4.4&4.5 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较&信息技术支持的函数研究-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 §5　信息技术支持的函数研究 新课程标准 学业水平要求 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、幂函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 水平一 1.能从教材实例中归纳出指数函数与一元一次函数、对数函数与一元一次函数增长的差异．(逻辑推理) 2．能从教材实例中理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．(数学抽象) 水平二 能从实际例子中抽象出相应的数学模型，能利用相关函数模型的性质解释实际的问题．(教学建模) 1．当b>1，c>0时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y＝xc比y＝logbx增长快． 2．当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y＝ax比y＝xc增长快． 3．随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝logbx的函数值增长． 4．当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(　　) (2)指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越快．(　　) (3)对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．(　　) (4)幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数函数和对数函数之间．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．下图反映的是下列哪类函数的增长趋势(　　) A．一次函数 B．幂函数 C．对数函数 D．指数函数 C　[从图象可以看出这个函数的增长速度越来越慢，反映的是对数函数的增长趋势．] 3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数型函数变化的变量是________． 解析：　以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象可知变量y2关于x呈指数型函数变化． 答案：　y2 探究点一　几类函数模型增长差异的比较 已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 1 4 16 36 64 … y3 0 1 2 2.585 3 … 则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　) A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2 B　[从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化．] 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．　　 [对点训练] 　四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(