29.2.2 弧、弦、圆心角 《知识解读·题型专练》2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“弧、弦、圆心角”核心知识点，系统梳理同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系定理及推论，明确“知一推二”逻辑，衔接圆心角与弧度数相等的性质，构建从概念到应用的学习支架。 资料以题型分类（判断正误、求长度、角度、弧度、证明）为主线，例题与变式结合，通过图形分析培养几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），随堂检测助力课后查漏补缺，提升教学效率与学生知识掌握度。

29.2.2弧、弦、圆心角（知识解读) 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误】 .2 【题型2由圆心角、弧、弦之间的关系求长度】 .3 【题型3由圆心角、弧、弦之间的关系求角度】 .4 【题型4由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度】 ...5 【题型5由圆心角、弧、弦之间的关系证明】 .6 知识点1弧、弦、圆心角 1.圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. ②AB=CD 如图，①∠AOB=与 COD L③AB=CD 推论：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. ①∠AOB= 如上图， ②÷ AB=CD L③AB=CD (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. ①∠AOB= 如上图，③AB= .⌒⌒n CD ②AB=CD和ADB=CBD 1/11 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”· 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 【题型1由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误】 【例1】如图，在⊙O中，AC=BC,D、E分别是半径OA与OB的中点，连接OC,AC, BC,CD,CE,则下列结论不一定成立的是() A.AC=BC B.CD=CE C.∠AOC=∠COBD.CD⊥OA 【变式1-1】如图，点A,B,C,D在⊙O上，若AB=CD,则下列结论错误的是() D ○ B A.AB=CD B.AC=BD C.AD=BD D.∠ADC=∠BAD 【变式1-2】如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，连接OA,OB,OC,OD,过点O分别作OE⊥AB于 点E,OF⊥CD于点F.若AB=CD,则下列结论错误的是() A.AB=CD B.OE=OF C.∠AOB=∠CODD.AC=BC 【变式1-3】如图，在⊙O中，DB=CA,下列结论不正确的是() 2/11 A.AB=CD B.∠BOC=∠AOCC.AB=CD D.SAAOB=SACOD 【题型2由圆心角、孤、弦之间的关系求长度】 【例2】如图，AB是⊙O直径，C,D是OO上的点，CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,OF=3,则 AD的长为() E B A.3 B.4 C.5 D.6 【变式21】如图，AB为⊙O的直径，AB=4,CD=2V2,劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的 长为() C 0 D A.3V2 B.2V2 C.3 D.23 【变式2-2】如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形.若∠DAC=∠ABC,AC=4,则 ⊙O的直径AD的长为()· 3/11 0 B A.4V2 B.4V3 C.6 D.7 【变式2-3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E,C是AF的中点，连接AF.若 ⊙O的半径为10，且AF=16,则AE的长为() B D A.3 B.4 C.5 D.6 【题型3由圆心角、孤、弦之间的关系求角度】 【例3】如图，将一个圆分成4个扇形，已知扇形AOB、AOD、BOD的圆心角的度数之比为2：3：4， OC为∠BOD的角平分线，圆心角∠BOC的度数为() A C A.40° B.60° c.80° D.120° 【变式3-1】如图，BC是⊙O的直径，若弧AC所对的圆心角的度数是50°，则∠ACB的度数是() 4/11 B A.25° B.40° C.65° D.130° 【变式3-2】如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB,D为圆周上一点，若BC的度数为60°，则∠ADC 的度数为() A.20° B.25° C.30° D.50° 【变式33】如图，在⊙O中，直径AB⊥CD,∠C=65°，则∠D的度数为() A.25 B.40° c.50° D.55 【题型4由圆心角、孤、弦之间的关系求孤度】 【例4】如图，AB是半圆的直径，点C在半圆上，若∠BAC=40°，则AC的度数是（) A.40° B.80° c.100° D.140° 【变式4-1】如图，在扇形OAB中，点C在AB上，连接OC,AC,BC,∠ACB=132°.若 ∠BOC=2∠AOC,则AC的度数为() 5/11 A.16° B.24° C.32 D.36° 【变式4-2】如图，⊙O经过五边形DABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°， 则BC的度数为() B A.45° B.40° C.35° D.30° 【变式4-3】如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，将AC沿AC翻折与AB交于点D.若OA=3Cm,BC 的度数为30°，则AD=() D C B A.100 B.120 C.60 D.30 【题型5由圆心角、弧、弦之间的关系证明】 【例5】如图，在⊙O中，C为AB的中点，CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E, C B (1)求证：CD=CE. 6/11 (2)若∠AOB=120°，OA=6,求四边形DOEC的面积. 【变式5-1】如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AB=6,AC=2,∠ACB的平分线交⊙O于点 D. C B (1)若∠CAB=55°，求∠ADC的度数： (2)求四边形ACBD的面积. 【变式5-2】如图，AB为⊙O的直径，C,D为圆上的两点，OCBD,OC交AD于点E. D (1)求证：∠AOC=∠COD: (2)若AD=16,CE=4,求⊙O的半径. 【变式53】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E,C是AF的中点，连接AF, 7/11 E B D (1)求证：AF=CD (2)若AE=2,AF=8,求⊙O的半径. 随堂检测 【随堂检测】 1.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点，若CD=BD,∠AOC=120°，则∠BOD的度数为 () O B 0 A.20° B.30° C.45o D.60° 2.图中∠AOB是圆心角的是() B. 8/11 A B 0 D. A 3.如图，在⊙O中，点A是BC的中点，∠AOB=50°，则∠OBC的度数为(). B A.25° B.30 C.35 D.40° 4.如图，AB是⊙O的直径，AC=CD=DE,∠BOE=75°，则∠AOC的度数是() o E A.40° B.35° C.30° D.25° 5.如图，AB是⊙O的直径，BC=BD,若∠AOC=130°，则∠BOD的大小为() D A.130° B.80° C.65° D.50° 6.如图，AB,BC是⊙O的弦，连接OA,OB,OC,若∠AOB=∠BOC,则弦AB,BC之间的数量关 系为() 9/11 A.AB=2BC B.ABC C.AB=BC D.AB=号BC 7.如图，AB是⊙O的直径，AC=CD=DE,若∠BEO=52.5°，则∠AOC的度数为 8.如图，点B是AC的中点，若∠AOB=60°，则∠ABC的度数是 B A 9.如图，点A,B分别为半圆O上的三等分点，如果⊙O的半径为8Cm,那么弦AB= cm. A B 10.如图，在⊙O中，AB=CD,则下列结论中：①AB=CD;②AC=BD:③∠AOC=∠BOD:④AC=BD 正确的是填序号. B D 1.如图，AB是直径，BC=CD=DE'∠BOC=40.求∠AOE的大小， 10/11 D E B 12.如图，已知D,E分别为半径OA,OB的中点，C为AB的中点. D (1)求证：CD=CE; (2)若∠AOB=120°，OA=6,求△OAC面积. 11/11 29.2.2 弧、弦、圆心角（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误】 2 【题型2 由圆心角、弧、弦之间的关系求长度】 5 【题型3 由圆心角、弧、弦之间的关系求角度】 9 【题型4 由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度】 12 【题型5 由圆心角、弧、弦之间的关系证明】 15 知识点1 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，①= ⇒ ② ③ABCD 推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 如上图，② ⇒ ①= ③ABCD （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 2. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 【题型1 由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误】 【例1】如图，在中，，D、E分别是半径与的中点，连接，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，根据弧、弦、圆心角的关系可判断A选项，证明可判断B、C选项，根据已知条件，不能证明，可判断D选项． 【详解】解：在中，， ，故A选项不符合题意； 在与中，， ， ，，故C选项不符合题意； D、E分别是半径的中点, ， 在与中， ， ， ，，故B选项不符合题意； 和不一定相等， 和不一定垂直，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解决本题的关键． 【变式1-1】如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角、圆周角的关系，掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题关键． 根据弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，，该选项正确，但不符合题意； B、，，，，该选项正确，但不符合题意； C、由已知条件无法判断，故无法判断，故该选项错误，但符合题意； D、由B选项得，，该选项正确，但不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】如图，A，B，C，D是上的四个点，连接，过点O分别作于点E，于点F．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、圆心角的关系与垂径定理，掌握在同圆中，弦相等则所对的弧、圆心角相等，结合垂径定理分析线段相等关系是解题的关键． 根据圆中弦、弧、圆心角的关系以及垂径定理，逐一分析每个选项的正确性． 【详解】解：A、在同圆中，相等的弦所对的劣弧相等，因为，所以，结论正确，不符合题意； B、由垂径定理，，因为，所以，又，故，结论正确，不符合题意； C、在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，因为，所以，结论正确，不符合题意； D、没有条件能推出，结论错误，符合题意． 故选：D． 【变式1-3】如图，在中，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据弧相等的关系找到边、角之间的相等关系． 【详解】解：A选项：， ， ， ， 故A选项正确； B选项：和不一定相等， 和不一定相等， 故B选项不正确； C选项：， ， ， 故C选项正确； 在和中，， ， ， 故D选项正确； 故选：B． 【题型2 由圆心角、弧、弦之间的关系求长度】 【例2】如图，是直径，是上的点，于点，于点，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，三角形中位线定理，弧与弦之间的关系，由垂径定理得到点为的中点，则由三角形中位线定理得到，再由垂径定理得到，则． 【详解】解：∵， ∴点为的中点， ∵是直径， ∴点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-1】如图，AB为的直径，，，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，根据求得半径，进而根据的长，勾股定理的逆定理证明，根据弧长关系可得，即可证明是等边三角形，求得，进而由勾股定理即可求得 【详解】如图，连接， ， 是直角三角形，且 是等边三角形 是直径， 故选D 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，直径所对的圆周角是90度，勾股定理，等边三角形的判定，求得的长是解题的关键． 【变式2-2】如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径的长为（   ）. A． B． C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 故选：A． 【变式2-3】如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接．若的半径为10，且，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，连接，先证明，进而得，从而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，于点E， ∴，， ∵C是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 故选：B． 【题型3 由圆心角、弧、弦之间的关系求角度】 【例3】如图，将一个圆分成4个扇形，已知扇形、、的圆心角的度数之比为，为的角平分线，圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，周角的定义，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．由为的角平分线，得到，根据周角的定义列方程即可得到结论． 【详解】 解：为的角平分线， ， 扇形、、的圆心角的度数之比为， ， ， ， 故选：C 【变式3-1】如图，是⊙的直径，若弧AC所对的圆心角的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系、等边对等角、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．根据等边对等角，得出，即，再根据三角形的内角和定理，即可得出的度数． 【详解】解：∵所对的圆心角的度数是； ∴； ∵； ∴； 故选：C． 【变式3-2】如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若的度数为，则的度数为（    ）    A．20° B． C．30° D．50° 【答案】C 【分析】根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到，利用垂径定理得到，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵的度数为， ∴， ∵半径， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 【变式3-3】如图，在中，直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的内角和定理．试题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用和利用弧、弦、圆心角的关系求解．根据垂径定理得到，再根据圆周角定理，利用弧与圆心角的关系和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 【题型4 由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度】 【例4】如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理(直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半)，关键是利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴． ∵， 在中，． ∴的度数为； 故选：C． 【变式4-1】如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 【变式4-2】如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 【变式4-3】如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，则, ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【题型5 由圆心角、弧、弦之间的关系证明】 【例5】如图，在中，为的中点，于点，于点 (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据弧、圆心角的关系得平分．进而利用角平分线的性质定理即可得证． （2）连接由，得 ．进而得．利用度直角三角形的性质得，进而根据勾股定理得，从而即可求得．同理，可得，于是即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接 为的中点， ， ， 平分． 又，， ． （2）解：如图，连接 由（1）得， ， ． ∵， ∴， ． ， 在中，， ， ． 同理，可得， ． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理，勾股定理，30度直角三角形的性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理及勾股定理是解题的关键． 【变式5-1】如图，为的直径，为的弦，，，的平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（2）由是直径得，进一步求出，再根据同弧所对的圆周角相等可得结论； （2）由，即可求得答案． 【详解】（1）∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵是直径， ∴， 在中，， ∴； ∵的平分线交于点D， ∴； ∴， ∴； ∴在等腰中，， ∴四边形的面积 ． 故四边形的面积是． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，弧、弦、圆心角的关系；熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 【变式5-2】如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 【变式5-3】如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆心角定理，垂径定理，熟练掌握圆心角定理及垂径定理是关键． （1）根据垂径定理，得到，即可证明，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接OD，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）解：（1）证明：是的直径，于点， ． 是的中点， ， ， ． （2）解：如图，连接OD， 由（1）可知，， 是的直径，于点， ，             设的半径为，则， 在Rt中，， 即， 解得， 的半径为5． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，是的直径，，是上的点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 3．如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系，熟练掌握关系和定理是解题的关键． 先根据点是的中点，推出，再运用圆的性质和三角形的内角和性质求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ， ， ． 故选：D． 4．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 根据平角的定义得到，根据同圆中等弧所对的圆心角相等计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据在同圆或等圆中，弧，弦，角之间任意一组量相等，另外两组也相等，即可得出结论． 【详解】解：， ． 故选：C． 7．如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【答案】/35度 【分析】此题考查弧、弦、圆心角的关系，等边对等角和三角形的外角． 根据等边对等角和三角形的外角可得，然后根据弧、弦、圆心角的关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 8．如图，点B是的中点，若，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，先结合点B是的中点，得，又因为，得出都是等边三角形，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点B是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， 则， 故答案为：． 9．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 10．如图，在⊙O中， =，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正确的是______填序号． 【答案】①②③④ 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：∵在⊙O中，=， ∴AB=CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∴=，故④正确； ∴AC=BD，故②正确； ∴∠AOC=∠BOD，故③正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 11．如图，是直径，，．求的大小． 【答案】 【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 是直径， ． 12．如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键． （1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等； （2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ． （2）解：如图：过点作于点， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $