1.4.1 一元二次函数——2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学导学案聚焦一元二次函数，涵盖概念、三种解析式、抛物线图象及性质。通过“温故”回顾初中二次函数基础，“知新”衔接高中内容，搭建从表达式到图象性质的学习支架，实现知识平稳过渡。 特色在于强化数形结合思维，以“以图析式、以式释图”培养几何直观，结合生活实例（投篮轨迹、利润优化）发展模型意识。课前自测题型多样，注重性质应用与推理，助力提升数学思维与核心素养。

1.4.1 一元二次函数 预习提要 1.回顾初中一元二次函数基础，体会函数表达式与图象的对应关系，感受借助函数研究变量范围的思路，做好知识衔接. 2.研读课本，探究一元二次函数解析式不同形式，掌握开口、对称轴、顶点相关性质，尝试画出简单一元二次函数图象. 【温故】 1.二次函数：一般地，形如________________（是常数，）的函数，叫作二次函数．其中，x是___________． 2.二次函数的三种形式： （1）一般式：________________； （2）顶点式：________________； （3）两根式：________________. 【知新】 1.一元二次函数：函数叫作一元二次函数，通常把一元二次函数的图象叫作__________． 2.一元二次函数的性质： （1）函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是__________，对称轴是直线__________． （2）当时，抛物线开口__________；在区间上，函数值随自变量的增大而__________；在区间上，函数值随自变量的增大而__________；函数在处有最小值，记作__________． 当时，抛物线开口__________；在区间上，函数值随自变量的增大而__________；在区间上，函数值随自变量的增大而__________；函数在处有最大值，记作__________． 课前自测 1.若一元二次函数在区间上的函数值y随自变量x的增大而减小，则( ) A. B. C. D. 2.不论m取任何实数，抛物线的顶点都( ) A.在直线上 B.在直线上 C.在x轴上 D.在y轴上 3.函数的图象如图所示，则函数的图象可能为( ) A. B. C. D. 4.（多选）若函数在时的最大值、最小值分别为，，则实数m的值可能为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知函数在区间上的最大值为3，则实数t的取值范围为__________. 反思 【拓展】 笛卡尔说：万物皆可数理化，曲线皆有规律可循.一元二次函数以简洁的解析式勾勒出抛物线的对称之美，单调增减、顶点最值、对称分布暗藏数学规律.深耕二次函数数形结合思维，学会以图析式、以式释图，能极大提升数学逻辑推理与综合分析问题的核心素养. 一元二次函数广泛应用于生活最优问题.投篮轨迹、喷泉水流、卫星轨道近似为抛物线；经济利润最大化、用料最省、面积最值、运动峰值计算等实际问题，均可通过二次函数建模求解.它是解决生活最值优化问题的经典数学模型，实用性与综合性兼具. 【思考】 1.二次函数中参数a、b、c分别对图象和函数性质有哪些具体影响？ 2.如何利用二次函数图象，快速判断一元二次方程根的个数与分布？ 答案及解析 【温故】 1. 自变量 2. 【知新】 1.抛物线 2. 向上 减小 增大 向下 增大 减小 课前自测 1.答案：B 解析：由题意得，解得. 2.答案：B 解析：不论m取任何实数，抛物线的顶点坐标均为， 因此，该抛物线的顶点都在直线上，故选B. 3.答案：A 解析：由题图可知，，所以，所以函数的图象的对称轴在y轴右侧，令，得，所以函数的图象与y轴交于负半轴.故选A. 4.答案：ABC 解析：由，得函数图象的对称轴为直线，当时，函数取得最小值， 当或时，函数值为，所以，所以实数m的值可能为2，3，4.故选ABC. 5.答案： 解析：因为，所以函数在上y随x的增大而减小，在上y随x的增大而增大，令，得或，所以，故答案为. 学科网（北京）股份有限公司 $