2.2基本不等式（讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“基本不等式”核心知识点，从概念与几何意义（圆中半弦长、矩形面积最值）切入，系统梳理“一正二定三相等”成立条件，递进至“和定积最大、积定和最小”最值求解，延伸到公式变形（平方和、倒数型等）及实际问题建模，构建从基础到应用的完整学习支架。 该资料以几何直观培养数学眼光，通过圆与矩形模型帮助学生感知不等式规律，以配凑构造技巧发展数学思维，结合“1”的代换等方法突破定值构造难点，以实际问题建模强化数学语言表达，如物流仓库费用优化等实例。课中随学随练与题型示例辅助教师高效授课，课后基础通关、素养提升练习助力学生查漏补缺，巩固知识应用。

第二章 基本不等式 2.2 基本不等式 课标要点 1、概念与几何意义：理解基本不等式的严格定义，掌握其两大核心几何意义，一是圆中半弦长小于等于半径，二是周长固定的矩形中正方形面积最大，能够结合几何图形直观感知不等式的取值规律。 2、成立核心条件：熟练掌握基本不等式运用的三大前提——一正、二定、三相等，精准区分每个条件的内涵，明确缺一不可，是正确运用公式的基础。 3、基础最值求解：熟练运用基本不等式两大核心结论解题，即和定积最大、积定和最小，能够解决代数式简单的最大值、最小值求解问题，规范解题步骤。 4、公式变形与灵活运用：熟记基本不等式的常用衍生变形公式（含平方和、和积互换、倒数型等），能根据题型特征、式子结构，灵活选取适配的变形公式解题，规避公式混用、错用问题。 5、实际应用建模：能够结合生活、生产中的实际最值问题（面积、周长、成本、利润、用料最省等），完成文字情景到数学代数式的建模，利用基本不等式求解实际最值，并检验结果的实际意义。 学习重难点 重点： 1、基本不等式适用条件把控：精准掌握“一正（变量为正数）、二定（和或积为定值）、三相等（等号可成立）”三大核心条件，明确每个条件的约束作用，杜绝忽略前提盲目套用公式。 2、核心最值规律应用：吃透“和定积最大、积定和最小”的本质，熟练对应两种基础题型的解题思路，能快速识别题目中的定值关系，准确求解对应最值。 3、等号成立条件验证：解题后必须验证等号成立时变量的取值，确保取值在题目定义域、实际情景取值范围内，杜绝“有公式结果、无有效取值”的解题错误。 难点： 1、定值的配凑构造技巧：针对题干无直接定值的题型，掌握常用配凑方法，包括凑系数、拆项、添项、常数代换等，通过恒等变形构造出“和定值”或“积定值”的结构，突破无定值无法用公式的瓶颈。 2、多次不等式连用的等号验证：面对需要连续两次及以上使用基本不等式的复杂题型，核心难点为验证所有等号成立条件能否同时满足，若多个等号取值冲突，则所求最值无效，需重新调整解题方法。 3、实际问题的建模与辨析：在实际应用题中，精准剥离有效数学信息，建立正确的变量关系式，准确识别题目中的定量（定值）与变量，区分所求最大值、最小值对应的实际问题场景，避免建模错误、定值判断失误、最值对应混乱等问题。 知识点 基本不等式 均值不等式 （1）重要不等式 如果，那么________（当且仅当时取“”）． （2）均值（基本）不等式： ①基本不等式成立的条件：________________； ②等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 特别提醒 1）重要不等式和基本不等式成立的条件不一样，前者只要求都是实数，而后者要求都是正数. 2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 随学随练 1.（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）（多选）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 知识点 利用基本不等式求最值（重点） 利用基本不等式求最值问题 已知，，则 ①如果积xy是定值p，那么有最小值，当且仅当时取得．（简记：积定和最小） ②如果和是定值p，那么xy有最大值，当且仅当时取得.（简记：和定积最大） 特别提醒 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 易错提醒 必须满足三个条件：“一正、二定、三相等”，缺一不可. 随学随练 1.（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 知识点 基本不等式的变形和几个重要不等式 几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式：______（a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式：______（，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. （5）若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 随学随练 1.（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 拓展 几个平均数 对于正数a，b，有：_______，其中： ：调和平均数（HM） ：几何平均数（GM） ：算术平均数（AM） ：平方平均数（QM） 当且仅当a=b时，所有等号同时成立. 活学活用 1．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 题型 基本不等式的应用 解题贴士 转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． 乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． ▌例1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）（多选）已知，且，则（    ） A． B．存在使得 C．不存在使得 D． ▌对点练1-1．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．甲、乙两车从地沿同一线路到达地，甲车一半时间的速度是，另一半时间的速度为，乙车用速度、各行走了一半路程，且，则__车先到达地． ▌对点练1-4．（25-26高一上·山西吕梁·期末）（多选）下列命题为真命题的有（   ） A．不等式恒成立 B．存在a，使得不等式成立 C．若，则 D．若正实数x，y满足，则 题型 利用基本不等式求最值 解题贴士 配凑定值（拆项、添项、系数调整）或“1”的代换，注意等号成立的条件 ▌例1．（25-26高一下·浙江衢州·期末）（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 ▌对点练1-1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌对点练1-2．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 ▌对点练1-3．（25-26高一上·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 ▌对点练1-4．（25-26高一上·四川成都·期末）（多选）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 题型 基本不等式的实例应用 ▌例1．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? ▌对点练1-1．（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 ▌对点练1-2．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． ▌对点练1-3．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ ▌对点练1-4．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    基础通关 1.（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知，，且，则的最小值为________． 4.（25-26高一上·天津·开学考试）已知，求的最大值______． 5．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知，则的最大值是______ 6．设，则的最小值为_____________． 7.（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 8.（25-26高一下·湖南衡阳·期末）（多选）已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 9.（25-26高一上·湖南娄底·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 10.（25-26高二下·河北沧州·期末）（多选）已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 素养提升 11.（25-26高一上·云南德宏·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值是2 B．若，则 C．若，则 D．设，且，则的最小值是 12.（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 13.（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，，则的最小值为_________. 14.（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知，且不等式恒成立，则的最大值为___________. 15.（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 迁移创新 16.（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 17．（25-26高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 基本不等式 2.2 基本不等式 课标要点 1、概念与几何意义：理解基本不等式的严格定义，掌握其两大核心几何意义，一是圆中半弦长小于等于半径，二是周长固定的矩形中正方形面积最大，能够结合几何图形直观感知不等式的取值规律。 2、成立核心条件：熟练掌握基本不等式运用的三大前提——一正、二定、三相等，精准区分每个条件的内涵，明确缺一不可，是正确运用公式的基础。 3、基础最值求解：熟练运用基本不等式两大核心结论解题，即和定积最大、积定和最小，能够解决代数式简单的最大值、最小值求解问题，规范解题步骤。 4、公式变形与灵活运用：熟记基本不等式的常用衍生变形公式（含平方和、和积互换、倒数型等），能根据题型特征、式子结构，灵活选取适配的变形公式解题，规避公式混用、错用问题。 5、实际应用建模：能够结合生活、生产中的实际最值问题（面积、周长、成本、利润、用料最省等），完成文字情景到数学代数式的建模，利用基本不等式求解实际最值，并检验结果的实际意义。 学习重难点 重点： 1、基本不等式适用条件把控：精准掌握“一正（变量为正数）、二定（和或积为定值）、三相等（等号可成立）”三大核心条件，明确每个条件的约束作用，杜绝忽略前提盲目套用公式。 2、核心最值规律应用：吃透“和定积最大、积定和最小”的本质，熟练对应两种基础题型的解题思路，能快速识别题目中的定值关系，准确求解对应最值。 3、等号成立条件验证：解题后必须验证等号成立时变量的取值，确保取值在题目定义域、实际情景取值范围内，杜绝“有公式结果、无有效取值”的解题错误。 难点： 1、定值的配凑构造技巧：针对题干无直接定值的题型，掌握常用配凑方法，包括凑系数、拆项、添项、常数代换等，通过恒等变形构造出“和定值”或“积定值”的结构，突破无定值无法用公式的瓶颈。 2、多次不等式连用的等号验证：面对需要连续两次及以上使用基本不等式的复杂题型，核心难点为验证所有等号成立条件能否同时满足，若多个等号取值冲突，则所求最值无效，需重新调整解题方法。 3、实际问题的建模与辨析：在实际应用题中，精准剥离有效数学信息，建立正确的变量关系式，准确识别题目中的定量（定值）与变量，区分所求最大值、最小值对应的实际问题场景，避免建模错误、定值判断失误、最值对应混乱等问题。 知识点 基本不等式 均值不等式 （1）重要不等式 如果，那么________（当且仅当时取“”）． （2）均值（基本）不等式： ①基本不等式成立的条件：________________； ②等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 【答案】 ，均为非负实数 特别提醒 1）重要不等式和基本不等式成立的条件不一样，前者只要求都是实数，而后者要求都是正数. 2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 随学随练 1.（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）（多选）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.85 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 又，当且仅当时取等号，所以，故B正确； ，故C错误； ，当且仅当时取等号，故D错误. 知识点 利用基本不等式求最值（重点） 利用基本不等式求最值问题 已知，，则 ①如果积xy是定值p，那么有最小值，当且仅当时取得．（简记：积定和最小） ②如果和是定值p，那么xy有最大值，当且仅当时取得.（简记：和定积最大） 【答案】 特别提醒 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 易错提醒 必须满足三个条件：“一正、二定、三相等”，缺一不可. 随学随练 1.（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先化简，再利用基本不等式求最值，并验证等号成立的条件. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 知识点 基本不等式的变形和几个重要不等式 几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式：______（a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式：______（，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. （5）若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 【答案】 随学随练 （25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式求积的最大值、基本（均值）不等式的应用 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 拓展 几个平均数 对于正数a，b，有：_______，其中： ：调和平均数（HM） ：几何平均数（GM） ：算术平均数（AM） ：平方平均数（QM） 当且仅当a=b时，所有等号同时成立. 【答案】 活学活用 1．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 题型 基本不等式的应用 解题贴士 转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． 乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． ▌例1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）（多选）已知，且，则（    ） A． B．存在使得 C．不存在使得 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【分析】应用不等式性质计算判断A，D，应用基本不等式计算判断B，反证法计算判断C， 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于C，由，得，则， 若存在使得，则与已知相矛盾，C正确； 对于B，由且，得，B错误； 对于D，，D正确. 故选：ACD. ▌对点练1-1．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式比较大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据不等式以及基本不等式的性质，结合作差法判断各选项． 【详解】因为，可得， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 所以． 故选：D． ▌对点练1-2．（25-26高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】求出平均速度可判断AB；利用基本不等式可判断CD. 【详解】设甲乙两地相距s，则平均速度故A错误，B错误； 又∵，∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得：， ∴，即， 故C正确，D错误． 故选：C． ▌对点练1-3．甲、乙两车从地沿同一线路到达地，甲车一半时间的速度是，另一半时间的速度为，乙车用速度、各行走了一半路程，且，则__车先到达地． 【答案】甲 【难度】0.65 【知识点】作商法比较代数式的大小、基本（均值）不等式的应用、由基本不等式比较大小 【分析】分别求出甲、乙车到达指定地点的时间为、，作商后利用基本不等式即可比较出、的大小. 【详解】解：设两地的路程为1，那么甲车到达指定地点的时间为，则，； 乙车到达指定地点的时间为，则，； ，（当且仅当时不等式取“”； ，由知；故答案为：甲． ▌对点练1-4．（25-26高一上·山西吕梁·期末）（多选）下列命题为真命题的有（   ） A．不等式恒成立 B．存在a，使得不等式成立 C．若，则 D．若正实数x，y满足，则 【答案】BCD 【难度】0.4 【分析】根据基本不等式的成立条件及“的代换”等方法，逐一验证各不等式是否成立，从而判断命题真假. 【详解】选项A：为基本不等式，但成立的前提是且，若或为负数，例如，，则左边，右边，不等式不成立，选项A错误； 选项B：当时，例如，则，不等式成立， 当时，由基本不等式，当且仅当时取等号，此时，不等式成立，因此存在这样的，选项B正确； 选项C：因为，所以，由基本不等式，当且仅当时取等号，选项C正确； 选项D：使用“的代换”法：， 由基本不等式，，当且仅当成立，将代入约束条件，可得，则，所以恒成立，选项D正确. 故选：BCD 题型 利用基本不等式求最值 解题贴士 配凑定值（拆项、添项、系数调整）或“1”的代换，注意等号成立的条件 ▌例1．（25-26高一下·浙江衢州·期末）（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【难度】0.75 【分析】利用（为正实数）和基本不等式逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. ▌对点练1-1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． ▌对点练1-2．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【难度】0.72 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. ▌对点练1-3．（25-26高一上·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【难度】0.85 【详解】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. ▌对点练1-4．（25-26高一上·四川成都·期末）（多选）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【答案】ABD 【难度】0.65 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确； 当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 题型 基本不等式的实例应用 ▌例1．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【难度】0.65 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. ▌对点练1-1．（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． ▌对点练1-2．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【难度】0.85 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； ▌对点练1-3．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. ▌对点练1-4．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用、基本不等式求和的最小值 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 基础通关 1.（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 2.（25-26高一下·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 3.（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】对所求式子变形，将，代入原式得：，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， ， 则， 当，即，且等号成立， 解得，均满足， 因此的最小值为. 4.（25-26高一上·天津·开学考试）已知，求的最大值______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】先配凑，然后利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 5．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知，则的最大值是______ 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】借助基本不等式计算即可得结果. 【详解】由可知，则， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 6．设，则的最小值为_____________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 7.（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 8.（25-26高一下·湖南衡阳·期末）（多选）已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 【答案】BD 【难度】0.65 【分析】根据题意，利用不等式的性质，作差比较法，以及基本不等式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且， 由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，所以D正确. 9.（25-26高一上·湖南娄底·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】ACD 【难度】0.75 【详解】对于A：因为，根据均值不等式：， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，故A正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然无解， 所以的最小值取不到2，故B错误； 对于C：因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； 对于D：因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为8，故D正确. 10.（25-26高二下·河北沧州·期末）（多选）已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为8，故A正确； 因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为32，故B正确； 因为，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1，故C错误； 因为，所以．因为，所以，故D正确． 素养提升 11.（25-26高一上·云南德宏·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值是2 B．若，则 C．若，则 D．设，且，则的最小值是 【答案】BCD 【难度】0.4 【分析】对于A选项，将函数化简为，然后根据对勾函数的单调性即可判断；对于B、C选项，根据不等式的运算性质即可判断正误；对于D选项，利用乘1法，结合基本不等式判断. 【详解】选项A，令（），函数变形为， 该函数在上单调递增，最小值为，而非，A错误； 选项B，是增函数，当时，是减函数，若，则，B正确； 选项C，由，两边同乘负数得；同乘负数得，故，C正确； 选项D，利用乘1法：， 由基本不等式得，当且仅当，时等号成立， 故当，时，取最小值，最小值为，D正确. 故选：BCD. 12.（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 【答案】 【难度】0.4 【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值，并求得此时的，得到的值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以，， 所以当时，取最小值. 此时，， 13.（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，，则的最小值为_________. 【答案】 【难度】0.4 【分析】解法一：设，，则，，可得出，结合基本不等式求解即可； 解法二：由基本不等式可得，，再利用不等式的可加性可得出的最小值. 【详解】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，，则，， 由基本不等式可得， ， 上述两个不等式相加可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 14.（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知，且不等式恒成立，则的最大值为___________. 【答案】3 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】令，则，，，当且仅当时不等式取等号，即时取等号，所以，则. 【详解】令，因为，所以， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当，即时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故的最大值为3. 故答案为：3 15.（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 迁移创新 16.（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. (3)的最大值为，此时． 【难度】0.57 【分析】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构. （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明. （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2）略. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 17．（25-26高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 【答案】(1)证明：若，，则 ， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以成立. (2) (3)这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以该方程无实数解， 即，故的最大值不是. 【难度】0.5 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式即可证明不等式成立； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）略 （2） ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $