关于x的不等式的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a的取值范围为________． 重难点题型5 在实数集上的恒成立问题 1．（2026高二下·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 2．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·上海宝山·期末）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 7．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 8．（25-26高一上·山东德州·期末）若“，”是真命题，则的取值范围是__________ 重难点题型6 在某区间上的恒成立问题 1．（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西新余·期末）使得，为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 7．（2026高三·全国·专题练习）若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． 8．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）写出满足条件，恒成立的一个实数a的值为________． 9．（25-26高一上·山东日照·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围是__________. 10．（25-26高一上·广东·期末）已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 __． 重难点题型7 在某区间上的有解问题 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 6．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 7．（25-26高一上·湖北十堰·期中），使成立，求m的取值范围______； 8．（25-26高一上·河北保定·期中）若存在，，则实数的最大值为___________． 重难点题型8 实际应用 1．（25-26高一上·江苏·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 4．（24-25高一上·广东肇庆·阶段检测）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 6．（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 7．（24-25高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 8．（25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 重难点题型9 综合应用 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2．（25-26高一上·河南新乡·期末）已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 4．（25-26高一上·广东中山·期末）当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $