3.3 幂函数【考点突破+强化训练】讲义-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

3.3 幂函数 知识点1：幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【注意】幂函数解析式的特征： (1)xα的系数为1． (2)x为自变量． (3)α为常数． 知识点2：幂函数的图象与性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 公共点 都经过点_(1，1)_ 考点一　判断函数是否是幂函数 考点二　求幂函数的值及其解析式 考点三　根据函数是幂函数求参数 考点四　求幂函数的定义域的问题 考点五　求幂函数的值域的问题 考点六　幂函数图象的判断及应用 考点七　幂函数图象过定点问题 考点八　幂函数的单调性的问题 考点九　幂函数的奇偶性的问题 考点十　由幂函数的单调性求参数 考点十一　由幂函数的单调性解不等式 考点十二　由幂函数的单调性比较大小 考点一　判断函数是否是幂函数 1．（25-26高一上·新疆·阶段检测）（多选）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北·期中）给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 考点二　求幂函数的值及其解析式 5．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 6．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则___________. 7．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 8．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 9．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 10．（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 考点三　根据函数是幂函数求参数 11．（25-26高一下·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． 12．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 13．（2026高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 14．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 考点四　求幂函数的定义域的问题 15．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 16．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 17．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是___________. 19．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 考点五　求幂函数的值域的问题 21．（25-26高一上·山东潍坊·期中）（多选）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·福建·期中）函数的值域为______. 23．（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 24．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）函数的最大值是_________. 25．（25-26高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是______；函数的值域是______． 26．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）若“，”是假命题，则a的最大值是________． 27．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 28．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 考点六　幂函数图象的判断及应用 29．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·山东青岛·期中）在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 考点七　幂函数图象过定点问题 33．（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点___________. 35．（25-26高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为______. 36．（25-26高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点_________． 考点八　幂函数的单调性的问题 37．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 38．（25-26高一下·河南新乡·期末）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 40．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数在区间上的最大值为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 41．（25-26高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点九　幂函数的奇偶性的问题 43．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列幂函数中过点，的偶函数是（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·安徽淮北·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 45．（25-26高一上·山东滨州·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26高一上·山西朔州·期末）（多选）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 47．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 考点十　由幂函数的单调性求参数 49．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A． B．3 C． D． 50．（辽宁辽阳市2025-2026学年高二下学期7月期末学情评估数学试题）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 51．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 52．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 考点十一　由幂函数的单调性解不等式 53．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 54．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 55．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 56．（25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 考点十二　由幂函数的单调性比较大小 57．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 58．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 59．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 60．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·吉林长春·期末）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（     ） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 2．（25-26高二下·山东青岛·期末）下列函数是减函数的为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山西长治·期末）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西忻州·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D．4 5．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 8．（25-26高一下·湖南长沙·期末）幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B．3 C． D． 9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 10．（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 11．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）（多选）下列说法不正确的有（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的图象关于点成中心对称 D．幂函数在上为减函数，则的值为或 12．（25-26高一上·江苏盐城·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 13．（25-26高二下·河北·期末）已知幂函数在上单调递减，则__________． 14．（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 15．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________. 16．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知幂函数：，且函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数的奇偶性． 17．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 18．（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数 知识点1：幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【注意】幂函数解析式的特征： (1)xα的系数为1． (2)x为自变量． (3)α为常数． 知识点2：幂函数的图象与性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 公共点 都经过点_(1，1)_ 考点一　判断函数是否是幂函数 考点二　求幂函数的值及其解析式 考点三　根据函数是幂函数求参数 考点四　求幂函数的定义域的问题 考点五　求幂函数的值域的问题 考点六　幂函数图象的判断及应用 考点七　幂函数图象过定点问题 考点八　幂函数的单调性的问题 考点九　幂函数的奇偶性的问题 考点十　由幂函数的单调性求参数 考点十一　由幂函数的单调性解不等式 考点十二　由幂函数的单调性比较大小 考点一　判断函数是否是幂函数 1．（25-26高一上·新疆·阶段检测）（多选）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 2．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 3．（25-26高一上·河北·期中）给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义逐项验证即可求解. 【详解】选项A、选项C、选项D都符合的形式， 选项B中自变量在指数位置，不是幂函数， 故选：B． 4．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 考点二　求幂函数的值及其解析式 5．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 【答案】27 【分析】先根据题意得到，再计算即可. 【详解】由题知：，，所以. . 6．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则___________. 【答案】/ 【分析】根据幂函数图象上的点求出解析式，利用解析式求值即可. 【详解】为幂函数， 可设， ，解得：， ， . 7．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 8．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 【答案】BD 【分析】根据幂函数的定义得出，再结合点的坐标得出解析式，根据解析式判断幂函数单调性及奇偶性即可求解． 【详解】由题意，解得，则， 将点，即代入，得，即， 定义域为，有， 故为奇函数，故B正确，C错误； 又，所以在和上为减函数，故A错误，D正确． 9．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 10．（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故， 所以. 考点三　根据函数是幂函数求参数 11．（25-26高一下·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． 【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. 12．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 13．（2026高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 14．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 【答案】3 【详解】解：由题意得，解得或， 当时，， 此时定义域不为，故舍去； 当时，，满足题意． 考点四　求幂函数的定义域的问题 15．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 16．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 17．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 18．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是___________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出其定义域. 【详解】设，由的图象过点，得，解得， 因此，其定义域为， 所以该幂函数的定义域是. 故答案为： 19．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 20．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 考点五　求幂函数的值域的问题 21．（25-26高一上·山东潍坊·期中）（多选）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式分别计算值域判断各个选项即可. 【详解】，函数值域为，A选项正确； ，函数值域为，B选项错误； ，函数值域为，C选项正确； ，函数值域为，D选项正确； 故选：ACD 22．（25-26高一上·福建·期中）函数的值域为______. 【答案】 【分析】根据题意可得，然后根据幂函数单调性求解值域. 【详解】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 23．（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 【答案】 【分析】代入点可得，结合即可得函数值域. 【详解】将点代入可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 24．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）函数的最大值是_________. 【答案】/0.25 【分析】求出定义域，令，结合幂函数和二次函数性质求解. 【详解】，解得.定义域为. , 令.则. ，在单调递增，在单调递减. 则，，则. 故答案为：. 25．（25-26高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是______；函数的值域是______． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，结合图象的平移得到其对称中心；又，结合不等式的性质求出函数的值域. 【详解】因为， 将奇函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象， 所以图象的对称中心为； ，因为，所以， 则，所以. 故答案为：； 26．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）若“，”是假命题，则a的最大值是________． 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定为真命题可得“”，再分离参数即可得到答案. 【详解】因为“”为假命题， 所以它的否定“”为真命题， 所以对恒成立， 当时，， 即，所以. 即实数的最大值为. 故答案为： 27．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可； （2）将问题化为的值域为函数的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可. 【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 28．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）换元后，利用二次函数的单调性即可得解； （2）令则原不等式化为，求出的范围再求的范围； （3）换元后求出的值域即为的范围. 【详解】（1）令,则，所以，，在区间上单调递增，所以， 所以在上的值域为； （2）令则化为，化简得， 解得，即，解得，所以原不等式的解集为. （3）令因为，所以，则， 令，在单调递减，在单调递增，所以时取得最小值， 又时，，时，，所以时取得最大值， 所以 ，所以的取值范围是. 考点六　幂函数图象的判断及应用 29．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 30．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 31．（25-26高一上·山东青岛·期中）在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、三、四象限. 幂函数：若，在递增且“上凸”，无此选项. 若，是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C. 若，在递增且“下凸”，无此选项. 当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、二、四象限，无此选项. 幂函数：在递减，对应选项A、D，但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与矛盾. 综上，只有选项C符合条件. 32．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得函数的定义域，再求得为偶函数，且在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，则满足，解得， 即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除BD选项， 又由幂函数的性质，可得在上单调递减， 所以选项A的图象符合题意. 考点七　幂函数图象过定点问题 33．（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 34．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点___________. 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 35．（25-26高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为______. 【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 36．（25-26高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点_________． 【答案】 【分析】利用求得正确答案. 【详解】当时，， 所以定点为. 故答案为： 考点八　幂函数的单调性的问题 37．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为幂函数，所以，即， 因式分解得：，解得：或， 为偶函数，所以，， 因为，所以在单调递增，所以，，即得. 38．（25-26高一下·河南新乡·期末）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用函数奇偶性定义结合幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于B：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于C：定义域为，，所以为奇函数，但是在区间上单调递减，不符合题意； 对于D：定义域为，，所以为奇函数，是在区间上单调递增，符合题意； 39．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法单调性可求出函数的递增区间. 【详解】令， 则， 所以的定义域为 而抛物线，的开口向下， 故在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增, 的单调递增区间为. 故选：C. 40．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数在区间上的最大值为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用基本不等式求得最值，列式求解即可. 【详解】因为， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，故，解得， 故选：C 41．（25-26高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相关幂函数及复合函数性质得，，在上单调递增，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】对于，，结合相关幂函数性质，易知其在上单调递增，故函数在R上单调递增， 所以，即. 故选：D. 42．（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数， ∵函数区间上单调递减， ∴，解得， ∴a的取值范围是. 故选：D. 考点九　幂函数的奇偶性的问题 43．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列幂函数中过点，的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合所过点及偶函数定义逐项判断即可得. 【详解】对A：的定义域为，故该函数不为偶函数，故A错误； 对B：令，有，，定义域为， 且，故该函数为偶函数，故B正确； 对C：的定义域中不含，不过点，故C错误； 对D：令，定义域为，且， 故该函数为奇函数，故D错误. 44．（25-26高一上·安徽淮北·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，定义域为，不关于原点对称，非奇非偶，故A错误； 对于B，不属于幂函数，故B错误； 对于C，定义域为关于原点对称，，为偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，，为奇函数，故D正确. 45．（25-26高一上·山东滨州·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质判断A、C，根据奇偶性的定义判断B，举反例说明D. 【详解】对于A：函数为奇函数，在，上单调递减，故A错误； 对于B：的定义域为，且， 所以为偶函数，故B错误； 对于C：为奇函数且在定义域上单调递增，故C正确； 对于D：定义域为，且， 所以为奇函数，但是， 所以在定义域上必不单调递增，故D错误. 故选：C 46．（25-26高一上·山西朔州·期末）（多选）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据幂函数定义计算可得或，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 47．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 48．（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【分析】幂函数在区间上是单调增函数，则指数为正，由此可求得，又因为，故将代入验证，为奇函数即可． 【详解】在区间上是单调增函数，， 即，又， 当时，是奇函数， 当时，是偶函数，不符合题意. 所以. 故选：D 考点十　由幂函数的单调性求参数 49．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】使用幂函数的定义与单调性求解. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，在上单调递减，符合题意，所以， 所以，所以. 50．（辽宁辽阳市2025-2026学年高二下学期7月期末学情评估数学试题）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 51．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数定义与性质可得，再利用“1”代换结合基本不等式运算求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 则，解得， 可得正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 52．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先依据幂函数的定义求出的可能取值，再结合函数在上单调递减的性质筛选得到正确结果. 【详解】根据幂函数的定义可得 ，即，解得或， 又在上单调递减，可得，即， 所以. 考点十一　由幂函数的单调性解不等式 53．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 54．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 55．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 56．（25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】设，根据函数过点求出参数的值，即可得到函数解析式，从而判断其单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式即可求解. 【详解】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 考点十二　由幂函数的单调性比较大小 57．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合幂函数的单调性和奇偶性，利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是偶函数，且在上单调递增， 因此等价于， 当成立时，不一定成立，所以充分性不成立； 当成立时，不一定成立，所以必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 58．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 59．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 【详解】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 60．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 1．（25-26高二下·吉林长春·期末）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（     ） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 【答案】D 【分析】先求出的值，再根据幂函数的性质进行判断即可. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得， 所以， 所以函数在和上单调递减，且为奇函数. 2．（25-26高二下·山东青岛·期末）下列函数是减函数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次求出4个函数的单调性即可. 【详解】对于A，为减函数，正确； 对于B，，为增函数； 对于C，开口向下，在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于D，为增函数，D错误. 3．（25-26高一下·山西长治·期末）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，满足，函数为偶函数， 当时，单调递增，符合题意； 对于C，在上单调递减，不符合题意； 对于D，在上单调递减，不符合题意. 4．（25-26高一上·山西忻州·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和单调性确定参数数值，求得解析式，再求函数值即可； 【详解】因为为幂函数， 则， 解得或， 又因为在上单调递减， 所以，则； 所以， 故， 故选：B. 5．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助是增函数，直接得解. 【详解】因为是增函数， 因为，所以， 即. 故选：C 6．（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 7．（25-26高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性及值域判断B，D，应用指数幂运算及奇偶性定义判断A，C. 【详解】幂函数，A选项错误； 定义域为，又因为，所以是偶函数，C选项错误； 幂函数，所以的值域为，D选项正确； 因为幂函数在上单调递增，所以，B选项错误. 故选：D. 8．（25-26高一下·湖南长沙·期末）幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义和单调性得到，进而求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 由幂函数的定义及单调性得，解得． 故选：B 9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的定义求解解析式，进而判断出ABC，再根据偶函数的定义即可判断D． 【详解】因为幂函数的图像经过点，所以， 所以， 对于A，因为定义域关于原点不对称，所以不为偶函数，故A错误； 对于BC，因为，所以在单调递增， 所以当，则，故BC正确； 对于D，定义域为，，所以为偶函数，故D正确． 10．（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 11．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）（多选）下列说法不正确的有（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的图象关于点成中心对称 D．幂函数在上为减函数，则的值为或 【答案】ABD 【详解】对于A，函数的定义域为， 由得，则函数的定义域为，A错误； 对于B，由反比例函数单调性可知， 函数在和上单调递增，故B错误； 对于C，函数的图象的对称中心为， 将函数的图象先向左平移个单位， 再向上平移个单位得到函数的图象， 所以函数的对称中心为，C正确； 对于D，因为函数为幂函数且在上为减函数， 根据幂函数定义和性质可得，解得，D错误. 12．（25-26高一上·江苏盐城·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据求出的值，可得出函数的解析式，再结合幂函数的基本性质逐项判断即可. 【详解】因为，则，解得，所以， 函数的定义域为，故函数是非奇非偶函数， 且该函数在上单调递增，ABD都错，C对. 故选：ABD. 13．（25-26高二下·河北·期末）已知幂函数在上单调递减，则__________． 【答案】 【详解】由题意可知， 所以，解得. 所以， 所以. 14．（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合幂函数在上的单调递减性质筛选出符合条件的. 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 15．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为，在上均为减函数，所以在上为减函数. 所以不等式等价于， 整理得，解得或. 故该不等式的解集为. 16．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知幂函数：，且函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)奇函数,证明见解析 【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求； (2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断. 【详解】（1）由幂函数的概念可知，解得或， 又因为幂函数在单调递增，故，即； （2）为奇函数， 证明如下：定义域为，， 故是奇函数. 17．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由幂函数的定义求解即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质即可求解； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18．（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明如下： 由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）由题意设幂函数为，将代入即可求得幂函数的解析式； （2）设，比较与的大小，结合函数单调性即可证明在上的单调性； （3）由（2）知在上单调递增，可解得在上的值域，设，根据题意有，分析二次函数的单调区间即可求其最小值，即的取值范围. 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）略 （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $