1.1.3 直线的方程 课时1 点斜式、斜截式——2026-2027学年高中数学高二上学期北师大版选修一导学案

1.1.3 直线的方程 课时1 点斜式、斜截式 预习提要 1.回顾斜率公式与一次函数图象，探究已知直线上一点及斜率确定直线位置的几何要素； 2.阅读课本内容，探究直线的点斜式与斜截式方程的推导过程，掌握这两种方程的形式与适用范围，理解截距的概念. 【温故】 1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向） 按 方向绕着交点旋转到和直线首次 时所成的角，称为直线的倾斜角．通常倾斜角用表示．当直线和轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ．直线的倾斜角的取值范围为 ．倾斜角越接近 ，倾斜程度越大． 2.直线的斜率： （其中）为经过不同两点，的直线的斜率．若直线垂直于轴，则它的斜率 ；若直线不与轴垂直，则它的斜率 ． 【知新】 1.直线的方程：一般地，如果一条直线上的每一点的坐标都是一个 ，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线上，那么这个方程称为直线的方程． 2.直线方程的点斜式：方程 就是经过点且斜率为的直线的方程，称为直线方程的点斜式．特殊地，当直线的斜率为0，即时，直线与轴平行（或重合），直线方程为 ． 3.直线方程的斜截式： 为直线方程的斜截式．该方程中的为直线的斜率，为直线在轴上的 ．若直线经过点，且与轴垂直，则直线的斜率不存在，此时直线的方程为 ． 课前自测 1.直线在y轴上的截距为( ) A. B. C. D. 2.方程表示( ) A.过点的所有直线 B.过点且不垂直于y轴的所有直线 C.过点且不垂直于x轴的所有直线 D.过点且除去x轴的所有直线 3.过点且方向向量为的直线方程为( ) A. B. C. D. 4.倾斜角为，在y轴上的截距为的直线方程是( ) A. B. C. D. 5.已知直线l的倾斜角为，且过点，则直线l的方程为( ) A. B. C. D. 【拓展】 点斜式是所有直线方程的推导基础，也是解析几何最核心的通式.斜截式是点斜式的特殊形式，对应初中一次函数.需要注意两类直线无法使用该公式：斜率不存在的竖直直线.生活中斜面建模、运动轨迹、坡度计算，均依靠点斜式建模，是后续直线位置关系、圆锥曲线计算的必备基础. 在求解直线方程时，需牢记“因题制宜”的原则.已知一点和斜率首选点斜式，已知斜率和y轴截距则用斜截式.务必警惕“斜率不存在”这一特殊情况，此时直线垂直于x轴，只能用表示.同时，要深刻理解截距是坐标值而非距离，可为正、负或零. 【思考】 1.点斜式、斜截式为什么只适用于斜率存在的直线？竖直直线该用什么方程表示？ 2.斜截式中的截距是坐标而非距离，预习中如何区分截距和线段长度，避免符号出错？ 3.已知定点和倾斜角，需要先求斜率再写方程，若倾斜角为90°，书写方程时有哪些易错点？ 巩固练习 1．直线的斜率为( ) A. B. C. D. 2．过点,并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( ) A. B.或 C. D.或 3．过点且斜率为的直线的方程为( ) A. B. C. D. 4．直线在y轴上的截距为( ) A. B.1 C. D. 5．如果,那么直线一定经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.坐标原点 6．已知直线l过点,且直线l的一个方向向量为,则直线l的方程是( ) A. B. C. D. 7．如果，，那么直线不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8．已知的三个顶点分别为，，. （1）求的三边所在直线的方程； （2）求的三条中线所在直线的方程. 9．求经过点，且倾斜角为的直线的方程. 答案及解析 【温故】 1.逆时针 重合 0 2. 不存在 存在且唯一 【知新】 1.方程的解 2. 3. 截距 课前自测 1.答案：A 解析：在中，令得，则直线在y轴上的截距为.故选A. 2.答案：C 解析：为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点.故选C. 3.答案：C 解析：由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即. 4.答案：D 解析：直线倾斜角是，直线的斜率等于﹣1，在y轴上的截距是，由直线方程的斜截式得：，即，故选D． 5.答案：D 解析：因为直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率.又因为直线l过点，所以直线l的点斜式方程为，即.故选D. 巩固练习 1．答案：C 解析：将直线一般式方程转化为斜截式方程得到. 所以斜率为. 故选：C. 2．答案：D 解析：若直线在坐标轴上的截距为0,设直线方程为, 因为直线过点,所以,即, 所以直线方程为,即; 若直线在坐标轴上的截距不为0,设直线方程为, 因为直线过点,所以,解得, 所以直线方程为,即. 故所求直线方程为或. 故选:D. 3．答案：D 解析：过点且斜率为的直线的方程为:, 化为一般式. 故选：D. 4．答案：A 解析：直线在y轴上的截距为. 故选：A 5．答案：B 解析：直线在x轴上的截距为, 在y轴上的截距为, 因为,所以a,b同号, 则直线在坐标轴上的截距同正或同负,如图, 则直线一定经过第二象限. 故选:B 6．答案：B 解析：因为直线l的一个方向向量为,则该直线的斜率为, 又因为直线l过点,故该直线的方程为. 故选:B. 7．答案：C 解析：因为，所以，直线可化为， 因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限. 故选：C. 8． 解析：（1）直线AB的方程为；直线AC的方程为；直线BC的方程为. （2）由AB的中点为，可得AB边上的中线所在直线的方程为； 由BC的中点为，可得BC边上的中线所在直线的方程为； 由AC的中点为，可得AC边上的中线所在直线的方程为. 9．答案： 解析：直线的倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线的点斜式方程为， 学科网（北京）股份有限公司 $