29.2.1垂直于弦的直径教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“垂直于弦的直径”核心知识点，以赵州桥历史情境导入引发问题，通过折叠圆形纸片探究圆的对称性，进而推导垂径定理，搭建从动手操作到理论归纳的学习支架。 特色在于融合数学眼光、思维与语言，折叠实验培养几何直观（数学眼光），定理推导引导归纳“知二得三”逻辑（数学思维），赵州桥半径计算等实例构建模型解决问题（数学语言）。助力学生提升探究能力与应用意识，为教师提供结构化教学流程与实用例题。

29.2.1　垂直于弦的直径 　　　　　　　　　　　　　　　 课题 29.2.1　垂直于弦的直径 授课人 教 学 目 标 　　1.探索圆的对称性,进而得到垂直于弦的直径所具有的性质. 2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关的实际问题. 3.在探索问题的过程中培养学生动手操作的能力,使学生感受圆的对称性,体会圆的性质,经历探索圆的对称性及相关性质的过程. 4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法,培养学生独立探索、相互合作交流的能力. 5.使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神. 教学 重点 　　垂直于弦的直径所具有的性质以及证明. 教学 难点 　　利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥,距今已有1400余年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,跨度为37 m,拱高为7.23 m,怎样才能求出它的主桥拱的半径长呢? 师生活动:学生动脑思考问题,解答受阻,教师引入课题. 　　 　　从历史古迹引入本课,能较好地激起学生的学习兴趣,建议使用时多搜集一些关于赵州桥的历史、图片等信息. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 圆的特性 剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,你发现了什么?重复做几次,由此你能得到圆具有怎样的对称性?能证明你的结论吗? 师生活动:学生动手操作,教师观察操作结果,在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和衔接性. 结论:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 【探究2】 垂径定理及其推论 图29-2-16 从上面的动手操作可知,如图29-2-16,如果☉O的直径AB垂直于弦MM',垂足为N,那么M和M'是关于直径AB的对称点.把圆沿着直径AB对折时,点M与点M'重合,你能找出图中有哪些相等的线段和弧吗?请说明理由. 师生活动:学生进行观察、分析,通过合情推理总结结论,教师指导学生分析题目中的条件和结论.教师用多媒体演示,学生尝试归纳垂径定理后,教师补充、完善,最后用几何语言进行描述. 　　1.在探索问题的过程中培养学生动手操作的能力,使学生感受圆的对称性,掌握证明轴对称图形的方法. 活动 二: 探究 与 应用 　　教师板书: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 几何语言:∵AB⊥MM',AB是☉O的直径, ∴MN=M'N,,. 教师针对图形,提出问题1:垂径定理是由几个条件得到几个结论? 师生分析得:是由①直径;②垂直于弦两个条件得到①平分弦;②平分优弧;③平分劣弧三个结论. 问题2:把垂径定理中的“垂直”和“平分”互换,是否仍然成立呢? 学生讨论、交流,并用语言进行总结,教师引导、点拨,得到结论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 教师做出总结: 垂径定理的本质是: 知二得三 练一练:下列命题中,正确的是 (C) A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B.过弦中点的直线必过圆心 C.弦所对的两弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心 D.弦的垂线平分弦所对的弧 　　2.探究垂直于弦的直径的性质,培养学生的思维能力和语言表达能力. 【理解应用】 例1　赵州桥(图29-2-17)是我国隋代建造的石拱桥,距今已有1400余年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位). 　图29-2-17　　　　　　图29-2-18 解:如图29-2-18,表示主桥拱,设所在圆的圆心为O,半径长为R m.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与相交于点C,连接OA.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高. 由题设可知AB=37,CD=7.23, ∴AD=AB=×37=18.5,OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2. 解得R≈27.3. 因此,赵州桥的主桥拱半径长约为27.3 m. 　　学习作辅助线的方法,强调弦心距在垂径定理中的应用,体会用半径、圆心到弦的垂线段、二分之一弦构造直角三角形的重要作用. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　已知☉O的半径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是　2或14　cm.  师生活动:学生思考,小组讨论,教师作适当引导,使学生能运用转化思想、分类讨论思想解决问题. 例3　如图29-2-19,有一圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为7.2 m,拱顶C高出水面2.4 m,现有一竹排运送一货箱从桥下经过,已知货箱长10 m,宽3 m,高2 m(竹排与水面持平).问:该货箱能否顺利通过该桥? 　　 图29-2-19 [答案:能顺利通过] 　　体会转化思想,化未知为已知,从而解决问题,同时把握一类题的解题方法. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【当堂训练】 1.如图29-2-20,AB是☉O的直径,CD为弦,CD⊥AB于点E,则下列结论中不一定成立的是 (C) 图29-2-20 A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=AE D. 2.如图29-2-21,AB是☉O的弦,AB的长为8,P是☉O上的一个动点(不与点A,B重合),过点O作OC⊥AP于点C,OD⊥PB于点D,则CD的长为　4　.  图29-2-21 3.已知P为☉O内的一点,OP=3 cm,☉O的半径为5 cm,则经过点P的最短弦长为　8 cm　,最长弦长为　10 cm　.  　图29-2-22 4.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口,假设钢珠的直径是10 mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm,如图29-2-22所示,则这个小孔的宽口AB的长度为　8　mm.  　　当堂训练是为了加深对所学知识的理解运用,在问题的选择上以基础为主,疑难点突出,增加探究型问题,使学生思维得到拓展,能力得以提升. 活动 三: 课堂 总结 反思 5.已知:如图29-2-23,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.你认为AC和BD有什么关系?为什么? 图29-2-23 解:AC=BD. 理由:如图29-2-24,过点O作OE⊥AB,垂足为E,则AE=BE,CE=DE, ∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD. 图29-2-24 师生活动:学生进行当堂训练,完成后,教师进行个别提问,并指导学生解释做题理由和做题方法,使学生在思考解答的基础上,共同交流,形成共识,确定答案. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境环节中,通过比较熟悉的赵州桥问题进行引入,提高学生的积极性,通过折叠圆培养学生动手操作的能力,通过讨论让学生相互交流,培养学生独立思考问题的能力. ②[讲授效果反思] 教师强调以下几点:(1)垂径定理中辅助线的作法;(2)垂径定理推论中的特殊情况,弦不能是直径;(3)常用的计算公式. ③[师生互动反思] 从课堂表现来看,学生能够深入课堂,通过动手、动脑、交流、讨论等活动,善于发言、总结,课堂上表现出严谨、认真的学习状态. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $