1.1.3 直线的方程 课时2 两点式、截距式和一般式导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线的两点式、截距式和一般式方程，通过“温故”回顾点斜式、斜截式及其适用条件，“知新”引导探究新方程推导过程与限制条件，搭建前后知识衔接的学习支架。 资料以预习提要明确目标，课前自测分层检验，反思拓展强调方程适用条件与数形结合，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念），习题设计兼顾基础与应用，助力严谨解题和知识转化。

1.1.3 直线的方程 课时2 两点式、截距式和一般式 预习提要 1.回顾直线点斜式、斜截式方程，梳理各类直线方程适用条件，体会借助几何条件建立直线方程的思路，做好知识铺垫. 2.研读课本，探究两点式、截距式推导过程，明确限制条件，认识直线一般式，掌握各类方程相互转化，尝试根据条件求直线方程. 【温故】 1.直线方程的点斜式：方程 就是经过点且斜率为的直线的方程，称为直线方程的点斜式．特殊地，当直线的斜率为0，即时，直线与轴平行（或重合），直线方程为 ． 2.直线方程的斜截式： 为直线方程的斜截式．该方程中的为直线的斜率，为直线在轴上的 ．若直线经过点，且与轴垂直，则直线的斜率不存在，此时直线的方程为 ． 【知新】 1.直线方程的两点式：对于倾斜角不为的直线，由直线上任意两点算出的斜率是一个恒定的常数，因此，即 （其中，）．这个方程称为直线方程的两点式． 2.直线方程的截距式：通常，称方程 （其中）为直线方程的截距式．其中，为直线在轴上的截距，为直线在轴上的截距． 3.直线方程的一般式：关于的二元一次方程 （不全为0）表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． *4.直线方程的点法式：若直线经过点，且它的一个法向量为，那么直线方程为 ，称为直线方程的点法式． 课前自测 1.已知点，，则直线AB在y轴上的截距为( ) A. B. C. D. 2.已知直线，则下列结论正确的是( ) A.直线l的倾斜角为 B.直线l的斜率为 C.直线l在y轴上的截距为 D.向量是直线l的一个法向量 3.（多选）直线l过点，且在两坐标轴上的截距之和为，则直线l的方程为( ) A. B. C. D. 4.若直线l经过点，且直线l的一个法向量为，则直线l的方程为________. 5.求分别满足下列条件的直线l的一般式方程. （1）经过点，且与x轴垂直； （2）斜率为，在y轴上的截距为7； （3）经过，两点. 反思 【拓展】 两点式适用于已知直线两点且不垂直坐标轴的直线，结构对称规范；截距式仅限横纵截距均存在且不为零的直线，无法表示过原点或垂直坐标轴直线. 所有直线均可化为一般式，无适用局限. 解题需根据已知条件灵活选式，最后常统一为一般式书写答案，规避特殊直线遗漏问题. 笛卡尔说：几何直观有形，代数推演有据. 直线的多种方程形式，是数形结合思想的生动体现. 不同表达式适配不同条件，受限公式简洁高效，通用公式包容全面. 灵活选用方程形式、规避适用盲区，能培养分类辨析、择优解题、严谨周全的解析几何思维. 【思考】 1.两点式和截距式分别不能表示哪些特殊直线，原因是什么？ 2.为什么解题最终结果通常统一整理为直线的一般式形式？ 答案及解析 【温故】 1. 2. 截距 【知新】 1. 2. 3. 4. 课前自测 1.答案：B 解析：因为直线经过两点和，所以直线AB的方程为，化简得，令，则，所以直线AB在y轴上的截距为.故选B. 2.答案：D 解析：因为直线的方程即，所以直线l的斜率为，倾斜角为，在y轴上的截距为1，故A，B，C错误；对于D，因为直线的一个方向向量为，所以是它的一个法向量，故D正确.故选D. 3.答案：BC 解析：由题意得，直线在两坐标轴上均有截距且截距均不为0，故设所求直线方程为，则解得或故直线方程为或，故选BC. 4.答案： 解析：由题意得直线的方程为，即. 5.答案：（1） （2） （3） 解析：（1）因为直线l经过点，且与x轴垂直， 所以直线l的方程为，化成一般式为. （2）由直线l的斜率为，在y轴上的截距为7， 得直线的斜截式方程为，化成一般式为. （3）由直线l经过，两点， 得直线的两点式方程为，整理得. 学科网（北京）股份有限公司 $