2.2 第1课时 基本不等式-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2基本不等式 第1课时基本不等式 课程标准 素养解读 笔握基本不等式“>瓜(0b都是正数).能 通过学习基本不等式及其简单应用，重点培养数学运算、 用基本不等式解决问题 逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P40 [情境引入] [知识点二] 基本不等式与最值 (1)对Ha、b∈R.a2+b2与2ab的 已知x,y都是正数，则 大小如何？ (1)如果积xy等于定值p(积为定值)，那么当x=y (2)在图中，AB是圆的直径，点C 时，和x十y有最小值2√； 是AB上一点，AC=a,BC=b.过 点C作垂直于AB的弦DE,连接 (2)如果和x十y等于定值s(和为定值)，那么当x二y AD,BD.可得到CD=V瓜，AB-生，由CD小 时，积xy有最大值子. 于或等于圆的半径，可得出什么样的不等关系？ 纪思考3.x+1上的最小值是2吗？ 提示：a+≥2ab(2)Va<“ [知识梳理] 提示：当>0时，十的最小值是2. [知识点一]重要不等式与基本不等式 当x<0时，x十1没有最小值 1.重要不等式 预习自测] Va,b∈R,有a2十b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号 1.(多选)下列结论正确的是 成立 2.基本不等式 A.对于任意a,b∈R,a2十b≥2ab,a十b≥2√ab均 如果a>0.>0,有瓜<，当且仅当a=时， 成立 B若a,b同号则名+号≥2 等号成立 其中，a十b叫做正数a,b的算术平均数，√ab叫做 C.若a>0,b>0,则ab≤a十b恒成立 2 2 D.若a>0,b>0,且a≠b,则a十b>2√ab 正数a,b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它 答案：BD 们的几何平均数. 2.已知实数a,b,则“ab≥0”是“a十b≥2√ab”的 2思考1.基本不等式中的a,b只能是具体的某个 A.充分不必要条件 数吗？ B.必要不充分条件 提示：a,b既可以是具体的某个数，也可以是代 C.充要条件 数式 D.既不充分也不必要条件 2.基本不等式成立的条件“a,b>0”能省略吗？请举 答案：B 例说明， 提示：不能，知《-3)（二≥√-3》X(-D是 3.不等式(x-2y)+x-2y 1,≥2成立的前提条件 2 为 不成立的 答案：x>2y 53· 数学·必修第一册 课堂。互动学亲 对应学生用书P41 题型 利用基本不等式比较天小 题型二利角基本不等武判断不等武的成立 [例1]设0<a<b,则下列不等式中正确的是( [例2](1)下列不等式中正确的是 A.a<bK√ab<a+b B.a<√ab<a+b<b A.a+4≥4 B.a2+b2≥4ab 2 a C.a<Vab<ba十b C.√ab≥a+b 2 D.Jab<a<atb<b 2 Dr+是≥2，g (2)给出下列条件：①ab>0;②ab<0;③a>0, [思路点拔]当4>0，b>0时，a十b≥√ab,当且 2 6>0:④a<0b<0,其中能使女+号>2成立的条 a 仅当a=b时取等号，注意等号成立的条件. 件有 ) [解析] 法一0<a<b,a<4b<b,排除 A.1个 B.2个 2 C.3个 D.4个 A,C两项. 〔思路点拨了根据基本不等式成立的条件判断， 又√ab-a=√a(b-√a)>0,即√ab>a,排除D 项，故选B. [解析] 1)a<0,则a+4≥4不成立，故A错：a 法二取a=26-8,则a瓜=4，士-5 =1,b=1,a2十b2<4ab,故B错；a=4,b=16,则 所以a<√ab<a+b<b. V<放C错由卷本不学气可知D须 2 正确. [答案]B (②)当会号均为正教时，会十号≥2，放只预a6同 规律方法 a’b 号即可，∴.①③④均可以. 利用基本等式比较实数大小的注意事项 [答案](1)D(2)C (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其 规律方法 形式（和与积）. 不等式a2+b≥2ab与a+b≥√ab的比较 (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足 a>0,b>0. 1)两个不等式a2+≥2ab与a十b≥Vab成立 2 ⊙[变式训练] 的条件是不同的.前者要求a,b是实数即可， 而后者要求a,b都是正实数（实际上后者只要 1.已知a>0,b>0,则，ab, a2+b2 2 2 2ab中最 a+b a≥0，b≥0即可). 大的是 ( ) (2)两个不等式a2十b≥2ab和十中>Vab都是 2 a"+b B.√ab 带有等号的不等式，都是“当且仅当a=b时， 2 等号成立” C.+b 2 D.2ab 'a+b ⊙[变式训练] 2.下列不等式恒成立的是 解析：A[因为a>0,b>0,所以2≤2b a+b2√ab A+号≥2 .v<. C.a+b≥2abI D.a2+b2≥-2ab la2+b2 2(a2+b2) (a+b)2_a+ 解析：D[对于A,若a=-1b=1,则名十分=-2， 2 4 4 2 ,当且仅 故A错误；对于B,因为(a-b)2≥0，所以a2十b≥ 当a=b时，等号成立， 则<士< 2b,所a+生2≥a6,中（告）≥ad6,当且 4 a+b 仅当a=b时取等号，故B错误；对于C,若a=-1, ·54 第二章一元二次函数、方程和不等式 b=-1,则a十b=-2<2√/abT=2,故C错误；对 规律方法 于D,因为(a十b)2≥0，所以a2+b2+2ab≥0，即a2 利用基本不等式证明不等式的注意事项 十b2≥-2ab,当且仅当a=-b时取等号，故D (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发， 正确.] 借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻 题型三】 利用基本不等式证明不等式 辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已 [例3](1)证明不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca; 知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)已知a,b,c是全不相等的正实数，求证： (2)注意事项： b+c-ajatc-btatb-c>3. ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否 a b 成立； 汇思路点拨]“利用基本不等式证明不等式，注意 ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在 等号成立的条件. 证明不等式时注意使用条件； [证明](1)a+b≥2ab, ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新 b2+c2≥2bc, 组合，形成基本不等式模型再使用， c2+a2≥2ac. ◇[变式训练] .2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)(当且仅当a=b 3.已知x>0,y>0,x+2y=1, =c取等号) ∴.a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 正明：f+)+)户2 (2)因为a,b,c全不相等， 证明：，x>0,y>0,x十2y=1, 所以名与号后与2后与2会不相等， a b a +0+》=+） 所以+>2，后+>2，后+>2 a +)-〔+3+) =13+ 三式相加得+后+后+号++冬>6 a g)18·多-，当里仅当 所以（会+岳-+（后+会-）+(+名- ，即==时，等号成立 >3, wbtc-atatc-bqatb-c-3. (1+0+号)》≥25. a 随堂。步步夯实 对应学生用书P43 1.下列不等式成立的是 ( 4.若a>0,b>0.a十b=2.则下列不等式①ab≤1， A.abab B.ab 2 @6+6≤E:@+公≥2：@日+号>≥2.对满足 a C.a+b≥2w√ab D.a+b≤2√ab 条件的a,b恒成立的是 (填序号). 答案：A 答案：①③④ 2.(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则 5.已知a>0,b>0,a十b=ab.求证： A.a2+62>2ab B+品 〔1+日)(+)是 证明：因为a>0,b>0,所以ab=a十b≥2√ab,当 C.a+b>ab D.1+1≤2 a b √ab 且仅当a=b=2时取等号，即有ab≥4，于是得 答案：C 〔1+)1+》)=1+日++b-1+陆 3.已知b是不相等的正数，x=66,y=√a十b, 2 品=2+品≤2+宁=是，所以(1+日)1+8) 则x,y的大小关系是 答案：x<y 号成 ·55· 数学·必修第一册 课后。素养提升 对应学生课时P267 基础过关 解析：AD[设甲、乙两地之间的距离为s.,a<b, -》 2s 1.若0<a<b且a十b=1,则下列四个数中最大的是 2ab<2ab=√ah.又v-a= 三+三a+b2√a6 ( a b A合 B.a2+62 ath-a-ab aaa 2ab a+b>a+6=0,>a.] C.2ab D.a 6.(多选)下列结论中正确的有 答案：B 2.已知a<b<0,则在下列不等式中成立的是( A.若a≠b0.则2+号≥2 A.a<b<a十b<Va 2 B若a≠b≠0，且a,b同号，则名+分≥2 B.a<a十b<b<√ad C.若a>b>0,则a2>b 2 D.若a>b,则a2>b Ca<va<“ 解析：BC[A.若a6异号会<0，号<0，会+号 D.a<a十b<alh<b 2 =-[(-)+(-分)]≤-2，错误.同理可得B 答案：B 正确.C.因为a>b>0,则a2>b2,C正确，D.当a< 3.《几何原本》卷2的几何代数法 0,b<0时，a2>b2不成立.] (以几何方法研究代数问题)成 7.已知0<a<1,0<b<1,则a+b,2√ab,a2+b2, 了后来西方数学家处理问题的 2ab中最大的是 重要依据.通过这一原理，很多 解析：.a>0,b>0, 的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也 .a+b≥2√ab,a2+b2≥2ab, 称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆 .四个数中最大数应为a十b或a3+b2. O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB,设AC=a, 又.0<a<1,0<b1, BC=b,则该图形可以完成的无字证明为() .a2+b2-(a+b) A.>>6>0 =a2-a+b2-b=a(a-1)+b(b-1)<0, B.a2+b2>2ab(a>b>0) .a2+b2<a十b,.a+b最大. C.2ah<√ab(a>b>0) 答案：a十b a+b 8.若正数a,b满足ab=a十b十3，则ab的取值范围是 a+b(a>b>0) 2 解析：ab=a+b+3≥3√ab+3, 答案：D 所以（√ab-3)(√ab+1)≥0， 4.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是 所以√ab≥3，所以ab≥9. B+≥2 答案：ab≥9 A.a+b≥2√ab 9.(一题两空)已知a>0,b>0,且2a十b=ab. C.ab≥ +品 (1)则ab的最小值为 (2)则a十2b的最小值为 答案：B 解析：因为2a十b=ab, 5.(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b (a<b),其全程的平均速度为u,则 ( 所以+号=1. A.a<v<Vab B.v=√ab (1)因为a>0,b>0. C.Vab<v<atb 2 D.v=2ab 所以1-+号2 2 atb ·56· 第二章一元二次函数、方程和不等式 当且仅当1=2=1 a-b-2 ,即a=2,b=4时取等号， 解：++ y 所以ab≥8，即ab的最小值为8. 号+y+经++》 (2a+26=a+20(日+)=5++> a b =(++++1+++号+) 2.2=9, 5+ =++)+(任+)+（任+力 当里仅当的-积，pa0=3时取等号 所以a十2b的最小值为9. =3, 答案：(1)8(2)9 当且仅当x=y=之=1时取等号， 10.已知a,b都是正数，求证：a+b十1≥√ab+ √a+√i. +片的小值为 y (2)证明：9=(x十y+x)2=x2十y2+z2+2xy十 证明：由a,b都是正数，则a十1≥2√a,b十1≥ 2.xz+2yz≤3(x2+y2+x2), 26,a+b≥2√ab,所以2(a+b+1)≥2（√ab+ x2十y2十之2≥3，当且仅当x=y=x=1时取 a+b),即a十b+1≥ab+a十i,当且仅当a 等号. =b=1时取等号. 又xy,z>0, 1.(1)已知0<x<号，求y=(1-2x)的最大值 ..xy+xz+yz>0, .x2+y2十z2=9-2(xy十xz+yz)<9, (2)尼知<3，求f)=3十x的最大值 .3≤x2+y2+x2<9. 13.已知a,b,c>0,且a十b十c=3,证明： 解：10<x< +6+>≥8 .1-2x>0, (2)√a2+b+√0+c7+√Ja2+c≥3√2. y-72x-22 1 证明：1)由题意得号(a+6十c)=1, =}×6 所++a++++ 当且仅当2z=1-2x,即x=子ya大a6 (总+8+后+云++ (2)x<3,x-3<0, f)=g+x=+x-3)+3 当且仅当a=b=c=1时等号成立 =-+3-+3 (2)因为a2+b2≥2ab,所以2a2+2b2≥(a+b)2, ≤-8-0+3=-1， 单v后+5产号a+》.当且仪当a=6时等号 成立 当且仅当3产一3-，即x=1时取等号， ∴.f(x)的最大值为-1. 月理可不后+F号（a十e.声以仅当。=c时 能力提升 》 等号成立W+C≥(b+),当且仅当b=C时 12.已知x,y,x>0,x十y十z=3.。 等号成立，所以√a+b+√2+c2十√a2+c2≥ Q)求++的最小值： y 号2a+26+2a=3区.查里仪当a==8=1时 (2)求证：3≤x2+y2+之2<9. 等号成立 ·57