1.1.6 平面直角坐标系中的距离公式导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦平面直角坐标系中的距离公式，涵盖两点间、点到直线及平行直线间距离公式。通过“温故”直线交点坐标知识，利用斜率或法向量判断相交并解方程组得交点，结合几何图形感受距离意义，搭建数形结合的学习支架。 资料亮点在于“拓展”联系建筑测距、导航定位等生活应用，培养学生用数学眼光观察现实世界。“思考”环节引导探究公式推导原理与适用场景，发展数学思维。课前自测题型多样且解析详细，助力精准运算，提升自主学习能力，便于教师评估教学效果。

1.1.6 平面直角坐标系中的距离公式 预习提要 1.结合几何图形感受距离度量的意义，体会数形结合研究几何问题的思想，做好课前铺垫. 2.研读课本，探究两点间距离公式、点到直线距离公式、两条平行直线间的距离公式，学习推导思路，理解公式适用条件，尝试运用公式完成基础距离计算. 【温故】 两条直线的交点坐标：一般地，对于两条不重合的直线，，可以用直线的斜率（斜率存在时）或 先定性判断两条直线是否相交，若相交，则依据直线方程的概念可知，两条直线交点的坐标就是两个方程的 ．因此，可通过求解方程组 得到两条直线的交点坐标． 【知新】 1.两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，若两点为，，两点间的距离公式 . 2.点到直线的距离公式：点到直线的距离公式 （其中不全为0）. 3.两条平行直线间的距离公式：两条平行直线，（其中不全为0，且）间的距离公式为 （其中不全为0，且）. 课前自测 1.过点和的直线与平行，则( ) A.6 B. C.2 D.不确定 2.若点到直线的距离是，则实数a为( ) A. B.5 C.或5 D.或3 3.两条平行直线与间的距离为( ) A. B. C. D. 4.直线l垂直于直线，原点O到l的距离为1，且l与y轴正半轴有交点，则直线l的方程是( ) A. B. C. D. 5.点到直线的距离不超过2，则实数t的取值范围是________. 反思 【拓展】 毕达哥拉斯说：数是万物的尺度. 距离公式以精准的坐标运算量化几何长度，将无形的空间距离转化为可控的代数计算. 从直观测量到公式推演，体现了数学严谨化、标准化的发展逻辑. 熟练运用距离公式，能培养精准运算、数形转化的思维，夯实解析几何的解题根基. 平面距离公式在生活、工程与科技领域应用广泛. 建筑施工测距、地图路网里程测算、无人机定点测距均依托两点距离公式；机械零件校准、轨道偏差检测、光学光路垂直测距，依靠点到直线距离公式，是工程测绘、导航定位、图形校准的基础数学工具. 【思考】 1.两点间距离公式的推导原理是什么，如何规避坐标代入的符号错误？ 2.点到直线的距离为何是垂直距离，该公式有哪些专属适用场景？ 答案及解析 【温故】 法向量 公共解 【知新】 1. 2. 3. 课前自测 1.答案：B 解析：依题意得，所以，所以.故选B. 2.答案：C 解析：由点到直线的距离公式可得：，解得：或5，故选C. 3.答案：C 解析：由两直线平行，得，所以.故所求距离为.故选C. 4.答案：A 解析：因为直线l与直线垂直，所以可设直线l的方程为.由l与y轴正半轴有交点，知，即直线l的方程为.原点O到l的距离，解得（舍去），所以直线l的方程为. 5.答案： 解析：因为点到直线的距离不超过2，所以，解得，故实数t的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $