第二十五章 一元二次方程 单元提升测试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元能力提升卷，覆盖方程概念、解法、根与系数关系及实际应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|方程概念、解法、根与系数关系|结合矩形菜地、三角点阵等情境，考查抽象能力| |填空题|5/15|根的判别式、配方法、增长率问题|以黄河口文创销量等实际问题，体现应用意识| |解答题|8/75|解方程、实际应用（利润/几何）、创新定义（倍根方程/根对四边形）|通过电动自行车新规利润问题、收纳盒制作等综合题，发展推理能力与模型意识|

第二十五章 一元二次方程能力提升测试题 （时间：100分钟 总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．若一元二次方程的二次项系数是3，则常数项是（） A．5 B． C．2 D． 2．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 3．方程的根是（   ）． A． B．， C． D．， 4．已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在长为，宽为的矩形地面上修建一条宽相等的形小路（阴影），余下部分作为观赏绿化带，其面积为，设小路的宽为，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 8．某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为，则列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 10．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果（    ） A．45 B．66 C．100 D．210 二、填空题（共15分） 11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 12．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 13．黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 14．若是一元二次方程的两个根，则________． 15．如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过_______秒，的面积是 ？ 三、解答题（共75分） 16．（本题12分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 17．（本题8分）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 18．（本题8分）某同学在解方程时，给出了以下解答过程： 解答过程 步骤序号 解：将方程的左边因式分解，得， …① 当且时满足以上等式，可得； …② 当且时满足以上等式，可得． …③ 综上，原方程的解为，． …④ （1）该同学的解答过程是否正确？（请根据你的判断勾选以下选项之一；勾选后，根据相应的选项完成对应的问题（2）和问题（3）） □A．该解答过程不正确 □B．该解答过程正确 （2A）如果你认为该解答不正确，那么它是从第______步开始出错的，请说明其错误的原因： （2B）如果你认为该解答正确，那么请再出一个一元二次方程，并用上述方法求解，说明此解法的合理性； （3A）对于原题所给的方程，请写出你认为正确的解答过程． （3B）对于原题所给的方程，请另外给出一种你认为正确的解法，写出解答过程． 19．（本题8分）自11月1日起，福建省电动自行车新规正式实施.其中明确规定，驾驶电动自行车搭载孩子时，孩子必须规范佩戴安全头盔，对违反规定的处以罚款.骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个. (1)当售价为x元/个时（），月销售量为_____个. (2)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? 20．（本题9分）乘法原理：若，则或． (1)试用所学知识尝试求解下列方程： ①； ②； (2)方法迁移：如图，已知和分别是中边上的高，其中，，求． 21．（本题9分）若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请问一元二次方程是“倍根方程”吗？如果是，请说明理由． (2)若是“倍根方程”，求证：． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求和的关系． 22．（本题10分）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； (2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； (3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 23．（本题11分）【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A B A C D C C 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式知识点，解题的关键是将给定方程化为一元二次方程的一般形式． 先把方程化为一般形式，再根据一般形式确定常数项． 【详解】一元二次方程的一般形式是，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 将方程移项化为一般形式为， 常数项是2． 故选：C． 2．B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 3．D 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先移项，再运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：∵ 方程 中，，， ∴ ． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值和一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，根据一元二次方程的得出的值，进而即可求解，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∴，，， ∴该一元二次方程为， 故选：． 7．C 【分析】根据题意，剩余部分长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：由题可知，剩余部分长为，宽为的矩形， 所以． 8．D 【分析】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于掌握用一元二次方程解决增长率问题常用的等量关系，其中为原来的基础，为变化后的量，为增长率，为连续增长的次数．先列出第一次降价后售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价后售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程． 【详解】解：依题意得：第一次降价后售价为：， 则第二次降价后的售价为：， ∴， 故选：D． 9．C 【分析】求出矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式列出方程即可. 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一条边长为米，由题意，得： . 10．C 【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有个点，然后根据选项分别求出n的值，即可作出判断． 【详解】通过观察图形可知：第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点， 前n行共有个点，其中n为正整数． ∴当时，解得：（舍去），； 当时，解得：（舍去）， ； 当时，解得：（舍去），（舍去），即前行的点数和不能是100； 当时，解得：（舍去），． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是探究图形的规律，一元二次方程的解．正确得到前行的点数和的式子是解题的关键． 11． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 12 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可. 【详解】解：方程，两边加上，得 ， 即. 13． 【分析】设月平均增长率为，根据月和月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】设这款挂件销量的月平均增长率为， 根据题意列方程得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根的定义可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得，，根据题意列出一元二次方程解题即可． 【详解】解：，， 当运动时间为时，， ，， 根据题意可得， 即， 整理得：， 解得（舍去）， 所以经过，的面积是． 故答案为：1． 16．(1) (2)， (3) (4) 【分析】利用直接开平方法解答即可； 利用公式法解答即可； 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （4）解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式代入进行变形计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即， 解得， 则m的取值范围为； （2）由韦达定理可知：，， 若， 由可得， 即， 将，代入得：， 即， 解得， 由（1）可知，故符合题意， 因此，m的值为． 18．A；（2A）从第②步开始出错，理由见详解；（3A）解答过程见详解 【分析】本题考查用因式分解法解方程的错解改正问题，熟练掌握解方程的方法是解题的关键；根据题意可判断解答过程不正确， （2A）因式分解法解一元二次方程的原理是“若，则或”，据此答题即可； （3A）按因式分解法解方程即可． 【详解】解：A．该解答过程不正确， （2A）从第②步开始出错 错误的原因：因式分解法解一元二次方程的原理是若，则或，该解法错误地将等式右边为6的情况类比为0的情况进行求解，其推理过程不成立； （3A）正确的解答过程： ， 移项得， 因式分解得， 所以或， 解得或． 19．(1) (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用月销售量（售价，即可用含的代数式表示出月销售量； （2）利用月销售利润每个的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：当售价为元个时，月销售量为个． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元个． 20．(1)①；②； (2) 【分析】（1）运用因式分解法求解即可； （2）根据勾股定理求出，设，利用三角形面积公式求出，在中，由勾股定理得，代入得，求出x值即可 【详解】（1）解：① ∴； ②， ， ∴， ∴； （2）解：在中，，， 在中，，， 设， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得 , ∴（舍去）， ∴ 21．(1) 是，理由如下： ， ， 或， ，， 方程是倍根方程； (2) 证明：， ，， 当时，，即； 当时，，即； 则，即； (3) 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，，然后根据“倍根方程”可判断方程是倍根方程； （2）利用因式分解法解方程得，，再利用“倍根方程”的定义得到或，从而得到、的关系式； （3）设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得，，依此得到和的关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）一元二次方程是倍根方程， 设方程的两根分别为，， 根据根与系数的关系得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了一元二次方程解的定义． 22．(1)； (2) (3)能， 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）设，用x分别表示的长，根据收纳盒的底面积可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）设，则，，根据长、宽、高的要求分情况进行讨论，取符合题意的答案即可． 【详解】（1）解：，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形， ． 根据折叠后正好重合可知． （2）解：设，则，， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） ． （3）解：能． 设，则，，由题意得 ①，解得， ②，解得，； ③，解得，不符合舍去； ④，解得，不符合舍去； ⑤，解得，不符合舍去； ⑥，解得，不符合舍去； 综上得，． 23．(1)两条对角线的长分别为和 (2)对角线的长为 (3)的值为 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【详解】（1）解将代入方程： ， 化简： ， 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和． （2）解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ， 令： ， ， ， 解得（满足）， 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6． （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ， 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入： ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为． 答案第12页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $