第3单元 平面直角坐标系中的距离公式-【金试卷】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

第三单元平面直角坐标系中的距离公式 测试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.点(2,5)到直线y=2x的距离为 ( A号 R C36 5 D.5 密 2.两条平行直线11：3x一4y十6=0与l2:3x-4y-9=0间的距离 为 ( h 封 A号 C.3 D.5 典 3.两平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足 线 的条件是 () A.0<d≤3 B.0<d≤5 C.0<d<4 D.3≤d≤5 内 4.若点P(1,a)到直线ax一3y一1=0的距离不大于3，则a的取 值范围是 ( 不 A.[-2,-√30，-2+√30] B.[-2,√6] C.[-√6,6] D.[2-6,2+√6] 如 5.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM=4,则称 准 该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( A.y=x+1 B.x=-2 答 C.y- D.y=2x+1 6.[名师改编]已知点A,B分别在直线l1:x一y十1=0，L2:x一y十4 题 =0上，取线段AB上靠近点A的三等分点C,则经过点C且平 行于11的直线l的方程为 () A.x-y+3=0 B.x-y-2=0 C.x-y-3=0 D.x-y+2=0 7.设两条直线的方程分别为x十y十a=0,x十y+b=0,已知a,b是 丝 方程x2十x十(=0的两个实根，且0≤：≤g则这两条直线之间 北 的距离的最大值和最小值分别是 ( A.1, 3 B.31 3’3 c号 n1,号 8.(情境创新)美术绘图中常采用“三庭五眼”作 14.已知直线1：ax-y一1=0，直线l2:x十y-3=0,若直线1的倾 图法，三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉 斜角为不，则a=一·若4∥1，则1,4之间的距离为 骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、 (本题第一空2分，第二空3分) 下庭，各占脸长的子，五眼：指脸的宽度比例， 15.已知a>0,直线l1:x十ay=2a十4与y轴的交点为A,l2:2x十 以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第 ay=2a+8与x轴的交点为B,l1与l2的交点为C.当四边形 三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为 OACB(O为坐标原点)的面积取得最小值时，点B到直线L1的 2cm,五眼中一眼的宽度为1cm,若图中提供的直线AB近似记 距离是 为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼 16.在直角坐标平面内，与点A(0,3)距离为2，且与点B(4,0)距离 的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为 () 为3的直线共有 条. A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.3.5 cm 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 程或演算步骤， 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 17.(10分)(1)求平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的 得2分，有选错的得0分 直线方程； 9.对于/x2十2x十5，下列说法正确的是 (2)求垂直于直线x十3y一5=0且与点P(一1,0)的距离是 A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 310的直线方程. 5 B.可看作点(x,0)与点（一1，一2）的距离 C.可看作点(x,0)与点（一1,2）的距离 D.可看作点(x,一1)与点（一1,1）的距离 10.已知点A(-3,一4)，B(6,3)到直线1：ax+y十1=0的距离相 等，则实数a的值可以等于 ( A-日 B-青 c号 Dp 11.若两条平行直线1：x一2y十m=0与l2:2x十ny一6=0之间的 距离是25，则m+n的可能值为 ( A.3 B.-17 C.-3 D.17 12.在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x-2y十1=0， ∠A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为(1,2)， 则下列说法正确的有 ( A.AC所在直线的方程为x十y十1=0 B.点A和点C的坐标分别为（一1,0），(5，一6) C.|BC=2√5 D.△ABC的面积为12 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分， 13.点P(x,y)在直线x+y一4=0上，则x2+y2的最小值是 第一部分单元检测卷7 18.(12分)（开放创新）已知两条直线L1:ax+y+a+1=0,l2:2x十 (a-1)y+3=0. (1)若11，l2不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A, B,求AB|; (2)若a=0,直线L与1，垂直，且 ,求直线L的方程. 从以下两个条件中选择一个补充在横线上，并作答. 条件①：坐标原点到直线L的距离为1； 条件②：直线L与1，交点的横坐标为2. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19.(12分)已知点A(3,2),直线l:2x十y十1=0. (1)求直线1关于点A对称的直线方程； (2)求直线1与两坐标轴围成的三角形的重心坐标. 8第一部分单元检测卷 20.(12分)已知直线L1:3.x+4y-7=0与L2:3x+4y+8=0. (1)若A(x1,y1),B(x2,y2)两点分别在直线l1,l2上运动，求 AB的中点D到原点的最短距离； (2)若直线1过点M(2,3),且被直线L1,12截得的线段长为 35,求直线1的方程. 21.(12分)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的 交点， (1)点A(5,0)到1的距离为3，求1的方程； (2)求点A(5,0)到1的距离的最大值， 22.(12分)（思维创新）在平面直角坐标系中，四边形OABC的四个 顶点分别为O(0,0),A(6,2),B(4,6),C(2,6),直线y= kx(号<k<3)把四边形OABC分成两部分，S表示靠近x轴的 部分的面积. (1)求S=f(k)的函数表达式： (2)当k为何值时，直线y=kx(号<k<3)将四边形OABC分为 面积相等的两部分？7.C:直线2x-y=0与x+ay=0垂直，2·(-)=-1，解得a=2,线段AB 的中点为P(0,5).又直线2.x一y=0与x十2y=0相交于点O(0,0),.AB是Rt △AOB的斜边，.AB=2PO=10,故选C. 8.A:非零实数a6满足3a=26(a+1).26=g6x+(a+1Dy=3a(6x+ y)+a()-3)=0.令y-3=0,且6x十y=0,得x=-号y=3,定点坐标为 (-之，3)故选A 9.AB当AB与CD斜率均不存在时，m=0,此时AB∥CD;当kAB=kD时，m=1,此 时AB∥CD.故选AB. 10.AC对于A选项，当a=-1时，直线1的方程为x-y十1=0，显然与直线x十y= 0垂直，所以A正确；对于B选项，若直线1与直线x一y=0平行，则a2十a十1=1， 解得a=0或a=一1，所以B不正确：对于C选项，当x=0时，y=1,所以直线l过 定点(0,1)，所以C正确；对于D选项，当a=0时，直线1的方程为x一y十1=0，在 x轴、y轴上的截距分别是一1,1，所以D不正确.故选AC. 11.ABD由题知，三条直线中任意两条均有交，点，且三条直线不能经过同一点 m+2≠0. 于是m+2≠-1， 解得，m≠一2且m≠一3且m≠0.故选ABD! (m十2)×0-0十m≠0， 12.AD由题意知，k=tan135°=一1，设点(2,4)关于直线y=-x十1的对称点为(m,n),则 n-4」 m21 t4=-m+2+1 解得一了所以反特无线所在的直线方程为y=号二》 0-(-1) (2 2 (x-5)= 一5)，所以当1=13时y=1;当x=14时y=号，故选AD, 1 13.答案(0,4)（或(10,0）或（一6，一4）) 解析设D(x,y),若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD,AD∥BC,所以 -2-0=y- kB=D,即2C3)15, kAD-RBC y0 22解得此时点D0,4).若四边形ABDC x(-3)=2-5 -2-0=y-2 是平行四边形，则AB∥CD,AC∥BD,所以加=D,即2,3)-司 kAC=kBD 2-0=y-(-2) 5-(-3) x-2 解得/x=l0 y0,此时点DI0,0).若四边形ADBC是平行四边形，则AD∥BC,AC∥BD, y-0-2-2 所以kAD=k,即。3)2-5 kAC=kBD 之对友00 x一2 以第四个顶，点D的坐标可能是(0,4)或(10,0)或（一6，一4）. 14.答案-1或2号 解析当l1⊥l2时，a(1一a)十2×1=0，化简得a2一a-2=0,解得a=一1或a=2; 当1∥12时，a-2(1-a)=0,解得a=3 15.答案(-∞，4)U(2,+∞) 解析 易知1的方程为y十1=k(x-1).将其与y=一2x十3联立得 k十4 y-kx=-(k十1)，解得 (y+2x=3 故交点坐标为又文点位于第 y=k十2 k+4 象限，则+2>0 k一2、 ,解得k∈(-∞，一4)U(2,十∞). (E+2>0 16.答案(-3，一4) 解析如图，设A关于直线x一y一1=0的对称，点为E(m, B(2,6) n),连接AE,PE,所以PA一PB=PE一PB.因 y 为A(1,一2)，所以 21= 2号x1=-1 解得m=一1 1n=0 x-y-1=0 则E(一1,0).结合图形可知，当B,E,P三点共线，即P 、07 在Q点位置时，|PE|一|PB|取得最小值，则k阳= 2(-=2,直线BQ的方程为y=2(x十1)=2x+2, 6-0 A(1,-2) p 酸主2。部得系甲Q-3-0裁PA-PB取得展小位时点P 的坐标为（一3，一4）. 17,解1由题高知4与h的针牵都存在，且-日号，w=。22 4-2 2w士一1)因为12所以kAB=kMN,中2=a十1，解得a=士⑤ 2 (2)易知l1的斜率存在，若直线12的斜率不存在，则a十2=1，解得a=一1. 因为l1⊥l2,所以a一1=0，解得a=1,与a=一1矛盾，所以直线l2的斜率存在. 园为1，所以6w三1，即2。子1-1，解得a=0, 18.解(1)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD, 设直线CD的方程为2x一y十m=0,将点C(2,0)代入上式得m=一4， 所以直线CD的方程为2x一y-4=0. (2)设直线CE的方程为x+2y十=0，将点C(2,0)代入上式得n=一2. 所以直线CE的方程为x十2y一2=0. 19.解(1)设与直线l1:2x-3y-1=0平行的直线方程为2x-3y十C=0, 将A(一2,1)代入，得一4-3+C=0,解得C=7, 故所求直线方程为2x一3y十7=0. (2)设线段AB的中，点为M,直线l1与l2的交点为V. 因为A(-2,1),B(4,3),所以线段AB的中点是M(1,2). 联点30，解仔怎子所以点N2 kv=-2-1,故所求直线的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0. 2-1 解(4)由{50解得1所以点P的坐标为(-2,1). 1y=1, (2)设所求直线为l, ①当直线1在两坐标轴截距为不零时，设直线方程为：工十义=1， 则+}=1，解得1=-1，所以直线1的方程为：气十片=1，即x十y十1=0， ②当直线l在两坐标轴裁距为零时，设直线方程为：y=kx,则1=×（一2），解得k =一 2,所以直线1的方程为y=一2x,即x十2y=0. 综上，直线1的方程为x十y十1=0或x十2y=0. (3)①当l3与l1平行时不能构成三角形，此时：a×(-2)一2×1=0，解得a=一1； 3与l2平行时不能构成三角形，此时：aX3一2X4=0,解得a ③当l3过l1,l2的交，点时不能构成三角形，此时：a·(一2)+2×1一6=0，解得a= -2. 综上，当a=-1或号或-2时，不能构成三角形。 21.解选择条件①， (1)因为点A关于直线11的对称点B的坐标为(2，一1)， 所以U1是线段AB的垂直平分线 因为=2。-1，所以直线山的斜率为1 又线段AB的中点坐标为(1,0)， 所以直线11的方程为y=x一1，即x一y1=0. (2)l1:x一y-1=0与l2:x一2y十2=0的交点坐标为(4,3)， 因为A(0,1)在直线l2:x-2y十2=0上，A(0,1)关于l1对称的点为B(2,-1), 所以直线l2关于直线11对称的直线经过点(2，一1)，(4,3)， 代入两点式方程得号即2x-y一5=0， 所以l2:x-2y十2=0关于直线l☑1的对称直线的方程为2x一y-5=0. 选择条件②， (①因为=2。-1，直线与直线AB垂直，所以直线的斜车为1， 又直线l1过，点(2,1)，所以直线11的方程为y一1=x一2，即x一y一1=0. (2)同①. 选择条件③， )因为kC=多司-1，直线与直线AC年行，所以直线的针丰为1， 又直线1过点(2,1)，所以直线11的方程为y-1=x-2,即x一y-1=0. (2)同①. 22.解(1)法一由题意设直线l:3x-2y十C=0,将点(3,2)代入得9-4十C=0,C= 5， 故直线l的方程为3x一2y一5=0. 法二因为直线2x十3y一2=0的法向量与直线1平行，所以直线1与2x十3y一2 =0垂直. 设直线1的针率为则友·（一号）=-1解得及=受 所以直线1的方程为y-2=受（-3》.化商得3x一2y一5=0 (2)设直线1的方程为后十名-1(a.b>0), 将点82入得2十后-1≥2/层·名-2√品则6≥24，当且仅当2-名 即a=6,b=4时等号成立 则S6%=2ab>号×24=12，故△40B面积的最小值为12. (3)设A(a,0),B(0,b),由P(3,2),得AP=(3-a,2),PB=(-3,b-2), 则有(3-a,2)=2(-3,b一2)， 可得a=9,b=3,M(0,2),则|OM=2,PM=3, 梯形AOMP的面积为2×2X(3+9)=12,所以梯形FOME的面积为6. 设E(m,2),F(m,0),可得号×2(m十m）=6,即m十n=6, 直线EF的方程为yn2-0 将n=6-m代入上式可得，2m(y-1)-(2x+6y-12)=0. 由”g-0部好53 则直线EF必过定，点(3,1). 第三单元平面直角坐标系中的距离公式 门1.A直线y=2x可化为2x一y=0,由点到直线的距离公式得)2==台故 选A. 2.C直线1：3x-4y+6=0与12：3x-4y-9=0间的距离为6=（-9)1=15=3. /32+(-4)2 5 故选C. 3.B当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为AB|=5,所以0<d5.故 选B. 4.A点P(1,a)到直线ax-3y-1=0的距离d=a-3a-1L=2a+1,又12a+1 √a2+(-3)2√9+a2 √/9+a2 ≤3，整理可得a2+4a-26≤0，解得-2-√30≤a≤-2+√30，故选A. 5.C若直线为“切割型直线”，则点M到该直线的距离不大于4，点M(5,0)到直线y =x十1的距离为山1==32>4，故A错误；点M(5,0)到立线r=-2的距离为 ② d,=7>4,故B错误：点M5.0)到直线y=专x的距离为d,= 4X5 3 -+() 4,故C正确；点M(5,0)到直线y=2x十1的距离为d4= 12×5+1=115>4, /(-1)2+22 5 故D错误.故选C. y/ 6.D因为1与直线11平行，直线1的方程为x一y +1=0,故可设直线1的方程为x一y十c=0(1<c E <4).过点C作直线EF⊥l,交直线l于点F,交 B 直线l2于点E,如图所示，又因为11∥l2,l1∥1，所 以EF⊥I2,EF⊥I1,易证△CBEC∽△CAF,又BC =2CA,所以CE=2CF,所以c-4=2.lC-1 √2 √2 0 解得c=2或c=一2（舍去），故直线l的方程为x y十2=0.故选D. 7.C因为a,b是方程x2十x十c=0的两个实根，所以a十b=一1，ab=c,所以(a一b)2 =a+b2-如b=1-4c又0Ec≤g所以号<1-4<1，所以号≤1a-61≤1由 2 于直线x十y十a=0与直线x十y十b=0平行，所以它们之间的距离d=la一6，所 以<号，即所求距离的最大值和策小值分别为号，分，故选心 参考答案87 8.B如图，以鼻尖所在位置为原点O,中庭下边界所在直线 为x轴，垂直中庭下边界的直线为y轴，建立平面直角坐标 系，则A(}4)B(-22),所以直线AB的斜率友= 4-2 =1,则直线AB:y-2=x十号，整理为2x-2 B (-】 0 十7=0，所以原点0到直线AB的距离d=7=7,2≈ √4+44 2.5,故该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为2.5cm.故选B. 9.BCD√x2+2x+5=√(x+1)2+4=√/(x+1)2+(0士2)2=√(x+1)2+(-1-1)2, 可看作点(x,0)与点（一1，一2）的距离，可看作点(x,0)与点（一1,2）的距离，可看作 点(x,一1)与，点（一1,1）的距离，故选项A不正确.故选BCD 10.AB由点到直线的距离公式可得一3a-4+1-16a十3+1山，化简得3a十3 Wa2+1 wa2+1 16a十4，解得a=一日我-了故选AB. 11.AB由题意知，n≠0,2=，，所以n=一4，所以12：2x一4y一6=0，即x一2y =0,由两平行直线间的距离公式得m十3 =2√5，解得m=7或m=一13， /12+(-2)2 所以m十n=3或m十n=-17.故选AB. 2.ABD由方程组一2y十10解得二0即点A(-10.又B,2,所以直 y=0 线AB的斜率为1，又∠A的平分线所在直线的方程为y=0,故直线AC的斜率为 一1，所以AC所在直线的方程为y=一(x十1)，即x十y十1=0，所以A正确；已知 BC边上的高所在直线的方程为x一2y十1=0，故直线BC的斜率为一2，故BC所 在直线的方程为y一2=-2-D.由22北-1D得点C的坐标为6、一6.所 -(x+1) 以B正确；因为B(1,2),C(5,-6),所以|BC=√(1-5)2+[2一（一6）]2=4√5，所 以C错误；点A(-1,0)到直线BC:y-2=-2X(x-1)的距离d=2X(-1)-4到 5 =6:5,所以△ABC的面积为X45×65=12,所以D正确，故连ABD, 5 5 13.答案8 解析由x2十y2的几何意义可知，它表示直线x十y一4=0上的点到原点的距离 的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x2十y2)mm /11×0+1×0-41)2 =8. √2 14.答案12√2 解析因为直线山的倾斜角为牙，所以么的斜率为1，即a=1.因为∥2，所以a=一1， 所以直线1的方程为x十y叶1=0，所以12之间的距离为d=1（一3》=22 √/12+12 15.答案2V② 3 解析如图，直线l1:x一4=一a(y一2)，l2:2(x一4)= y 一a(y一2)都过点(4,2)，即点C的坐标是（4,2).在x 十ay=2a+4中，令x=0,得y=2+所以A(0,2+ 合），同理可得B(4十a,0),连接OC,所以Sa0C =Sa0c+5=(2+4）·4+号4+a·2可 1 -8+(a+2）≥8+2a…及-8+42，当且仅方a-是两a-2g时等号成主 a 所以当a=2√2时，四边形OACB的面积取得最小值，此时，点B的坐标为(4十 2√2,0)，直线11的方程是x十2√2y一4一4√2=0，点B到直线I1的距离是 4+2√2+0-4-4W22√2 3 3 16.答案3 解析当直线的斜率不存在时，设直线方程为x=a,由题意可知a一0=2且|a一 4|=3,不存在实数使得两个式子同时成立，所以直线的斜率存在.设直线方程为 √2+一1D2①，点B(4,0)到该 )=kx十b,点A(0,3)到该直线的距离为2，即-3十b 88参考答案 克线的E秀为3即3@，男舒护-号解得6-必十9或 √/k2+(-1)2 b=9-8当6=8十9时，代入①中，得15k2+24k十8=0，该方程的判别式△=24 5 一4X15×8=96>0,该方程有两个不相等的实数根；当b=9一8时，代入①中，得 9k2一24k十16=0，该方程的判别式△=（一24）2一4×9×16=0，该方程有两个相等 的实数根.综上，可知满足题意的直线共有3条. 17.解(1)设所求直线方程为3x十4y十m=0.由题意知m+2=1,解得m=3或-7， √/32+42 所以所求直线方程为3x+4y+3=0或3x+4y一7=0. (2)设所求直线方程为3江一y十(=0，由题意，可得点P到直线的距离等于310 5 即d=-3十=30，解得c=9或c=-3, W10 5 所以所求直线方程为3x-y十9=0或3x-y一3=0. 18.解(1)若1，l2不重合，且垂直于同一条直线，则1∥12， 则a(a-1)=2X1 aX3≠2X(a十1)，解得a=-1, 则直钱4：-xy=0.l2:2x-2+3=0.即4：-y=0.x-y十号=0 3 可得两平行线间的距离d= 0-2-32,即1AB1=32. √2 4 4 （2)当a=0时，直线l2:2x-y十3=0， 因为直线L与l2垂直，所以可设直线L的方程为x十2y十m=0. 若选①， 由坐标原点到直线L的距离为1，可得m=m=1.解得m=士5， /12+22√5 此时直线L的方程为x十2y十√5=0或x十2y一√5=0. 若选②. 与00时十10.联主化时=0解得x=2-m 因为直线L与l1交点的横坐标为2，所以2-m=2,解得m=0, 此时直线L的方程为x十2y=0. 19.解(1)法一设直线1关于点A对称的直线方程为2x十y十m=0(m≠1)， 根据题意可得，点A到直线1的距离等于点A到直线2x十y十m=0(m≠1)的距 离，所以2X3+2+1=2X3+2+m,解得m=一17， 5 5 所以所求直线的方程为2x十y-17=0. 法二设P(x,y)为所求直线上一点，其关于点A(3,2)对称的点P'(x0,y0)在直线 (x十x0=3 1上，则2 所以30=4一y xo=6-x y十0=2 .2 又2x0十y0+1=0,所以2(6-x)+(4-y)+1=0,整理得2x+y-17=0, 即所求直线的方程为2x十y一17=0. (2)法一如图，记直线1：2x十y十1=0与x轴的交点为A, 与y轴的交点为B原点为0(0.0，则A(-0)小： B0,-D,记AB的中点为C,别c(-子-合)连接OC 、 A \G0 则三角形的重心G在线段OC上，且满足0心G=号0，设 G(a,b),则(ab)= /a、1 所以〈 c(-日-) b=一3 法二记直线1：2x十y十1=0与x轴的交点为A,与y轴的交点为B,原点为O(0,0),则 A(-,0),B(0,-1),则直线1与两坐标轴周成的三角形的查心空标为 (00-山)(-合》. 3 3 20.解(1)因为A(x1y1),B(x2y2)两点分别在直线11，l2上运动， 所以AB的中点D的轨迹为与1，l2平行且到l1,l2距离相等的直线， 设其方程为l3:3x十4y+m=0. 4与y轴的交点分别为(0，号)，(0，-2)，此两点的中点为(0，-日） 因为点(0，一君)在直线4上.所以0叶4×(-日)十m=0,解得m=2 所以13：6x+8y十1=0， AB的中，点D到原点的最短距离即为原，点到直线l3的距离d= √62+8210 (2)若直线l过，点M(2,3)且与x轴垂直，则1的方程为x=2, 直线1与114的交点分别为(2，号)和(2，-) 两交点之间的距高为十号-只不符合题意， 所以设直线I的斜率为k,则直线1的方程为y一3=k(x一2)， -+ 立8》国 y=4k+3 即盒线1与1的交点生标为（牛）， 8k-20 联子6-》4 4k+3 =9-14k y=4k+3 即直线1与的文点生标力（丝号学》 所以两文之同的距病丸（盟智验》十（誉）-35 解得k=一2或k=一 2 ī' 故所求直线1的方程为y=一2(x一2)十3或y=号红-2)十3， 即2x+y-7=0或2x十11y-37=0. 21.解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x十y一5)+入(x-2y)=0, 即(2+入)x+(1一2λ)y-5=0, ,点A(5,0)到1的距离为3，. 10+5λ-5 =3, √(2+A)2+(1-2x)2 即22-5入+2=0入=2，或入=2.1的方程为x=2或4虹-3y-5=0. 2由28=0部得： y y=1, 所以交点P的坐标为(2,1)， 如图，过P作任一直线l,设d为点A到l的距离，则d IPA P2,1) (当l⊥PA时等号成立). .dmax=PA=√10. A(5,0)元 2,解（I如图所示，由题意得ka=号km=多kc=3 1 y4C(2,6/B(4,6) l0A:x-3y=0,lAB:2x+y=14,lc:y=6. ①当号<k<号时，直线y=:与线段AB相交，设交点 为P1 A(6,2) 14 由名=1解得 (》 70 14k y=k+2 所以点B到立线0A的距海片·路+0A=2。 所以5=号×0A×d=1402D, k十29 ②当2<A<3时，直线y=虹与线段BC交于点P,(食6)， 所以Smc=×P,CX6=63》. k 又因为S四边形OABC=S△A0B十S△0BC=14十6=20， 所以S=S边指0HBc-S△0P,C=26-18.故S=f0)= 4,日<<号 2s-8g<k<3 (2)若要使直线y=kx(号<k<3)将四边形OABC分为面积相等的两部分， 结合(1)知只需1432-10（号<<号）：解得k= k+2 第四单元圆的标准方程、圆的一般方程 1.D圆的半径r=√/(1-0)2+(1一0)2=√2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为 (x-1)2+(y-1)2=2.故选D. 2.B将点(1,2)代入圆的方程，有(1+1)2十(2一2)2>1，所以点A在圆外，故选B. 3.C根据题意，圆C:x2十y2-2x十4y十m=0可变形为(x-1)2十（y十2)2=5-m, 则圆心C的坐标为(1，一2)，半径为/5一m,又其直径为4，则√5一m=2,解得m=1, 故选C. 4C因为国2十y2十ax一y=0的国心坐标为（一号，合），由国心在第二象限可得 a>0,b>0,所以直线x十ay-b=0的斜率-】<0，y轴上的藏距为么>0，所以该 直线一定不经过第三象限.故选C. 5.A设C点坐标为(xy),又A(-1,0),B(1,0),则AC·BC=(x+1,y)·(x-1,y) =x2十y2一1=3，即x2十y2=4,则C点在以O(0,0)为圆心，半径r=2的圆上，则 |BC表示点B到圆x2+y2=4上一动点的距离，又12+0=1<4，故点B在圆x2+ y2=4内部，则|BCImin=r-BO=1.故选A, 6.B所给圆的半径为r1+m二1)二2m=。/-(m+1D2+3,所以当m= 时，半径，取最大值此时最大面积是不故选B 7.A由圆x2十y2=1与y轴的负半轴交于点A,可得A(0,一1)，因为B为圆上的一 动点，所以可设B(cos0,sin0),所以OA·BA=(0,一1)·(-cos0,-1-sin0)= sin0+1,因为sin0∈[-1,1]，所以sin0+1∈[0,2].故选A. 8.B圆x2十y2一2x-6y=0变形为(x-1)2十(y-3)2=10,所以圆心为P(1,3),半 径r=√10.因为，点E(0,1),所以PE=√/12十(3一1)2=√5.根据题意，知最长弦 AC(即圆的直径)和最短弦BD垂直，所以|AC=2r=210,|BD=2√r2一PE2= 25.所以四边形ABCD的面积S=号×AC×BD=号X2V0X25=102. 故选B. 9.ACD由圆M:(x一4)2十(y十3)2=52，故圆心为(4，一3)，半径为5，则AC正确；令 x=0,得y=0或y=-6,线段长为6，故D正确.故选ACD. 10.ABD将x2+y-4x-14y十45=0化为(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标 为(2,7)，故A正确；因为C(2,7),Q(一2,3)两点之间的距离为 √（一2-2）2十(3-7)2=4√2>2√2，所以，点Q在圆C外，故B正确；因为点P(m,m +1)在圆C上，所以m2+(m十1)2-4m-14(m+1)+45=0,所以m=4,即P(4,5), 所以直线PQ的斜率为号，故C错误；因为圆心C(2,7),半径r=22,CQ=4巨 所以|CQ|-r≤MQ|≤CQ|十r,即2√2≤MQ≤6√2，故D正确.故选ABD. 11.AD令x=0,则y=4;令y=0,则x=2. 所以直线2x十y-4=0与两坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0).AB|= /22+42=2√/5，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2十(y一4)2=20. 以B为圆心，过A点的圆的方程为(x一2)2十y2=20.故选AD. 12.AD因为二次函数y=x2-2x十m(m≠0)的图象的对称轴是x=1,所以A,B两 点关于直线x=1对称，所以圆心M在直线x=1上，故A正确；因为二次函数y x2-2x十m(m≠0)的图象交x轴于A,B两点，所以△=4-41>0，解得m<1且m ≠0，故B错误；令y=0,即x2-2x十m=0,解得x1=1一/1一m,x2=1+√1-m, 所以可令A(1一/1-m,0),B(1+√/1-m,0),令x=0,得y=m,则C(0,m),设圆 M的方程为（红-1）2+(y-b)2=2,将A,B.C的坐标代入得1-m+b22 1+(m-b)2=2,消 去产得m2=26m,所以m=2办-1，即6="生，所以2=1-m+() m-2m+5_m-)2+4,因为m<1且m≠0，所以r>1且r≠，故C错误：园 4 4 M的方程为(x-1D2+（y",1)=m,即x2-2x+yym(y 4 =0,则圆M恒过定，点(0,1)，(2,1)，故D正确.故选AD. 13.答案2 解析，x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y十2m2-6m十4=0表示圆，∴.[-2(m- 1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m十4)>0，∴.m>1.又圆C过原点，∴.2nm2-6m十+4 =0,∴.m=2或m=1(舍去)，.m=2. 14.答案√5+3 y 解析由x2+y2+4x-2y-4=0可得(x+2)2+(y-1)2= M 9,表示以(-2,1)为圆心，3为半径的圆，√x2十y2= √(x-0)2+(y-0)2,表示圆上一点P(x,y)到(0,0)的距离， 作出图形，当圆上一点P位于M时，Jx2十y2有最大值 OM,|OM=|OC+3=/4+1+3=√5+3. 15.答案88+4π 解析方程x2+y2一2x一2y|=0,对x,y分类讨论， ①x≥0，y≥0时，方程化为(x-1)2+(y-1)2=2;②.x≥ 0,y≤0时，方程化为(x-1)2+(y十1)2=2；③x≤0，y≥0 时，方程化为(x+1)2+(y-1)2=2;④x≤0，y≤0时，方 2 /B 程化为(x十1)2+(y十1)2=2，由此可得，曲线C的形状由 0 四个大小相等的半圆和一个以直径为边长的正方形组成， -2 如图所示，所以四边形ABCD的面积是号X4X4=8,曲 A 线C所围成的封闭图形面积S=8十2π×(2)2=8十4π 16.答案√3 解析因为点D,E是y轴正半轴上的两个定点，点F是x轴正半轴上的一个动 点，根据米勒定理可知，当△DEF的外接圆与x轴相切时，∠DFE最大，易知，弦 DE的垂直平分线必过△DEF的外接圆圆心，所以弦DE中点G的纵坐标，即为 △DEF外接圆半径的大小，即r=2.设△DEF的外接圆的圆心为(a,2),其中a≥ 则a2+(DE)=2,即a2+12=22,解得a=3,所以△DEF的外接圆的方程 (x一√3)2十(y-2)2=4,令y=0,可得x=3,即点F的横坐标为3. 17.解(1)根据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, 即4m2+4-4m2-20m>0, 解得m<号故m的取值范国为(-∞，)】 (2)将方程x2+y2+2mx-2y十n2+5m=0化为标准方程，得(x十m)2+(y-1)2 =1-5m, 故圆心坐标为（一m,1),半径为/1一5m. 18.解)法一由已知得，直线AB的方程为号十言=1，即3x十4y-12=0 1x=2, 联立{3十y二28解得3则D(2,)片 8x-6y-7=0,1 y=2 又AB1=5△ABC的外接国的丰径长R=, :△ABC的分装国的方程为，一2+（是）广-空 法二由已知得，D∈AB,且D为△ABC的外心， ∴.△ABC为直角三角形，D为线段AB的中点， 国心D(2,受)国的半径长R=AB=号 △ABC的外接国的方程为(x-2)2+(y一多）-2华 (2)设点C的坐标为(a,b),由已知得AB=5, 直线AB的方程为3x十4y一12=0， 由S△Ac=10得点C到直线AB的距离d=|3a十46-12=4，即3a十4b-121= W/42+32 20,① 又，点C的坐标(a,b)满足方程x十3y十6=0，即a十3b十6=0，② 联主0@解得80成824i0点C的生折为0，-2或24-10. 19.解(1)由圆C:(x十2)2+(y-2)2=1可得圆心C(-2,2),半径为1， 设点M(4,4)关于x轴的对称点为M',易得点M的坐标为(4，一4)， 光线从M到N经过的路程，即为点M与，点V的距离， 其最小值为M'C-1=√62+(-6)2-1=6√2-1， 所以光线路程的最小值为6√2一1. (2)设点P(x,y),A(x1y1), x1+4 因为点M(4,4),线段MA的中点为P,所以 2=x y1+4 解得11=2x-4 （y1=2y-4 2=y 又因为点A在圆C上，所以(2x-4十2)2+(2y-4-2)2=1, 即(x-1D2+(y-3)2=即点P的轨连方程为(x-1)2+(y-3)2= 13 多)若逃条件①，设圆心C远，由题意得3，解得{二，所以C0,D 1x=0 设半径为r,则r=AC=/(2-0)2十(1-1)2=2. 则圆C的标准方程为x2十(y一1)2=4. 若选条件②，设圆心C(0,b),由题意知AC=/(2一0)2十(1一b)2=2,解得b=1, 所以圆心C(0,1),半径为2，所以圆C的标准方程为x2十(y-1)2=4. 若选条件③，设圆心C(0,b),由题意知AC=|MC, 即√(2-0)2+(1-b)2=/(3-0)2+(2-b)2,解得b=1, 所以圆心C(0,1),且半径为√/(W3-0)2+(2-1)2=2, 所以圆C的标准方程为x2+(y一1)2=4， (2)TA+TP=TQ,即TA=TQ-TP=PQ,又|PQ≤2r=4,所以|TA≤4， 故点T在以，点A(2,1)为圆心，以4为半径的圆的内部或圆上， 即(t-2)2+(0-1)2≤16，解得2-√15≤t≤2+√15， 即实数t的取值范围是[2-√15,2+√15]. 21.解因为(m-22+m十D24m-2》=226m+13=2m）)/土7>0包 成立所以无论m为何值，方程总表示国，且同心坐标为(2三。m士)，国的半 径r=号√2m2-6m+13. 1)当圆的丰径最小时，图的面积最小.r=号V2m-6m十13=号 √2（侧号）广十号≥厚，当显仅当m一多时，等号成立光时面积藏小 4 所以当圆的面积最小时，国心坐标为（什一子），辛径r= 41 （2)圆心到生标原点的距商d=2(m-)》'干 号≥32，当且仅当m=2时，圈 29 4 心到坐标原点的距离最近，此时，圆心坐标为（任，一）丰径r=平 4 22.解(1)因为点A的坐标满足方程x2+y4=4,所以t=4,解得t=一2或t=√2 (舍去)，所以A(0,-√2).BA=BC=√22+(W2)2=√6，AC=2√2， AC-aRC2号 2BA·BC 因此△ABC是锐角三角形，即△ABC的最小覆盖圆是其外接圆. 设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx十Ey十F=0, 2-√2E+F=01D=-1 则2+√2E+F=0,解得E=0, 4+2D+F=0 F=-2 即△ABC的外接圆方程为x2十y2-x一2=0. 所以△ABC的最小覆盖圆的方程是x2十y2-x-2=0. (2)因为线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆， 所以线段BD的最小覆盖圆的方程为x2十y2=4. 记O为坐标原点， 又OA=OC=√2<2，所以点A,C在圆x2十y2=4内， 所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程是x2十y2=4. (3)设P(a,b)是平面图形W上一点， 则oP1=a2+6=-6++4=-(-）°+平(-<≤②. 当6=p6=±号时，oP=9. 因为平面图形W关于原点中心对称， 所以平面图形W的最小覆盖圆的方程是2+y 参考答案89