1.1.3 第3课时 直线方程的一般式-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

第3课时　直线方程的一般式 (教师独具内容) 课程标准：1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式.2.会进行直线方程几种形式间的转化． 教学重点：利用直线的几种形式解决相应的问题． 教学难点：直线方程各种形式的相互转化及适用范围． 核心素养：通过学习直线方程的一般式，提升逻辑推理及数学抽象素养. 知识点一　　直线方程的一般式 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示．反之，任何关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线． (3)特殊情形：①当B≠0时，y＝－x－，它表示平面直角坐标系中一条与x轴不垂直的直线； ②当B＝0，且A≠0时，x＝－，它表示平面直角坐标系中一条与x轴垂直的直线． *知识点二　　直线方程的点法式 (1)法向量：与方向向量垂直的向量称为直线的法向量． (2)点法式：已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，则方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0是直线l的方程．称这个方程为直线方程的点法式． 1．二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的． 2．二元一次方程的系数和常数项对直线位置的影响 (1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行． (2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直． (3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线与x轴重合． (4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线与y轴重合． (5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式．(　　) (2)任何一条直线方程的一般式都能与其他几种形式互化．(　　) (3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示垂直于x轴的直线．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 (2)经过点A(－2,1)，斜率是的直线方程的一般式为_____________________. (3)若直线l方程的一般式为2x－3y＋12＝0，则直线l的斜率是________，在y轴上的截距是________. (4)将直线l方程的一般式x－2y＋4＝0化为截距式方程为________________. 答案　(1)D　(2)x－3y＋5＝0　(3)　4 (4)＋＝1 题型一　　直线方程的一般式与其他形式的互化　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值： (1)直线l的斜率为－1； (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. [解]　(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5. (2)直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1. 1．一般式化为斜截式的步骤 (1)移项，得By＝－Ax－C； (2)当B≠0时，得斜截式：y＝－x－. 2．一般式化为截距式的步骤 方法一： (1)把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C； (2)当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1； (3)当AB≠0时，化为截距式：＋＝1. 方法二： (1)令x＝0求直线在y轴上的截距b； (2)令y＝0求直线在x轴上的截距a； (3)当ab≠0时，代入直线方程的截距式得＋＝1. 由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式． [跟踪训练1]　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解　(1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等，∴a＝2，此时l的方程为3x＋y＝0. 若a≠2，由截距存在且均不为零有＝a－2， 即a＋1＝1，∴a＝0，此时l的方程为x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2. ∴或解得a≤－1. 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1