第八周 第2天 对数函数的图象和性质（二） 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第八周 第 2天 对数函数的图象和性质(二) 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.进一步掌握对数函数的图象和性质. (重点) 2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题. (重难点) 3.了解反函数的概念和图象特点. 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 与对数函数有关的定义域(值域)问题 🎯例1-1 函数y=的定义域为　　　　.  🎯例1-2 已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围. 🎯一题多变　若例1-2中的“f(x)的定义域为R”改为“f(x)的值域为R”，求实数a的取值范围. 🎯例1-3 已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值． (1)求形如y=的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围. (2)把函数f(x)=logag(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1函数g(x)=lo-mx2+mx+1)的定义域为R，则实数m的取值范围为　　　　.  🎯跟踪练习 1-2已知函数f(x)=log2(x+1)-2. (1)若f(x)>0，求x的取值范围； (2)若x∈(-1，3]，求f(x)的值域. 🎯跟踪练习 1-3求下列函数的值域． (1)y＝log3(2x－1)，x∈[1，2]； (2)y＝(log2x)2－4log2x＋5，x∈[1，2]. 知识点2 与对数函数有关的综合性问题 🎯例2-1 已知函数f(x)＝lg . (1)若f(x)为奇函数，求a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m，n的值． 🎯例2-2 已知a≠2，函数f(x)=lg是奇函数. (1)求函数f(x)的解析式； (2)讨论f(x)的单调性. 解决综合性问题的关注点: (1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提； (2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性． 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1　若函数f(x)＝ln (x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 🎯跟踪练习 2-2　设函数f(x)＝lg (a∈R)，且f(1)＝0. (1)求a的值； (2)求f(x)的定义域； (3)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明． 知识点3 反函数 ❓ 问题　在同一坐标系下，画出函数y=2x与y=log2x的图象，观察两函数图象的关系. 💬 提示　 💡知识梳理 1、反函数：一般地，指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换. 2．性质： (1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称． (2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域． 🎯例3-1若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f的值为________． 🎯例3-2设常数a∈R，函数f(x)＝log2(x＋a).若f(x)的反函数的图象经过点(3，1)，则a＝________． 🎯例3-3 若函数g(x)是函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的反函数，则函数g(x)的定义域为　　　　.  互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数. (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换. (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 反思 归纳 🎯跟踪练习 3-1 　y=3x与y=log3x的图象关于(　　) A.x轴对称 B.直线y=x对称 C.原点对称 D.y轴对称 🎯跟踪练习 3-2 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为(　　) A．2 B． C．2或 D．3 自学小结 对数函数的图象和性质（二） 1.知识清单： (1)与对数函数有关的定义域(值域)问题 (2)与对数函数有关的综合性问题 (3)了解反函数的概念和图象. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：求对数型函数的定义域时，有时需求几部分的交集. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.函数f(x)=的定义域为(　　) A.(0，2) B.(0，2] C.(2，+∞) D.[2，+∞) 2.函数 f(x)=log2x-2在[8]上的值域为(　　) A. B. C. D. 3.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　) A. B. C.2 D.4 4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点则a=　　　　.  5．若函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上有最小值为－2，求实数a的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第八周 第 2天 对数函数的图象和性质(二) 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.进一步掌握对数函数的图象和性质. (重点) 2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题. (重难点) 3.了解反函数的概念和图象特点. 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 与对数函数有关的定义域(值域)问题 🎯例1-1 函数y=的定义域为　　　　.  【解】　要使函数有意义，则lg(2-x)≥0，∴∴x≤1.故函数的定义域为(-∞，1]. 答案　(-∞，1] 🎯例1-2 已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围. 【解】　由f(x)的定义域为R，得ax2+2x+1>0恒成立， 当a=0时，2x+1>0，x>-不符合题意； 当a≠0时，由 解得a>1. 即实数a的取值范围为(1，+∞). 🎯一题多变　若例1-2中的“f(x)的定义域为R”改为“f(x)的值域为R”，求实数a的取值范围. 【解】　因为f(x)的值域为R，所以{y|y=ax2+2x+1}⊇(0，+∞)，(也可以说y=ax2+2x+1取遍一切正数) ①当a=0时，y=2x+1可以取遍一切正数，符合题意； ②当a≠0时，需即0<a≤1. 综上，实数a的取值范围为[0，1]. 🎯例1-3 已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值． 【解】　(1)由题意得解得－1<x<3.所以f(x)的定义域为(－1，3). (2)f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3)＝loga[－(x－1)2＋4]，－1<x<3， 若0<a<1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4， 所以loga4＝－2，即a－2＝4.又0<a<1，所以a＝. 若a>1，则当x＝1时，f(x)有最大值log a4，f(x)无最小值． 综上可知，a＝. (1)求形如y=的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围. (2)把函数f(x)=logag(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1函数g(x)=lo-mx2+mx+1)的定义域为R，则实数m的取值范围为　　　　.  【解】由题意，得-mx2+mx+1>0在R上恒成立，即mx2-mx-1<0在R上恒成立， 当m=0时，-1<0恒成立，符合题意. 当m≠0时得-4<m<0， 故实数m的取值范围为(-4，0]. 答案　(-4，0] 🎯跟踪练习 1-2已知函数f(x)=log2(x+1)-2. (1)若f(x)>0，求x的取值范围； (2)若x∈(-1，3]，求f(x)的值域. 【解】(1)由题意得log2(x+1)-2>0，∴log2(x+1)>2，∴x+1>4，∴x>3.∴x的取值范围是(3，+∞). (2)∵x∈(-1，3]，∴x+1∈(0，4]，∴log2(x+1)∈(-∞，2]，∴log2(x+1)-2∈(-∞，0]. ∴f(x)的值域为(-∞，0]. 🎯跟踪练习 1-3求下列函数的值域． (1)y＝log3(2x－1)，x∈[1，2]； (2)y＝(log2x)2－4log2x＋5，x∈[1，2]. 【解】(1)因为1≤x≤2，所以1≤2x－1≤3，所以0＝log31≤log3(2x－1)≤log33＝1.所以函数y＝log3(2x－1)，x∈[1，2]的值域是[0，1]. (2)令t＝log2x，x∈[1，2]，则0≤t≤1，且y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1.由二次函数的图象，可知函数y＝(t－2)2＋1在[0，1]上为减函数，所以当t＝0时，y取最大值，且ymax＝02－4×0＋5＝5；当t＝1时，y取最小值，且ymin＝12－4×1＋5＝2.所以原函数的值域为[2，5].　 知识点2 与对数函数有关的综合性问题 🎯例2-1 已知函数f(x)＝lg . (1)若f(x)为奇函数，求a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m，n的值． 【解】　(1)因为f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0， 即lg ＋lg ＝0，所以＝1， 解得a＝1(a＝－1时，函数f(x)无意义，故舍去). (2)由(1)知f(x)＝lg ，则＞0，解得－1＜x＜1，即函数f(x)的定义域为(－1，1). 当x∈(－1，1)时，t＝＝－1＋为减函数，而y＝lg t在定义域内为增函数，所以f(x)＝lg 在(－1，1)内是减函数，又f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，所以f(n)＝lg ＝－1，当x＝m时，f(x)无意义，所以n＝，m＝－1. 即m＝－1，n＝. 🎯例2-2 已知a≠2，函数f(x)=lg是奇函数. (1)求函数f(x)的解析式； (2)讨论f(x)的单调性. 【解】　(1)因为函数f(x)=lg是奇函数，则f(-x)+f(x)=lg+lg=lg=0， 可得=1对于-<x<恒成立，整理可得(4-a2)x2=0对于-<x<恒成立，可得4-a2=0， 因为a≠2，所以a=-2.所以f(x)=lg. (2)设任意-<x1<x2<可得-1<2x1<2x2<1，所以-1<-2x2<-2x1<1，得0<1-2x2<1-2x1<2， 因为0<1+2x1<1+2x2，所以0<<1，0<<1， 所以f(x2)-f(x1)=lg-lg=lg<lg 1=0， 所以f(x2)<f(x1)， 因此f(x)在上单调递减. 解决综合性问题的关注点: (1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提； (2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性． 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1　若函数f(x)＝ln (x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 【解】设g(x)＝x2－ax＋1，因为y＝ln t在区间(0，＋∞)上单调递增，要使f(x)＝ln (x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，则g(x)＞0，且g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，所以 即解得a≤，即实数a的取值范围是. 🎯跟踪练习 2-2　设函数f(x)＝lg (a∈R)，且f(1)＝0. (1)求a的值； (2)求f(x)的定义域； (3)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明． 【解】(1)函数f(x)＝lg (a∈R)，且f(1)＝0，则f(1)＝lg ＝0，则＝1，解得a＝2. (2)由(1)得f(x)＝lg ，必有＞0，解得x＞－1，即函数f(x)的定义域为(－1，＋∞). (3)f(x)＝lg 在区间(0，＋∞)上单调递减． 证明：设0＜x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝lg －lg ＝lg ＝lg (x2＋1)－lg (x1＋1). 因为0＜x1＜x2，所以lg (x2＋1)＞lg (x1＋1)， 即f(x1)＞f(x2)，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 知识点3 反函数 ❓ 问题　在同一坐标系下，画出函数y=2x与y=log2x的图象，观察两函数图象的关系. 💬 提示　 💡知识梳理 1、反函数：一般地，指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换. 2．性质： (1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称． (2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域． 🎯例3-1若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f的值为________． 【解】 f(x)＝log3x，f＝log3＝－log32.答案：－log32 🎯例3-2设常数a∈R，函数f(x)＝log2(x＋a).若f(x)的反函数的图象经过点(3，1)，则a＝________． 【解】由题意易知函数f(x)＝log2(x＋a)的图象经过点(1，3)，则log2(1＋a)＝3，解得a＝7. 答案：7 🎯例3-3 若函数g(x)是函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的反函数，则函数g(x)的定义域为　　　　.  【解】　函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的值域为因为函数g(x)是其反函数， 所以函数g(x)的定义域为. 答案　 互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数. (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换. (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 反思 归纳 🎯跟踪练习 3-1 　y=3x与y=log3x的图象关于(　　) A.x轴对称 B.直线y=x对称 C.原点对称 D.y轴对称 【解】　函数y=3x与函数y=log3x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称. 答案　B 🎯跟踪练习 3-2 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为(　　) A．2 B． C．2或 D．3 【解】　方法一：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a＞0，且a≠1)，故y＝logax的图象过点(，a)，则a＝loga＝. 方法二：因为函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，所以函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点(a，)，所以aa＝＝a，即a＝. 故选B 自学小结 对数函数的图象和性质（二） 1.知识清单： (1)与对数函数有关的定义域(值域)问题 (2)与对数函数有关的综合性问题 (3)了解反函数的概念和图象. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：求对数型函数的定义域时，有时需求几部分的交集. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.函数f(x)=的定义域为(　　) A.(0，2) B.(0，2] C.(2，+∞) D.[2，+∞) 【解】　由题意得即解得x>2.∴函数f(x)的定义域为(2，+∞). 答案　C 2.函数 f(x)=log2x-2在[8]上的值域为(　　) A. B. C. D. 【解】　　因为y=log2x在[8]上单调递增，所以log2≤log2x≤log28，即log2x∈. 故log2x-2∈即函数f(x)在[8]上的值域为.答案　B 3.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　) A. B. C.2 D.4 【解】　由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减，∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得， 即f(0)+f(1)=a，即1+a+loga2=a，∴loga2=-1，解得a=.答案　B 4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点则a=　　　　.  【解】 由题意得f(x)=logax(a>0，且a≠1，x>0)，因为f(x)的图象过点所以loga所以所以a2=2，所以a=负值舍去). 5．若函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上有最小值为－2，求实数a的值． 【解】若a＞1，函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上为增函数，所以当x＝1时，y有最小值，即ymin＝loga1＝0≠－2，不符合题意；若0＜a＜1，函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上为减函数，所以当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，所以a－2＝＝5，解得a＝. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $