27.2.1 反比例函数的图象和性质 教学设计 2026——2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象和性质，通过回顾一次函数、二次函数的研究方法，引导学生类比迁移，以“画图象—观特征—探性质”为脉络，搭建新旧知识联系的学习支架。 此资料以“描点法”实践为基础，让学生经历列表、描点、连线过程培养几何直观（数学眼光），分k>0与k<0分类讨论，从特殊函数归纳一般性质发展推理意识（数学思维），例题与当堂训练强化应用意识（数学语言），助力学生构建知识体系，教师易操作且能高效突破重难点。

第1课时　反比例函数的图象和性质 课题 第1课时　反比例函数的图象和性质 授课人 教 学 目 标 　　1.会用描点法画反比例函数的图象,归纳得出反比例函数的图象特征和性质. 2.能运用反比例函数的图象和性质解决问题. 3.在画反比例函数的图象,并探究其性质的过程中,体会“分类讨论”“数形结合”以及“从特殊到一般”的数学思想. 教学 重点 　　根据反比例函数的图象,结合函数解析式,探究反比例函数的性质. 教学 难点 　　能够正确画出反比例函数的图象,通过观察、分析,归纳出反比例函数的性质. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　教师提出问题: 回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程,如何研究反比例函数的图象和性质? 学生小组内讨论,并派代表回答,教师综合意见后进行归纳. 在研究一次函数、二次函数的图象和性质时,都是先画出函数的图象,再利用图象,结合函数的解析式研究函数的性质,这种方法同样适用于反比例函数. 有了前面的知识储备,我们换一个角度,从反比例函数的解析式出发,思考它的图象形状,运用数形结合的方法研究其性质. 与对一次函数的研究一样,需要对反比例函数解析式y=(k为常数,k≠0)中的k分情况讨论,即分k>0,k<0两种情况. 先研究k>0时的情况,我们从具体的反比例函数开始. 　　从学生已有的知识出发,进行问题设计,学生在分析作答的过程中体会新旧知识之间的联系,使所学知识系统化. 活动 一: 探究 与 应用 【探究1】 反比例函数图象的画法 操作:画反比例函数y=与y=的图象. 提示:画函数图象的步骤一般分为:列表→描点→连线.需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0. 1.列表.写出几组x与y的对应值: x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y= … -0.5 -0.6 -0.75 -1 -1.5 -3 3 1.5 1 0.75 0.6 0.5 … y= … -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 … 　　注意:列表时自变量取值要均匀和对称. 2.描点.以表中各组对应值为坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点. 3.连线.用平滑的曲线顺次连接描出的点,就得到函数y=与y=的图象(如图27-2-1). 图27-2-1 　　注意:用平滑的曲线连接各点时要自左向右顺次连接. 思考: 观察这反比例函数y=与y=的图象,回答下列问题: 　　1.经历用“描点法”画反比例函数图象的基本步骤,可以使学生对反比例函数的性质有一个初步的整体感知. 活动 一: 探究 与 应用 　　(1)每个函数的图象分别位于哪些象限? 答案:函数y=和y=的图象的两支分别位于第一、三象限 图27-2-2 (2)在每一个象限内,随着x的增大,y如何变化?你能由它们的解析式说明理由吗? [答案:在每一个象限内,y随x的增大而减小　理由略] (3)画反比例函数y=(k>0)的k取不同值时的图象,考虑问题(1)(2),你能得出同样的结论吗? 结论:一般地,当k>0时,对于反比例函数y=,结合函数图象(图27-2-3)与解析式,可以发现: (1)函数图象的两支分别位于第一、第三象限; (2)在每一个象限内,y随x的增大而减小. 图27-2-3 　　做一做:反比例函数y=的图象大致是 (C) 图27-2-4 【探究2】 反比例函数的图象和性质 回顾以上探究过程,你能用类似的方法研究函数y=(k<0)的图象和性质吗? 观察与思考:你能画出当k=-2,-4,-6时,反比例函数y=的图象吗? 师生活动:学生独立完成作图.教师巡视指导,并出示函数图象(图27-2-5),观察这几个图象,它们有哪些共同特征? 图27-2-5 　　 2.通过讨论,对k>0时反比例函数的图象和性质形成清晰的认识,问题串引导学生进行由特殊到一般的归纳. 3.巩固反比例函数的性质. 4.通过再次画反比例函数的图象,巩固已获得的作图经验,提高学生利用“描点法”画出函数图象的能力;在总结说出反比例函数的图象特征的过程中,增强学生对图象的观察、感知、分析、概括的能力. 活动 一: 探究 与 应用 　图27-2-6 结论:一般地,当k<0时,对于反比例函数y=,结合函数图象(图27-2-6)与解析式,可以发现: (1)函数图象的两支分别位于第二、第四象限; (2)在每一个象限内,y随x的增大而增大. 归纳:反比例函数y=的图象特征和性质如下: (1)反比例函数的图象由两条曲线组成,它是双曲线; (2)当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小; (3)当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大. k的正负决定反比例函数图象所在的象限和函数的增减性. 　　5.通过归纳,培养学生的概括能力. 【理解应用】 例1　下列关于反比例函数y=-的图象的三个结论: (1)当x=1时,y的值为-12; (2)在每一个象限内,y随x的增大而减小; (3)该函数的图象位于第二、四象限. 其中正确的是　(1)(3)　(填序号).  例2　已知反比例函数y=(a-1),在其图象的每一支上,y随x的增大而增大,求a的值. 解:由题意得a2+a-7=-1,且a-1<0,解得a=-3. 　　通过例题,开阔学生的思路,促进学生思维的发展,形成有效的知识结构. 活动 二: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 【当堂训练】 1.反比例函数y=的图象大致是(C) 图27-2-7 2.对于反比例函数y=,下列说法正确的是 (D) A.其图象经过点(-1,3) B.其图象位于第二、四象限 C.当x>0时,y随x的增大而增大 D.当x<0时,y随x的增大而减小 活动 二: 课堂 总结 反思 3.已知反比例函数y=的图象位于第一、三象限,则m的取值范围是　m>2　.  4.已知反比例函数y=(3m-8),在其图象的每一支上,y随x的增大而增大. (1)求m的值,并画出该函数图象的草图; (2)当x取什么值时,y<0? 解:(1)由题意得m2-10=-1,且3m-8<0,解得m=-3.图象略. (2)当x>0时,y<0. 　　设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在讲授本课时,通过引导学生类比前面学习一次函数的图象和性质的方法,激发学生参与课堂的热情.通过列表、描点、连线画出反比例函数的图象,进而通过观察、分析、探究、概括得到反比例函数的性质,以加深对反比例函数的理解. ②[讲授效果反思] 在解析重难点时,给予学生充分的时间讨论、交流、归纳,师生共议得到反比例函数的性质,在讨论中发现、总结,使重点得以强化,难点得以突破. ③[师生互动反思] 在教学过程中,学生主动去观察、类比、发现、感受,实现学生主动参与、探究新知的目的,效果良好. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $