4.3 对数【考点突破+强化训练】2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

4.3 对数 知识点1：对数的概念 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数式与指数式的关系 3．常用对数与自然对数 【注意】 1．logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数． 2．在x＝logaN中N>0． 3．在指数式与对数式中，a，x，N这三个量的异同． 类别 表达式 名称 a x N 指数式 ax＝N 底数 指数 幂值 对数式 x＝logaN 底数 对数 真数 知识点2：对数的基本性质及对数恒等式 1．对数的基本性质 (1)负数和0没有对数． (2)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 2．对数恒等式： ＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 知识点3：对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN． (2)loga＝logaM－logaN． (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【注意】(1)性质的逆运算仍然成立； (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义． 知识点4：对数的换底公式 1．对数换底公式：logab＝． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝． logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1． 【注意】(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)将不同底对数转换为相同底对数，在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝． 考点一　对数的概念判断与求值 考点二　指数式与对数式的互化 考点三　对数的运算 考点四　对数的运算性质的应用 考点五　运用换底公式化简计算 考点六　运用换底公式证明恒等式 考点一　对数的概念判断与求值 1．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 2．（25-26高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【详解】由题. 故选：C. 3．（25-26高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 4．（25-26高二下·山东日照·期末）已知函数，则______ . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质和对数求值即可求解. 【详解】因为函数，且， 所以， 故答案为：. 考点二　指数式与对数式的互化 5．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号. 故选：B. 6．（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 7．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据对数式与指数式的互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：B 8．（25-26高一上·天津河西·阶段检测），，则______． 【答案】 【分析】利用指对互化得，变形得，解二次方程求得，即可得解. 【详解】设，则， 所以，因为，所以， 所以，即， 解得或（负根舍去）， 所以. 故答案为： 9．（25-26高一上·北京·阶段检测）方程的解为_____. 【答案】1 【分析】将方程转化为，按照一元二次方程的解法求得，所以.即方程的解为. 【详解】，得，整理得. 即. 因为，所以，所以，所以. 所以方程的解为. 故答案为：. 10．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两个方程化简变形，构造函数，结合函数单调性可得与的关系，即可得解. 【详解】由已知，，，， 则，且，即， 设函数，可知函数在上单调递增， 则，则，即， 所以， 故选：D. 考点三　对数的运算 11．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 12．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 13．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）（多选）已知非零实数，满足，则下列各式中为定值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】令，则，，结合对数的运算性质判断各选项是否正确. 【详解】令，且，则，， 所以，当的值变化时，不确定，则的值不为定值，A选项错误； ，为定值，B选项正确； ，为定值，C选项正确； ，当的值变化时，不确定，则的值不为定值，D选项错误. 14．（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . 15．（25-26高二下·河南南阳·期末）（多选）下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】AD 【分析】利用分数指数幂的运算即可判断A；利用完全平方公式计算即可判断B；利用换底公式计算即可判断C；根据对数的运算法则计算即可判断D． 【详解】对于A，由，则，即，所以，故A正确； 对于B，由，则，所以，故B错误； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D正确． 16．（25-26高一上·辽宁大连·期中）化简并计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)1 (3)19 【分析】使用指对运算法则求解. 【详解】（1），， ， ， 原式 （2） （3）令， 则 ， 又，，， 原式. 考点四　对数的运算性质的应用 17．（2026高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【详解】（1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． 18．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． 【答案】 【详解】. 19．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）方法1：因为，，则，， 所以； 方法2：因为，， 则， 所以． （2）方法1：因为，，则，， 则， 所以； 方法2：由，，则，． 所以． 20．（25-26高二下·宁夏银川·期末）计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据幂的运算法则和对数运算法则计算； （2）根据根式的定义与对数的运算法则、换底公式计算； （3）利用对数的运算法则、换底公式和根式的定义计算. 【详解】（1）； （2） ； （3）. 21．（25-26高一下·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 【答案】 【分析】将指数化为对数，结合对数运算求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 22．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，，则__________（用、表示） 【答案】/ 【分析】由已知可得出，再利用换底公式结合对数运算可将用、表示. 【详解】因为，则， 又因为，所以，. 故答案为：. 考点五　运用换底公式化简计算 23．（2026高二下·全国·竞赛）设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 【答案】 【分析】利用对数的换底公式统一底数求解. 【详解】可化为，即，所以① 可化为，同理得②， 可化为，同理得③ 将①②③式相加得 得到，即，所以，所以. 24．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知实数满足，且，则的值为___________. 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，则， 由，得，联立解得或， 因此或，所以. 25．（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 26．（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则________． 【答案】 【分析】根据换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，可得出的值，即可得出的值. 【详解】因为、为正数，若，且，即，即， 即，即， 整理可得，即， 解得或，故有或，故. 27．（25-26高一上·四川巴中·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)18 (2)2 【分析】（1）将各数利用和的指数幂加以表示，利用指数的运算法则化简计算可得结果； （2）根据对数的运算性质及换底公式即可求解. 【详解】（1）； （2）. 28．（25-26高一下·江西九江·开学考试）化简与计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 考点六　运用换底公式证明恒等式 29．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2) 由，得，. 所以，， 则，故. 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）略 30．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）求值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值； （2）利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值； （3）利用换底公式结合对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原式 . 31．（25-26高一上·湖南株洲·期中）计算： (1)； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数运算法则，直接计算即可得解． （2）先根据指数运算法则化简所求式子，然后将已知条件代入，利用换底公式化简计算即可求解． 【详解】（1） ． （2）因为，， 所以 ． 32．（25-26高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 1．（25-26高一上·全国·专题训练）对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 2．（25-26高一下·贵州·期中）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】因为 所以，. 3．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 4．（25-26高二下·云南昭通·期末）设且且，若，则的最小值是（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到的关系式，再用基本不等式求最小值. 【详解】由换底公式可得，，， 原式化为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 5．（25-26高一下·湖南邵阳·期末）随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出，即可选出答案. 【详解】， 所以 6．（25-26高二下·天津·阶段检测）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将指数式转化为对数式，利用换底公式的倒数关系表示和，代入已知等式结合对数运算性质求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，因为，所以. 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 8．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指对数转化，再借助换底公式，然后进行对数运算，即可判断各选项. 【详解】由，可得， 则，故A错误； 由分别转化为对数式，结合换底公式可得： ，故；，故； ，故， 由，， 显然，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 9．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）（多选）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据指数、对数的运算法则，化简计算，即可得答案. 【详解】对于A，由对数恒等式知，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，，故D错误. 10．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）（多选）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D. 【详解】A，，故A错误； B，，故B正确； C，，故C正确； D，，所以，故D正确. 11．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）（多选）下列指数式与对数式互化正确的有（    ） A．与ln1=0 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【分析】用指数式与对数式互化关系，逐项确定答案. 【详解】A选项，化为，A选项正确； B选项，化为，B选项正确； C选项，化为，C选项错误； D选项，化为，D选项正确； 故选：ABD. 12．（2026·浙江·模拟预测）已知，则__________. 【答案】36 【详解】由于，则，， ，，   13．（25-26高二下·天津河东·期末）已知，，则_____________． 【答案】 【详解】由，得，而， 所以. 14．（2025高三下·甘肃·竞赛）若，则_________． 【答案】 【详解】，即， ，故得，所以， 解得. 15．（25-26高二下·天津河东·阶段检测）________． 【答案】 【分析】利用指数幂的运算和对数的运算及换底公式求解. 【详解】 . 16．（25-26高一上·全国·专题训练）计算下列各题： (1)； (2). (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 17．（2026高一上·陕西咸阳·竞赛）（1）求的值； （2）设，用表示. 【答案】（1）1；（2） 【详解】（1）； （2）因为， 所以 . 18．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）计算： (1)（均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）； (2) (3) (4). 【答案】(1)； (2)； (3)4； (4)． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式=． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 对数 知识点1：对数的概念 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数式与指数式的关系 3．常用对数与自然对数 【注意】 1．logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数． 2．在x＝logaN中N>0． 3．在指数式与对数式中，a，x，N这三个量的异同． 类别 表达式 名称 a x N 指数式 ax＝N 底数 指数 幂值 对数式 x＝logaN 底数 对数 真数 知识点2：对数的基本性质及对数恒等式 1．对数的基本性质 (1)负数和0没有对数． (2)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 2．对数恒等式： ＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 知识点3：对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN． (2)loga＝logaM－logaN． (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【注意】(1)性质的逆运算仍然成立； (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义． 知识点4：对数的换底公式 1．对数换底公式：logab＝． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝． logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1． 【注意】(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)将不同底对数转换为相同底对数，在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝． 考点一　对数的概念判断与求值 考点二　指数式与对数式的互化 考点三　对数的运算 考点四　对数的运算性质的应用 考点五　运用换底公式化简计算 考点六　运用换底公式证明恒等式 考点一　对数的概念判断与求值 1．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 2．（25-26高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·山东日照·期末）已知函数，则______ . 考点二　指数式与对数式的互化 5．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 8．（25-26高一上·天津河西·阶段检测），，则______． 9．（25-26高一上·北京·阶段检测）方程的解为_____. 10．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 考点三　对数的运算 11．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 12．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）（多选）已知非零实数，满足，则下列各式中为定值的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 15．（25-26高二下·河南南阳·期末）（多选）下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 16．（25-26高一上·辽宁大连·期中）化简并计算下列各式： (1)； (2)； (3). 考点四　对数的运算性质的应用 17．（2026高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)已知，求的值． 18．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． 19．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 20．（25-26高二下·宁夏银川·期末）计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 21．（25-26高一下·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 22．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，，则__________（用、表示） 考点五　运用换底公式化简计算 23．（2026高二下·全国·竞赛）设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 24．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知实数满足，且，则的值为___________. 25．（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 26．（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则________． 27．（25-26高一上·四川巴中·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 28．（25-26高一下·江西九江·开学考试）化简与计算 (1)； (2)． 考点六　运用换底公式证明恒等式 29．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 30．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）求值： (1)； (2)； (3) 31．（25-26高一上·湖南株洲·期中）计算： (1)； (2)已知，，求的值． 32．（25-26高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·全国·专题训练）对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州·期中）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 3．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D．1 4．（25-26高二下·云南昭通·期末）设且且，若，则的最小值是（   ） A． B． C．8 D．16 5．（25-26高一下·湖南邵阳·期末）随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·天津·阶段检测）若，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 8．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）（多选）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）（多选）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 11．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）（多选）下列指数式与对数式互化正确的有（    ） A．与ln1=0 B．与 C．与 D．与 12．（2026·浙江·模拟预测）已知，则__________. 13．（25-26高二下·天津河东·期末）已知，，则_____________． 14．（2025高三下·甘肃·竞赛）若，则_________． 15．（25-26高二下·天津河东·阶段检测）________． 16．（25-26高一上·全国·专题训练）计算下列各题： (1)； (2). (3). 17．（2026高一上·陕西咸阳·竞赛）（1）求的值； （2）设，用表示. 18．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）计算： (1)（均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）； (2) (3) (4). 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $