第1章 01-4 一元二次函数与一元二次不等式(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦一元二次函数与不等式，从预备知识导入，通过题组一到题组五逐步深入，涵盖图象性质、解法、综合应用等，构建递进式学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是分层题组设计与实际应用实例，通过分类讨论培养数学思维，用符号语言表达关系提升数学语言能力，助力学生构建知识体系，教师教学更具针对性与高效性。

第一章 预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §4　一元二次函数与一元二次不等式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　一元二次函数的图象与性质 1.[2025江苏无锡一中月考]已知函数y=ax2+bx+c,若a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是( )     D     解析　　由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,所以该函数是二次函数,其图象开口向上,排除A,C;当x=0时, y=c<0,排除B. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026湖南名校联盟联考]对于二次函数y=x2-bx-1,下列结论正确的是 ( ) A.不存在实数x,使得y<0 B.关于x的方程x2-bx-1=0有一个正根和一个负根 C.该函数的图象与y轴的负半轴有交点 D.若当x≥-1时,y随x的增大而增大,则b≥-2     BC     解析　　当x=0时,y=-1<0,即该函数的图象与y轴交于点(0,-1),故A错误,C正确; 关于x的方程x2-bx-1=0的判别式Δ=b2+4>0,所以该方程有两个不相等的实根,设为x1,x2,则x1x2=-1<0,所以x 1,x2必一正一负,故B正确; 该函数的图象开口向上,对称轴为直线x= ,若当x≥-1时,y随x的增大而增大,则 ≤-1,所以b≤-2,故D错 误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河北石家庄辛集中学期中]已知函数y= x2-2x+3在[0,m]上有最大值3,最小值1,则实数m的取值范 围为_____________.     [2,4]     解析　易知函数y= x2-2x+3的图象的对称轴为直线x=- =2,且当x=2时,y=1,当x=0或x=4时,y=3,可画 出函数图象如图所示,   要使函数y= x2-2x+3在[0,m]上有最大值3,最小值1,只需2≤m≤4. 故实数m的取值范围为[2,4]. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　一元二次不等式及其解法 4.[2026江西抚州宜黄第一中学月考]不等式 - -3<0的解集是 ( ) A.(-1,0)∪  B.(-3,0)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪  D.(-∞,-3)∪(1,+∞)     C     解析　    由 - -3<0,得1-2x-3x2<0,x≠0,所以3x2+2x-1>0,x≠0,所以(3x-1)·(x+1)>0,且x≠0,解得x∈(-∞,- 1)∪ . 关键提醒　解一元二次不等式时,若二次项系数为负,可先化为正再求解. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026山东菏泽鄄城二中月考]设x∈R,则“|x-2|>3”是“x2-5x-6>0”的 ( ) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件     B     解析　　由|x-2|>3得x-2<-3或x-2>3,解得x<-1或x>5,由x2-5x-6>0得(x-6)·(x+1)>0,解得x<-1或x>6, 因为{x|x<-1或x>6}⫋{x|x<-1或x>5},所以“|x-2|>3”是“x2-5x-6>0”的必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[易错题][[2026江西九江第一中学月考]已知全集U=R,集合A= x  ≤1 ,则∁UA= ( ) A.(-∞,-3)∪(3,+∞)　     B.(-∞,-3]∪[3,+∞)　     C.(-∞,-3]∪(3,+∞)　    D.(-∞,-3)∪[3,+∞)     C     解析　　由 ≤1,得 -1= ≤0, 则 解得-3<x≤3, 则A={x|-3<x≤3}, 所以∁UA=(-∞,-3]∪(3,+∞). 易错警示　解分式不等式时,应先移项、通分,化为一边是分式,另一边是0的形式,再转化为整式不等式 求解,求解时要注意以下两点:一是不能盲目去分母;二是转化为整式不等式后要注意考虑原分母不为0 这一隐含条件. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026北京师范大学第二附属中学期中]设a为实数,则关于x的不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集不可能是  ( ) A. 　    B.(-∞,2)∪  C.(2,+∞)　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当a=0时,不等式为-2(2x-4)<0,解得x>2,故原不等式的解集为(2,+∞). 当a≠0时,解方程(ax-2)(2x-4)=0,得x= 或x=2, 若a<0,解不等式(ax-2)(2x-4)<0,得x< 或x>2,故原不等式的解集为 ∪(2,+∞); 若0<a<1,则 >2,解不等式(ax-2)(2x-4)<0,得2<x< ,故原不等式的解集为 ; 若a=1,则 =2,不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集为⌀; 若a>1,则0< <2,解不等式(ax-2)(2x-4)<0,得 <x<2,故原不等式的解集为 . 结合选项可知不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集不可能是(-∞,2)∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　三个“二次”之间的关系 8.[2026江西吉安四所重点中学联考]若关于x的不等式ax-b>0的解集是{x|x<-2},则关于x的不等式  >0的解集为 ( ) A.{x|-2<x<-1}　     B.{x|1<x<2} C.{x|x<-2或0<x<1}　    D.{x|x<1或x>2}     B     解析　　因为关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<-2},所以方程ax-b=0的根为x=-2且a<0,可得b=-2a, 故不等式 >0即 >0,等价于 <0,等价于(x-2)(x-1)<0, 解得1<x<2,所以不等式 >0的解集为{x|1<x<2}. 第1讲　描述运动的基本概念 规律总结　若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集取两边,则二次项系数为正,若解集取中间,则二次项系 数为负;若一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集取两边,则二次项系数为负,若解集取中间,则二次项系数 为正. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026安徽六安第二中学期中]不等式cx2+ax+b>0的解集为 ,则函数y=ax2-bx-c的图象大致 为 ( )  　     　      　          A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为cx2+ax+b>0的解集为 x -1<x<  ,所以方程cx2+ax+b=0的两根分别为 和-1,且c<0, 则 解得a= c,b=- c, 故函数y=ax2-bx-c= x2+ x-c= (x+2)(x-1),其图象开口向下,且与x轴的交点坐标为(1,0)和(-2,0),故A选项 符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2026江西景德镇乐平中学月考]关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x ≥1},则 ( ) A.b>0且c<0 B.不等式cx2-bx+a<0的解集为 x -1<x<   C.4a+2b+c=0 D.不等式bx+c>0的解集为{x|x>2}     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1}, 所以a>0,且  解得  对于A,b=a>0且c=-2a<0,故A正确; 对于B,不等式cx2-bx+a<0即-2ax2-ax+a=-a(2x-1)(x+1)<0, 又a>0,所以(2x-1)(x+1)>0,解得x> 或x<-1,故B错误; 对于C,4a+2b+c=4a+2a-2a=4a>0,故C错误; 对于D,不等式bx+c>0即ax-2a=a(x-2)>0,解得x>2,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江西吉安一中期中]已知关于x的不等式ax2-(a+1)x+b<0. (1)若不等式的解集是{x|-1<x<4},求a,b的值; (2)若b=- 且不等式的解集为R,求a的取值范围; (3)若a>0,b=1,讨论此不等式的解集. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可知-1和4是方程ax2-(a+1)x+b=0的两个根,且a>0, 所以-1+4= ,-1×4= ,解得a= ,b=-2. (2)若b=- ,则不等式为ax2-(a+1)x- <0. 当a=0时,不等式为-x- <0,解得x>- ,不符合题意; 当a≠0时,易得  解得-2- <a<-2+ , 所以a的取值范围是(-2- ,-2+ ). (3)若a>0,b=1,则不等式为ax2-(a+1)x+1<0,即(ax-1)(x-1)<0. 方程(ax-1)(x-1)=0的两根分别为 ,1. 第1讲　描述运动的基本概念 当0<a<1时, >1,则不等式的解集为 x 1<x<  ; 当a=1时,不等式为(x-1)2<0,则不等式的解集为⌀; 当a>1时, <1,则不等式的解集为 x  <x<1 . 综上所述,当0<a<1时,不等式的解集为 x 1<x<  ;当a=1时,不等式的解集为⌀;当a>1时,不等式的解集 为 x  <x<1 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　一元二次不等式恒(能)成立问题 12.[2025江西南昌豫章中学月考]若关于x的不等式x2-4x>a2-5a在区间[0,4]内有解,则实数a的取值范围 是 ( ) A.(0,5)　    B.(-∞,0)∪(5,+∞) C.(1,4)　    D.(-∞,1)∪(4,+∞)     A     解析　    x2-4x=(x-2)2-4,若x∈[0,4],则当x=0或x=4时,x2-4x取得最大值,为0, 由于关于x的不等式x2-4x>a2-5a在[0,4]内有解,所以a2-5a<0,即a(a-5)<0,解得0<a<5. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[多选题][2026广东东莞第十三高级中学月考]下列条件中,是“关于x的不等式mx2-mx+1>0满足∀x ∈R恒成立”的必要不充分条件的有 ( ) A.0≤m<4　    B.0<m<4　     C.0≤m≤4　    D.-1<m<6     CD     解析　　当m=0时,原不等式为1>0,恒成立; 当m≠0时,则  解得0<m<4, 故m的取值范围是0≤m<4. 记M={x|0≤m<4},所求的必要不充分条件对应的集合是N,则M⫋N,结合选项知C,D符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026河南师范大学附属中学开学考试]已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则a的取值范围 为 ( ) A.{a|-1≤a≤4}　     B.{a|-1<a<4} C.{a|a≥4或a≤-1}　    D.{a|-4≤a≤1}     A     解析　　关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,即x2-4x+a2-3a≤0在R上有解, 对于方程x2-4x+a2-3a=0,只需Δ=(-4)2-4×(a2-3a)≥0,即a2-3a-4≤0,即(a-4)(a+1)≤0,解得-1≤a≤4, 所以实数a的取值范围是{a|-1≤a≤4}. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026江西景德镇乐平三中月考]若∀x∈[-2,1],不等式m(x2-x+1)<2恒成立,则实数m的取值范围是____ _____. 解析　令y=x2-x+1= + ,则y>0恒成立, 由m(x2-x+1)<2恒成立,得m<   min, 因为x∈[-2,1],所以y∈  ,7 ,则 ∈  ,  ,则 ∈  ,  ,所以m< ,故实数m的取值范围是 -∞,  . 第1讲　描述运动的基本概念 题组五　一元二次不等式的实际应用 16.[2025广东广州揭阳三中期中]某种衬衫的进货价为每件30元,若以40元一件的价格出售,则每天能卖 出40件;若每件提价1元,则每天将少卖出一件.为使每天出售衬衫的净收入不低于525元,则每件衬衫的 售价(单位:元)的取值范围是_______________.     [45,65]     解析　设每件衬衫提价x元,则每件衬衫的售价为(40+x)元,每天出售衬衫的净收入为(40+x-30)(40-x)=[- (x-15)2+625]元, 由题可知-(x-15)2+625≥525,整理得(x-25)(x-5)≤0,解得5≤x≤25,∴45≤40+x≤65, ∴每件衬衫的售价(单位:元)的取值范围是[45,65]. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2025上海师范大学第二附属中学期中]随着中国经济的腾飞,互联网的快速发展,网络购物需求不断 增大.某物流公司为扩大经营,今年年初用192万元购进一批小型货车,公司每年需要付保险费共计12万 元,除保险费外,从第1年到第n(n∈N+)年所需维修费等各种费用总额为3n(n-1)万元,且该批小型货车每 年给公司带来69万元的收入. (1)购买该批小型货车后的第几年开始盈利? (2)求购买该批小型货车后的年平均利润y(单元:万元)的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设购买该批小型货车后的第n(n∈N+)年的利润为M万元,由题意,得M=69n-192-12n-3n(n-1)=-3 n2+60n-192,令M>0,得n2-20n+64<0,解得4<n<16. 又n∈N+,所以nmin=5. 所以购买该批小型货车后的第5年开始盈利. (2)结合(1)可得y= =-3 +60≤-3×2× +60=12,当且仅当n= ,即n=8时取“=”, 所以购买该批小型货车后的年平均利润的最大值是12万元. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §4　一元二次函数与一元二次不等式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　一元二次不等式及其解法 1.[2026江西上饶余干中学月考]甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为 {x|1<x<6};乙写错了常数c,得到的解集为{x|1<x<4}.那么原不等式的解集为 ( ) A.{x|-1<x<6}　    B.{x|-6<x<1} C.{x|-3<x<-2}　    D.{x|2<x<3}     D     解析　　由题意知,甲的常数c正确,故由根与系数的关系知1×6=c,得c=6; 乙的常数b正确,故1+4=-b,得b=-5. 所以原不等式为x2-5x+6<0,即(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,所以原不等式的解集为{x|2<x<3}. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西抚州金溪一中月考]设0<b<a+1,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数解恰有3个,则 实数a的取值范围是 ( ) A.{a|-1<a<0}　    B.{a|0<a<1} C.{a|1<a<3}　    D.{a|3<a<5}     C     解析　　不等式(x-b)2>(ax)2可变形为[(a+1)x-b][(a-1)x+b]<0, 由0<b<a+1,不等式的解集中的整数解恰有3个,得a-1>0,即a>1, 故不等式的解集为 x  <x<  ,又 <1,所以不等式解集中的3个整数解是-2,-1,0, 则-3≤- <-2,即2< ≤3,即2a-2<b≤3a-3, 又b<a+1,所以2a-2<1+a,解得a<3, 故实数a的取值范围是{a|1<a<3}. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2025江苏泰州调研]设a为实数,则下列集合可能是不等式 >0的解集的是( ) A.{x|x<-2}　     B. x x< 或x>-2  C. x  <x<-2 　    D. x -2<x<       ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为 >0,所以(ax-1)3(x+2)>0,显然(ax-1)2>0,则不等式等价于(ax-1)(x+2)>0. 当a>0时,不等式可化为 (x+2)>0,解得x<-2或x> . 当a=0时,不等式可化为-(x+2)>0,解得x<-2,故A正确. 当a<0时,不等式可化为 (x+2)<0(*), 若 <-2,即- <a<0,解不等式(*)得 <x<-2,故C正确; 若 =-2,即a=- ,此时不等式为(x+2)2<0,无解; 若 >-2,即a<- ,解不等式(*)得-2<x< ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026福建厦门第一中学月考]不等式 ≤x的解集为 ( ) A.[-1,2]∪[3,+∞)　    B.(-1,2]∪(3,+∞) C.(-1,2)∪(3,+∞)　     D.(-∞,-1)∪[2,3)     B     解析　　不等式 ≤x即 -x≤0,即 ≤0, 即 ≥0, 因为x2+x+1= + >0恒成立,所以原不等式等价于 ≥0. 解法一:由 ≥0得 或  解得x>3或-1<x≤2,故原不等式的解集为(-1,2]∪(3,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:由 ≥0得(x-2)(x-3)(x+1)≥0,且x≠-1,x≠3.(将分式不等式转化为高次不等式,注意分母 不为0) 利用穿针引线法画图如下:   所以-1<x≤2或x>3,故原不等式的解集为(-1,2]∪(3,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　一元高次不等式的常用解法 1.不等式组法:利用积的符号法则将一元高次不等式转化为两个或多个一元一次或一元二次不等式组, 各不等式组解集的并集就是原不等式的解集. 2.穿针引线法(数轴标根法):(1)将不等式化为标准形式,即右端为0,左端为一次因式或二次不可约因式 (因式中x的系数为正)的乘积;(2)求出各因式对应方程的实数根,并在数轴上标出;(3)自最右端根的上方 起,用平滑的曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次根穿过,遇偶次根穿而不过(即“奇穿偶不 穿”);(4)记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集. 注意:①当不等式带等号时,对应方程的解在数轴上需画为实心点,即不等式解集的边界处应取等号;② 若为高次分式不等式,则先化为整式不等式,再用穿针引线法求解. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西新余分宜四中段考]设y=ax2-(a+1)x+a-2(a∈R). (1)若a=2,求y<0的解集; (2)若不等式y≥-2对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围; (3)解关于x的不等式:y<a-3. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=2时,y=ax2-(a+1)x+a-2=2x2-3x=x(2x-3),令x(2x-3)<0, 解得0<x< ,即y<0的解集为 . (2)∵y≥-2,∴ax2-(a+1)x+a=(x2-x+1)a-x≥0, ∵x2-x+1= + >0恒成立, ∴a≥ = 对任意的x∈(0,+∞)恒成立, ∵x+ ≥2(当且仅当x=1时取等号),∴ ≤1,∴a≥1, 故a的取值范围为[1,+∞). (3)由y<a-3得ax2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)<0. 第1讲　描述运动的基本概念 ①当a=0时,-x+1<0,解得x>1. ②当a<0时,(ax-1)(x-1)<0的解集为 -∞,  ∪(1,+∞). ③当a>0时,令(ax-1)(x-1)=0,解得x= 或x=1, 若a=1,则(ax-1)(x-1)<0即(x-1)2<0,不等式无解; 若0<a<1,则 >1,则(ax-1)(x-1)<0的解集为 1,  ; 若a>1,则0< <1,则(ax-1)(x-1)<0的解集为  ,1 . 综上所述,当a<0时,不等式的解集为 -∞,  ∪(1,+∞);当a=0时,不等式的解集为(1,+∞);当0<a<1时,不 等式的解集为 1,  ;当a=1时,不等式的解集为⌀;当a>1时,不等式的解集为  ,1 . 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　用分类讨论解含有参数的一元二次不等式的思路: (1)含参数的一元二次不等式的讨论次序:①二次项系数;②判别式;③若有实根,两实根的大小关系. (2)上面的讨论内容可能产生的讨论形式:①二次项系数若含有参数,则应讨论是等于0、小于0还是大 于0的;②判断方程的根的个数,即讨论判别式与0的大小关系;③当方程无实根时,可直接写出解集,当方 程有实根时,要讨论两个实根的大小关系,从而写出解集. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　三个“二次”的综合应用 6.[多选题][2025江西多校联考]已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的部分图象如图所示,则  ( )   A.a+b>0　     B.abc>0 C.13a+b+2c>0　     D.不等式bx2-ax-c>0的解集为{x|-2<x<1}     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题中图象可知a>0,图象与x轴的交点为(-1,0),(2,0), 故y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-2)=ax2-ax-2a,即b=-a,c=-2a. 对于A,a+b=a+(-a)=0,故A错误; 对于B,abc=a·(-a)·(-2a)=2a3>0,故B正确; 对于C,13a+b+2c=13a-a-4a=8a>0,故C正确; 对于D,bx2-ax-c>0可化为-ax2-ax+2a>0,即x2+x-2<0,即(x-1)(x+2)<0, 其解集为{x|-2<x<1},故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026江西赣州第一中学质量检测]已知不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d},则下列结论 中正确的是 ( ) A.a2=4b B.若不等式x2+ax+b<c的解集为(-3,1),则a+b+c=7 C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0 D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d},所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b,A正确; x2+ax+b<c即x2+ax+b-c<0,因为其解集为(-3,1), 所以 又a2=4b,所以  故a+b+c=7,B正确; 若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2=-b=- <0,C错误; 若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),则x2+ax+b-c<0的解集为(x1,x2),则x1+x2=-a,x1x2=b-c= -c,故|x1-x2|=  = =2 =4,解得c=4,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2025河北邢台一中月考]二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的自变量x与因变量y的部 分对应值如下表: x … -1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当x= 时,对应的y值小于0.下列说法正确的有 ( ) A.abc>0 B.mn>  C.函数图象的对称轴为直线x=  D.关于x的方程ax2+bx+c=0一定有一正、一负两个实数根,且负实数根在- 和0之间     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　将(0,2),(1,2)分别代入y=ax2+bx+c,得 所以 所以二次函数y=ax2+bx+c即y=ax2- ax+2, 当x= 时,y<0,即 a- a+2<0,解得a<- ,所以b=-a> ,则a<0,b>0,c>0,故abc<0,故A错误; 当x=-1时,m=a+a+2=2a+2,当x=2时,n=4a-2a+2=2a+2,所以mn=(2a+2)2=4(a+1)2,因为a<- ,所以mn> ,故 B正确; 易知二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x= ,又当x= 时,y<0,所以根据二次函数图象的对称性知, 当x=- 时,y<0,而当x=0时,y=2>0,所以二次函数的图象与x轴负半轴的交点的横坐标在- 和0之间,所以 关于x的方程ax2+bx+c=0一定有一正、一负两个实数根,且负实数根在- 和0之间,故C,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 易错分析　运用三个“二次”之间的关系解决一元二次不等式问题的关键是由一元二次不等式的解 集得到对应二次函数的图象和对应方程的两根,再利用根与系数的关系建立参数间的关系,解题时要注 意二次项系数的符号、二次函数图象的对称轴等特征. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　一元二次不等式恒(能)成立问题 9.[2025江西上饶月考]设命题p:∀x∈[-1,1],不等式x2-2x-4+m<0恒成立;命题q:∃x∈[0,1],使得不等式2x- 2≥m2-3m成立.若p,q中至少有一个是假命题,则实数m的取值范围为 ( ) A.{m|m<-1}　     B.{m|0≤m≤3} C.{m|0≤m<1}　    D.{m|m<0或m≥1}     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　若p为真命题,即∀x∈[-1,1],不等式x2-2x-4+m<0恒成立,等价于当-1≤x≤1时,m<(-x2+2x+4)min, 当-1≤x≤1时,-x2+2x+4=-(x-1)2+5≥-(-1-1)2+5=1,即(-x2+2x+4)min=1,所以m<1; 若q为真命题,即∃x∈[0,1],使得不等式2x-2≥m2-3m成立,等价于当0≤x≤1时,(2x-2)max≥m2-3m, 当0≤x≤1时,-2≤2x-2≤0,所以m2-3m≤0,解得0≤m≤3. 若p,q都是真命题,则 解得0≤m<1. 所以若命题p,q中至少有一个是假命题,则m<0或m≥1,即m的取值范围是{m|m<0或m≥1}. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题]若不等式(ax+2)(x2+b)≤0对任意x∈[0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的可能取值为 ( ) A.-4　    B.-5　    C.-6　    D.-3 BD     解析　　当b≥0时,x2+b≥0恒成立,故ax+2≤0在x∈[0,+∞)上恒成立,此时a不存在; 当b<0时,在同一坐标系内画出直线y=ax+2和函数y=x2+b的图象,如图所示,   第1讲　描述运动的基本概念 要使不等式(ax+2)(x2+b)≤0对任意x∈[0,+∞)恒成立, 需满足  因为a,b是整数, 所以 或  所以a+b=-5或a+b=-3. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江西景德镇一中期中]已知a>0,b∈R,若关于x的不等式(ax-2)(x2+bx-6)≥0在(0,+∞)上恒成立,则 b-4a的取值范围是________________.     (-∞,-2 ]     解析　∵a>0,∴当0<x< 时,ax-2<0,当x> 时,ax-2>0, ∵(ax-2)(x2+bx-6)≥0在(0,+∞)上恒成立,∴当x∈ 时,x2+bx-6≤0恒成立,当x∈ 时,x2+bx-6≥0 恒成立,∴x= 是方程x2+bx-6=0的一个根, ∴ + -6=0,即b=3a- , 此时x2+bx-6=x2+ x-6=(x+3a) =0,解得x=-3a(舍)或x= , ∴b-4a=- -a=- , ∵a>0时,a+ ≥2 (当且仅当a= 时取等号), ∴- ≤-2 ,即b-4a的取值范围为(-∞,-2 ]. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　一元二次不等式的实际应用 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025湖北襄阳宜城一中、枣阳一中期中]如图,某小区要建一个八边形的休闲场所,它的主体造型的 平面图是由两个周长均为24 m的相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的十字形区域.计划在正方形MN- PQ上建一座花坛,造价为2 000元/m2;在四个相同的矩形(图中阴影部分)内铺上塑胶,造价为100元/m2;在 四个空角(图中四个直角三角形)内铺上草坪,造价为400元/m2.若要使总造价不高于24 000元,则正方形 MNPQ的周长的最小值为_________m.       4     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设正方形MNPQ的边长为a m,则矩形EFNM的长为NF= =(6-a)m,宽为MN= a m, 所以S四边形MNPQ=a2 m2,4S四边形EFNM=4a(6-a)m2,4S△PGC=4× (6-a)2=2(6-a)2m2, 设总造价为y元,则y=2 000a2+400a(6-a)+800(6-a)2,易知0<a<6, 令y≤24 000,整理得5a2+a(6-a)+2(6-a)2≤60,则a2-3a+2≤0,可得1≤a≤2, 故amin=1,即正方形MNPQ周长的最小值为4 m. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江西赣州一中质检]为推动生产力的发展,某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设 备,并立即投入生产使用.已知该设备使用后,每年所带来的总收入为50万元,使用x年后(x∈N+),其x年来 所需维修保养费用的总和为(2x2+10x)万元,设该设备产生的盈利总额为y万元(盈利总额=总收入-总支 出). (1)写出y与x之间的函数关系式; (2)该设备从第几年开始盈利(盈利总额为正值)? (3)使用若干年后,对该设备的处理方案如下: ①当年平均盈利额达到最大值时,以30万元的价格出售该设备(年平均盈利额=盈利总额÷使用年数); ②当盈利总额达到最大值时,以12万元的价格出售该设备. 哪种处理方案较为合理?请说明你的理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)y=50x-(2x2+10x)-98=-2x2+40x-98(x∈N+). (2)令-2x2+40x-98>0,解得10- <x<10+ , ∵x∈N+,∴x的最小值为3, 故该设备从第3年开始盈利(注意结果取整数). (3)对于方案①: =-2x+40- =40- ≤40-2× =12,当且仅当2x= ,即x=7时等号成立. 故到2030年,年平均盈利额达到最大值,该设备可获利12×7+30=114(万元). 对于方案②:y=-2x2+40x-98=-2(x-10)2+102(二次函数的最值一般利用配方法求解), ∴当x=10时,ymax=102. 故到2033年,盈利总额达到最大值,该设备可获利102+12=114(万元). ∵两种方案企业获利的总额相同,而方案①所用时间较短,∴方案①比较合理. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　通过类比,用图象法解一元二次不等式 14.[2026上海复旦附中期中]不等式(x+2)(x2-6x+5)>0有多种解法,其中之一是在同一平面直角坐标系中 作出直线y=x+2与函数y=x2-6x+5的图象,然后求解,请类比此思路求解以下问题:设a,b∈R,若对任意的x ∈[-2,2],都有(ax+1)(x2-b)≤0,则 的最大值是_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　令y1=ax+1,y2=x2-b. 当b≤0时,-b≥0,则y2=x2-b≥0恒成立,要使∀x∈[-2,2],(ax+1)(x2-b)≤0恒成立,则y1=ax+1≤0在x∈[-2,2]上 恒成立, 则 或 无解; 当b>0时,直线y1=ax+1与x轴平行或与x轴的交点为 ,y2=x2-b的图象与x轴的交点为(- ,0),( ,0), 画出两个函数的图象如图所示:   第1讲　描述运动的基本概念 由图知y2≤0在[- , ]上恒成立,所以只需使得y1=ax+1≥0在[-2,2]上恒成立且[-2,2]⊆[- , ], 则a=0或 或 且 解得- ≤a≤ ,b≥4, 则0< ≤ ,故 ∈ , 所以 的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 $