第四章 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较同步练- 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 以“基础知识·重落实”“典型例题·精研析”分层，通过概念辨析→数据应用→模型构建的递进路径，巩固指数函数、幂函数、对数函数增长比较知识，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础落实层|核心概念辨析与基础应用|判断正误（如一次函数增长特性）、简单模型选择（如利润增长模型）| |能力提升层|函数增长/衰减比较与数据分析|表格数据判断函数类型（如四变量增长速度比较）、图象分析衰减差异| |综合检测层|实际问题模型构建|松树生长模型拟合、奖励方案函数模型选择|

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 新课程标准解读 核心素养 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数 模型 数学抽象 2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义 逻辑推理 3.能根据具体问题选择合适的函数模型 数学建模 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧 草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们 占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来， 75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降 低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已.他们采用 各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤 病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【问题】　想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发 展到75亿只？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 给定常数 a ， b ， c ，指数函数 y ＝ ax （ a ＞1）、对数函数 y ＝log bx （ b ＞1）、幂函数 y ＝ xc （ x ＞0， c ＞0）都是增函数，而且当 x 的值 趋近于正无穷大时， y 的值都是趋近于正无穷大的. （1）当 b ＞1， c ＞0时，即使 b 很接近于1， c 很接近于0，都有 ⁠ 比 增长快； （2）当 a ＞1， c ＞0时，即使 a 很接近于1， c 很大，都有 ⁠ 比 增长快； y ＝ xc 　 y ＝log bx 　 y ＝ ax 　 y ＝ xc 　 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）随着自变量 x 的增大， y ＝ ax 的函数值增长远远 y ＝ xc 的函数值增长；而 y ＝ xc 的函数值增长又远远 y ＝log bx 的函数值增长； 大于　 大于　 目录 数学·必修第一册（BSD） （4）当底数 a ＞1时，由于指数函数 y ＝ ax 的值增长非常快，人们称 这种现象为“ ⁠”. 提醒　三种函数模型的再理解：①当描述增长速度变化很快 时，常常选用指数函数模型；②当要求不断增长，但又不会增 长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. 【想一想】 存在一个 x0，当 x ＞ x0时，为什么 ax ＞ xn ＞log ax （ a ＞1， n ＞ 0）一定成立？ 指数爆炸　 提示：当 a ＞1， n ＞0时，由 y ＝ ax ， y ＝ xn ， y ＝log ax 的增长 速度，存在 x0，当 x ＞ x0时，三个函数的图象由上到下依次为指 数函数，幂函数，对数函数，故一定有 ax ＞ xn ＞log ax . 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当 x 每增加一个单位时， y 增加或减少的量为定值，则 y 是 x 的一次函数. （　√　） （2）对任意的 x ＞0， kx ＞log ax . （　×　） （3）对任意的 x ＞0， ax ＞log ax . （　×　） （4）函数 y ＝log2 x 增长的速度越来越慢. （　√　） √ × × √ 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初 期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来 反映该公司调整后利润 y 与产量 x 的关系，则可选用（　　） A. 一次函数模型 B. 二次函数模型 C. 指数函数模型 D. 对数函数模型 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 四个变量 y1， y2， y3， y4随变量 x 变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05× 106 3.36× 107 1.07× 109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于 x 呈指数型函数变化的变量是 ⁠. y2　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的.从表格中可以 看出，四个变量 y1， y2， y3， y4均是从2开始变化，变量 y1， y2， y3， y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2的增长速度 最快，可知变量 y2关于 x 呈指数型函数变化. 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 几类函数模型的比较 【例1】　下面对函数 f （ x ）＝lo x ， g （ x ）＝ 与 h （ x ）＝ 在区间（0，＋∞）上的衰减情况说法正确的是（　　） 目录 数学·必修第一册（BSD） A. f （ x ）衰减速度越来越慢， g （ x ）衰减速度越来越快， h （ x ） 衰减速度越来越慢 B. f （ x ）衰减速度越来越快， g （ x ）衰减速度越来越慢， h （ x ）衰 减速度越来越快 C. f （ x ）衰减速度越来越慢， g （ x ）衰减速度越来越慢， h （ x ）衰 减速度越来越慢 D. f （ x ）衰减速度越来越快， g （ x ）衰减速度越来越快， h （ x ） 衰减速度越来越快 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　画出三个函数的图象如图， 由图象可知选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　一般地，在（0，＋∞）上，尽管函数 y ＝ ax （0＜ a ＜1）， y ＝ xn （ n ＜0）， y ＝log ax （0＜ a ＜1）都是减函数，但它们的衰减速度 不同，而且不在同一个“档次”上. 　　随着 x 的增大，函数 y ＝ ax （0＜ a ＜1）的衰减速度会越来越慢， 并且一开始远远大于函数 y ＝ xn （ n ＜0）的衰减速度，但是它们的函 数值始终大于0；而对于函数 y ＝log ax （0＜ a ＜1），衰减速度也是越 来越慢，并且当 x ＞1时，函数值小于0，会越来越小. 目录 数学·必修第一册（BSD） 　　因此，总会存在一个 x0，当 x ＞ x0时，就有log ax ＜ ax ＜ xn （0＜ a ＜1， n ＜0）. 提醒　由指数函数、对数函数和幂函数的增长与衰减差异可知，总会 存在一个 x0，使得当 x ＞ x0时，若 a ＞1， n ＞0，则log ax ＜ xn ＜ ax ；若 0＜ a ＜1， n ＜0，则log ax ＜ ax ＜ xn .而当 x ＜ x0时， ax ，log ax 与 xn （ n ≠0）的大小关系不确定. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　三个变量 y1， y2， y3随着变量 x 的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 目录 数学·必修第一册（BSD） A. y1， y2， y3 B. y2， y1， y3 C. y3， y2， y1 D. y3， y1， y2 解析：　由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函 数增长最快，对数函数增长最慢，分析表格中数据可知， y1是幂函数 型函数， y2是指数函数型函数， y3是对数函数型函数，故选C. 则与 x 呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是 （　　） 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 几种函数模型增长的差异 【例2】　如图给出了红豆生长时间 t （月）与枝数 y （枝）的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好（　　） A. 指数函数 y ＝2 t B. 对数函数 y ＝log2 t C. 幂函数 y ＝ t3 D. 二次函数 y ＝2 t2 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　由图可知函数在第一象限内单调递增，并且增长速度较 快，且图象过点（2，4），（4，16），因此利用指数函数模型拟合 较好. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 常见的函数模型及增长特点 （1）线性函数模型：线性函数模型 y ＝ kx ＋ b （ k ＞0）的增长特点是 直线上升，其增长速度不变； （2）指数函数模型：指数函数模型 y ＝ ax （ a ＞1）的增长特点是随 着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急 剧，形象地称为“指数爆炸”； （3）对数函数模型：对数函数模型 y ＝log ax （ a ＞1）的增长特点是 随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度 平缓； （4）幂函数模型：幂函数 y ＝ xn （ n ＞0）的增长速度介于指数增长 和对数增长之间. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程 fi （ x ）（ i ＝1，2， 3，4）关于时间 x （ x ＞1）的函数关系是 f1（ x ）＝ x2， f2（ x ）＝2 x ， f3（ x ）＝log2 x ， f4（ x ）＝2 x ，如果它们一直运动下去，最终在 最前面的物体具有的函数关系是（　　） A. f1（ x ）＝ x2 B. f2（ x ）＝2 x C. f3（ x ）＝log2 x D. f4（ x ）＝2 x 解析：　由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大. 故选D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 函数模型的构建 【例3】　某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度 h （米）与生长时间 t （年）的相关数据，选择 h ＝ mt ＋ b 与 h ＝ log a （ t ＋1）来拟合 h 与 t 的关系，你认为哪个符合？并预测第8 年的松树高度. t （年） 1 2 3 4 5 6 h （米） 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：在坐标轴上标出 t （年）与 h （米）之间的 关系如图所示. 由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函 数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理. 不妨将（2，1）代入 h ＝log a （ t ＋1）中，得1＝log a 3，解得 a ＝3. 故可用函数 h ＝log3（ t ＋1）来拟合这个实际问题. 当 t ＝8时，求得 h ＝log3（8＋1）＝2，故可预测第8年松树的高度为2米. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 函数模型构建的一般步骤 （1）收集数据； （2）根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图； （3）根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型； （4）选择其中的几组数据求出函数模型； （5）将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合 实际，若不符合实际，则返回步骤（3）；若符合实际，则进入 下一步； （6）用所得函数模型解析实际问题. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招 生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖 励，且资金 y （单位：万元）随生源利润 x （单位：万元）的增加 而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%. 现有三个奖励模型： y ＝0.2 x ， y ＝log5 x ， y ＝1.02 x ，其中哪 个模型符合该校的要求？ 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：作出函数 y ＝3， y ＝0.2 x ， y ＝log5 x ， y ＝1.02 x 的图象 （如图所示）.观察图象可知，在区间[5，60]上， y ＝0.2 x ， y ＝1.02 x 的图象都有一部分在直线 y ＝3的上方，只有 y ＝log5 x 的 图象始终在 y ＝3和 y ＝0.2 x 的下方，这说明只有按模型 y ＝log5 x 进行奖励才符合学校的要求. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 下列函数中，随着 x 的增大，函数值的增长速度最快的是（　　） A. y ＝2 024ln x B. y ＝ x2 024 D. y ＝2 024·2 x 解析：　由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着 x 越来越 大，函数 y ＝2 024·2 x 的函数值的增长速度最快.故选D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （多选）在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5 个小时的生产情况画出了某种产品的总产量 y （单位：kg）与时间 x （单位：h）的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判 断是（　　） A. 在前3小时内，每小时的产量逐步增加 B. 在前3小时内，每小时的产量逐步减少 C. 最后1小时内的产量与第3小时内的产量相同 D. 最后2小时内，该车间没有生产该产品 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　由该车间5个小时某种产品的总产量 y （单位：kg） 与 时间 x （单位：h）的函数图象，得前3小时的产量逐步减少，故A 错误，B正确；后2小时均没有生产，故C错误，D正确. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 已知函数 f （ x ）＝3 x ， g （ x ）＝2 x ，当 x ∈R时， f （ x ）与 g （ x ）的大小关系为 ⁠. 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数 f （ x ） ＝3 x ， g （ x ）＝2 x 的图象，如图所示，由于函数 f （ x ）＝3 x 的图象在函数 g （ x ）＝2 x 图象的上 方，则 f （ x ）＞ g （ x ）. f （ x ）＞ g （ x ）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 随着我国经济的不断发展，2016年年底某偏远地区农民人均年收入 为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平 均增长率增长，那么2024年年底该地区的农民人均年收入为 ⁠ 元.（精确到个位） （附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59） 解析：设经过 x 年，该地区的农民人均年收入为 y 元，依题意有 y ＝3 000×1.06 x ，因为2016年年底到2024年年底经过了8年，故把 x ＝8代入，即可求得 y ＝3 000×1.068≈4 770. 4 770　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $