2.3 函数的单调性和最值导学案——2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学导学案围绕函数的单调性和最值展开，通过“温故”回顾函数定义与表示法，“知新”构建单调性（定义、单调区间）和最值的符号语言，形成从旧知到新知的学习支架。 资料以预习引导从图象直观到符号语言抽象，课前自测结合图象分析与代数推理，反思拓展联系生活优化问题，助力学生深化概念理解，培养数学眼光、数学思维与数学语言表达能力，提升高阶数学思维与学习效率。

2.3 函数的单调性和最值 预习提要 1.回顾函数定义及图象，学会从图象直观感受函数增减变化，借助变量变化规律建立单调性认知，做好知识铺垫. 2.研读课本，理解增函数、减函数定义，掌握单调性、最值的符号语言，学习单调区间书写，探究利用单调性求解函数最值. 【温故】 1.函数定义：给定实数集中的两个非空数集和，如果存在一个 ，使对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就把对应关系称为定义在集合上的一个函数，记作 ，．其中集合称为函数的 ，称为自变量，与值对应的值称为 ，集合称为函数的 ． 2.函数的表示法：通常有 、 和 ． 【知新】 1.函数的单调性与单调区间：如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数在区间上 ．这时，区间叫作函数的 ．如果对于任意的，当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递减．这时，区间叫作函数的单调递减区间． 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就称函数在区间上具有 ．单调递增区间和单调递减区间统称为 ． 2.增函数、减函数：如果对于定义域上任意的，当时，都有，那么就称函数是 ．如果对于定义域上任意的，当 时，都有，那么就称函数是减函数． 3.函数的最值：若存在实数，对所有的，都有 ，且存在，使得，则称为函数的 ．若存在实数，对所有的，都有，且存在，使得 ，则称为函数的最小值．函数的最大值和最小值统称为 ． 课前自测 1.若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知函数在上的最大值为1，则k的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.（多选）如图是函数，的图象，则下列说法正确的是( ) A.在上单调递减 B.在上单调递增 C.在区间上的最大值为3，最小值为 D.在上有最大值3，有最小值 4.已知函数则的单调递增区间为___________. 5.函数的最小值是__________. 反思 【拓展】 欧拉曾说：数学的真谛在于探寻变化中的规律.函数的升降起伏、最值，是变量变化最直观的数学规律.单调性理清变化趋势，最值界定取值边界.深耕函数性质，跳出表面图象认知，学会用严谨代数推理证明变化规律，培养动态分析、精准把控范围的高阶数学思维. 单调性与最值广泛应用于生活优化与科学研究.气温升降、车速变化、物价波动均对应函数单调变化；工程用料最省、利润最大、效率最高、能耗最低等最优问题，本质都是求解函数最值.经济分析、工程设计、数据预测等领域，均依靠函数性质筛选最优方案，实用性极强. 【思考】 1.函数单调区间为什么不能用并集连接，只能分开书写区间？ 2.定义法证明函数单调性时，作差变形的核心目的是什么？ 3.函数最值和值域有什么关联与区别，开区间为何可能无最值？ 答案及解析 【温故】 1.对应关系 定义域 函数值 值域 2.解析法 列表法 图象法 【知新】 1.单调递增 单调递增区间 单调性 单调区间 2.增函数 3. 最大值 最值 课前自测 1.答案：C 解析：，若在区间上单调递增，则解得.故选C. 2.答案：B 解析：当时，函数在上单调递减，所以函数在处取得最大值，最大值为，解得.故选B. 3.答案：BD 解析：对于A，B选项，由函数图象可得，在和上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确；对于C选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为3，无最小值，故C错误；对于D选项，由图象可得，函数在上有最大值3，有最小值，故D正确.故选BD. 4.答案： 解析：当时，单调递减；当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减.故答案为. 5.答案： 解析：的定义域为，由于函数和函数在上均单调递增，所以，故最小值为，故答案为. 学科网（北京）股份有限公司 $