30.1.2圆的切线 第2课时（课件）2026-2027学年人教九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“圆的切线”第二课时，核心内容包括过圆外一点作圆的切线的尺规作图及切线长定理。课堂导入先复习过圆上一点作切线的方法，通过“如何过圆外一点作切线”的思考，结合三点定圆和圆周角定理推理作图原理，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以尺规作图发展空间观念，通过推理证明切线长定理培养推理意识，例题和练习中规范符号语言表达。如作图步骤引导学生动手操作，证明题提供两种方法，助力学生深化理解，教师可借助清晰流程提升教学效率。

第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2 圆的切线 课时2 1.*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线，发展空间观念； 2.*探索并证明切线长定理. 学习目标 2 复习 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线？ 如图，圆心为 O，圆上已知点为 P. ① 连接 OP 并延长； ② 以点 P 为圆心，适当长为半径作弧，交射线 OP 于点 A，B； ③ 分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于点C，作直线CP，即所求作的切线. O P 课堂导入 思考：那你知道如何过圆外一点作圆的切线吗？如图 ，P 是 外一点，如何过点P 作 的切线？ 因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点 𝑃且与相切， 所以需在上确定一点 𝐴， 满足𝑂𝐴⊥𝐴𝑃，即 ∠𝑂𝐴𝑃=90°. 由此可知，点 𝑂，𝑃，𝐴 可以确定一个圆， 𝑂𝑃是这个圆的直径. 因此以 𝑂𝑃为直径作圆，该圆与的交点即为所要确定的点. P O A 请你根据上面的想法，用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 90°的圆周角所对的弦是直径 知识点 正多边形的画法 新知讲解 P O 如图 ：(1) 连接 OP，作线段 OP 的垂直平分线 MN，与 OP 交于点 C； (2) 以点 C 为圆心，CO 为半径作圆，与 相交于 A，B 两点； (3) 作直线 PA，PB，即所求作的切线. M N C A B 知识点 正多边形的画法 新知讲解 可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切.我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长（如图中的线段PA，PB的长），叫作这点到圆的切线长. P O M N C A B 注意：切线是一条直线，无法度量， 切线长是切线上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离，可以度量. 知识点 正多边形的画法 新知讲解 如图，连接  和 . ∵  和  是  的两条切线， ∴ ，. 又 ，， ∴ Rt△POA ≌ Rt△POB， ∴ ，. 思考：如图，PA，PB 是  的两条切线，切点分别为 A，B，过点 O，P 作直线 OP. 线段 PA 与 PB，∠APO 与 ∠BPO 有什么关系？ 知识点 正多边形的画法 新知讲解 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言： ∵PA和PB是的两条切线，A，B是切点， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 知识点 正多边形的画法 新知讲解 解：如图，连接 . ∵ ， 是  的两条切线，， 是切点， ∴ ，，. 又 ， ∴ ， ∴  是等边三角形， ∴ . 又 在 Rt△POA 中，∠APO = 30°，OP = 2， ∴ OA = 1，PA = ， ∴ △PAB 的周长为 . 如图 ，， 是  的两条切线，， 是切点，连接 . 若 ，，求  的周长. 例1 知识点 正多边形的画法 新知讲解 如图， 是  的切线，切点分别是 P，C，D. 若 AB=10，AC=6，则 BD 的长是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 跟踪训练 解析：∵ AC，AP 为 的切线， ∴ AC=AP=6. ∵ BP，BD 为 的切线， ∴ BP=BD， ∴ BD=PB=AB-AP=10-6=4. B 知识点 正多边形的画法 新知讲解 1. 如图，PA，PB 是 的两条切线，A，B 为切点，AC 是的直径，∠BAC=25°. 求 ∠P 的度数. 解：∵ ，  是  的两条切线， ∴ ， ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . A P B O C 随堂练习 2. 如图，， 是 的两条切线，， 为切点，直线  交于点 ，， 交  于点 . (1) 写出图中所有垂直关系； (2) 如果 PA=4，PD=2，求  的半径长. A P B O C E D 解：(1) ， ， . (2) 设  的半径长为 ，则 ， ∴ . 又 ， ， ∴ ， 即 ， 解得 ， 故  的半径长为 3. 随堂练习 证明：方法一 如图，连接  交  于点 . ∵  是  的两条切线， 为切点， ∴ ， ∴  是等腰三角形，， ∴ ， ∴ . 3. 如图， 是  的两条切线， 为切点， 是  的直径. 求证： D 随堂练习 证明：方法二 如图，连接 ，则 . ∵  是  的两条切线， 为切点， ∴ ， ∴ . 又 ，∴ ， ∴ . 3. 如图， 是  的两条切线， 为切点， 是  的直径. 求证： 随堂练习 切线长 切线长定理 *尺规作图 *切线长定理 过圆外一点作圆的切线. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 课堂小结 $