26.4.3　建立适当坐标系解决生活中抛物线形问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“建立适当坐标系解决生活中抛物线形问题”，通过回顾二次函数解析式形式及图像平移规律，搭建新旧知识联系，为实际问题建模提供学习支架。 以拱桥、投篮、喷泉等生活实例为载体，引导学生分组探究不同坐标系建立方法，经历抽象数学问题、构建二次函数模型的过程，培养数学眼光（抽象能力、几何直观）和数学思维（推理能力），提升学生应用意识，助力教师高效突破建模难点，落实核心素养。

26.4.3　建立适当坐标系解决生活中抛物线形问题 　　　　　　　　　　　　　　 课题 第3课时　建立适当坐标系解决 生活中抛物线形问题 授课人 教 学 目 标 1.能根据具体的问题情境建立数学模型,应用二次函数的知识求解,并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 2.学会从多个角度思考问题,逐步提高解决问题的能力. 3.通过对实际问题的研究,体会建模的数学思想. 4.经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体会转化和数形结合的思想. 5.通过问题的设计、解答,使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法,获得解决问题的经验. 6.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神. 7.通过用二次函数的知识解决实际问题,体会数学与现实生活的紧密联系,提高学习数学的兴趣,增强应用数学的意识. 教学 重点 　　探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法. 教学 难点 　　如何从实际问题中抽象出数学问题,建立数学模型. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 1.二次函数解析式常见的形式有哪几种?说明其特征. 2.对二次函数y=ax2+bx+c的图象进行平移时: 向上平移k(k>0)个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么? 向下平移k(k>0)个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么? 向左平移h(h>0)个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么? 向右平移h(h>0)个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么? 师生活动:教师引导学生回忆知识,学生进行解答,教师做好点评. 　　在已有知识的基础上提出新的问题,能为学生营造一个主动思考、探索的氛围,激发学生的学习兴趣. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 解决拱桥问题 图26-4-20 问题:一座抛物线形拱桥如图26-4-20所示,当拱顶离水面4 m时,水面宽10 m.突降暴雨后水面上升1 m,此时水面宽为多少(结果保留小数点后一位)? 师生活动: 教师进行引导,提出问题: 你认为应该运用什么知识解答本题? 根据问题中的图形为抛物线,可知本题应该运用二次函数的知识进行解答. 活动 二: 探究 与 应用 　　学生分组讨论,如何利用函数模型解决问题,教师帮助学生解决问题. 活动一:针对上面的问题,教师进行提示: ①要解答二次函数的问题,必须把抛物线放在平面直角坐标系中, 故必须建立适当的平面直角坐标系; ②求水面增加的宽度,实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标; ③求出函数解析式,进而求点的坐标; ④求函数解析式应该用待定系数法. 师生活动:学生先独立进行解答,然后小组内交流讨论,教师适时点拨,指导学生写出解题过程. 图26-4-21 解:以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图26-4-21.设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点(5,-4),可得-4=a×52,解得a=-.因此,这条抛物线对应的二次函数为y=-x2.当水面上升1 m时,水面的纵坐标为-3.把y=-3代入函数解析式,得x=±,∴AB=5 m≈8.7 m, 则水面宽约为8.7 m. 活动二:教师指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答. 学生独立完成解题过程,小组内交流比较:建立的平面直角坐标系是否相同,计算结果是否一致. 图26-4-22 如解法: 解:当水面上升1 m后,水面交抛物线形拱桥于A,B两点,当水面宽度为4 m时,水面交抛物线形拱桥于C,D两点,如图26-4-22,以AB所在直线为x轴,经过AB的中点O且与AB垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则通过画图可知O为原点,抛物线的对称轴为y轴,则抛物线的顶点坐标为(0,3),根据以上条件可设抛物线对应的二次函数解析式为y=ax2+3.将D(5,-1)代入,得-1=a×52+3,解得a=-,∴抛物线对应的二次函数为y=-x2+3.当水面上升1 m时,水面的纵坐标为0.把y=0代入函数解析式,得x=±, ∴AB=5 m≈8.7 m,则水面宽约为8.7 m. 【探究2】 解决运动轨迹类问题 　图26-4-23 问题:如图26-4-23,一名运动员在距离篮筐中心4 m(水平距离)远处跳起投篮,篮球准确落入篮筐,已知篮球运行的路线为抛物线的一部分,当篮球运行的水平距离为2.5 m时,篮球达到最大高度,且最大高度为3.5 m.如果篮筐中心距离地面3.05 m,那么篮球在该运动员出手时的高度是多少? 师生活动:学生独立解答,再合作交流,然后展示成果.教师巡视,观察学生解决问题的过程与方法,并给予学习有困难的学生及时的引导和帮助. 　　1.通过日常生活中的实际问题,激发学生的学习兴趣,培养学生的探究意识和解决实际问题的能力. 　　2.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数解析式,但结果是相同的,选择合适的平面直角坐标系可以使解答更简便,更明确易懂. 3.通过抛物线与常见生活情景相联系的题目的展示,拓宽学生视野,提高学生灵活运用知识的能力. 活动 二: 探究 与 应用 　图26-4-24 　　解:如图26-4-24,建立平面直角坐标系,则点A的坐标是(1.5,3.05),篮球在最大高度时的位置为B(0,3.5).用点C表示运动员投篮时篮球的出手处. 设抛物线对应的二次函数解析式为y=ax2+k,则 解得 ∴该抛物线对应的二次函数解析式为y=-0.2x2+3.5. 当x=-2.5时,y=2.25. 故篮球在该运动员出手时的高度为2.25 m. 教师引导学生进行归纳总结: ①建立适当的平面直角坐标系;②根据题意找出题目中的点的坐标;③求出抛物线的函数解析式;④直接利用图象解决实际问题. 　　4.通过总结抛物线形实际问题的解题步骤,使学生明确问题的解答方法,思路清晰,明确解题方向. 【理解应用】 　图26-4-25 例1　如图26-4-25,某隧道纵截面的轮廓线由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成,矩形的长是12米,宽是3米,隧道的最大高度为6米,现以点O为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)直接写出点M,N及抛物线顶点P的坐标; (2)求出这条抛物线的函数解析式; (3)一辆货车装载某大型设备后高为5米,宽为4米,那么这辆货车能否安全通过该隧道? 师生活动:学生按要求进行解答,教师做好指导、点拨. 教师关注: (1)学生能否熟练地运用二次函数的有关知识解决实际问题; (2)学生是否具有探索精神. 答案:(1)M(12,0),N(0,3),P(6,6) (2)y=-x2+x+3 (3)这辆货车能安全通过该隧道 　　激发学生的学习欲望和兴趣,让学生切实感受到数学就在身边.让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移,并让学生体验数学建模思想,增强应用意识. 【拓展提升】 例2　如图26-4-26,某公园要建造圆形喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25 m,由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1 m处达到距水面最大高度2.25 m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少为多少才能使喷出的水流不落到池外? 图26-4-26 　　通过抛物线与常见生活情景相联系的题目的展示,拓宽学生的视野,提高学生灵活运用知识的能力. 活动 二: 探究 与 应用 解:建立如图26-4-27所示的平面直角坐标系. 　图26-4-27 根据题意,得点A的坐标为(0,1.25),顶点B的坐标为(1,2.25). 设第一象限内抛物线表示的二次函数解析式为y=a(x-1)2+2.25. 将A(0,1.25)代入,得a=-1, ∴y=-(x-1)2+2.25. 令y=0,得-(x-1)2+2.25=0, 解得x1=2.5,x2=-0.5(不符合题意,舍去), ∴水池的半径至少为2.5 m才能使喷出的水流不落到池外. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 【当堂训练】 1.一座桥的桥拱呈抛物线形,建立如图26-4-28所示的平面直角坐标系,其抛物线表示的二次函数为y=-x2,当水面离桥拱拱顶的高度DO是4 m时,水面宽度AB为 (C) 图26-4-28 A.-20 m　　　B.10 m　　　C.20 m　　　D.-10 m 2.小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y=-x2+x+,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为　2　米.  3.某工厂的大门呈抛物线形,大门的地面宽度为8 m,两侧距地面3 m高处各有一盏壁灯,两盏壁灯之间的水平距离为6 m,如图26-4-29所示,则大门的高约为　6.9　 m(保留小数点后一位).  图26-4-29 4.足球被从地面上踢起,它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的关系式为h=-4.9t2+19.6t,则球在　4　s后落地.  　　针对本课时的主要问题,从多个角度分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 活动 三: 课堂 总结 反思 5.城市花园广场喷泉的喷嘴安装在平地上,有一喷嘴喷出的水流呈抛物线形,喷出水流的高度y(m)与喷出水流距喷嘴的水平距离x(m)之间满足y=-x2+2x. (1)求喷嘴喷出的水流的最大高度是多少; (2)求喷嘴喷出的水流的最远距离是多少. [答案:(1)2 m　(2)4 m] 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知环节中,充分利用多媒体手段提高课堂效率,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,有效解决了教学的重难点.在课堂训练环节中,教师给予学生充分的自由时间,让学生能够体会建立平面直角坐标系的作用,明确解答问题的步骤,树立建模思想. ②[讲授效果反思] 教师强调重点:(1)明确解决抛物线形问题的步骤;(2)设抛物线表示的二次函数解析式时,要根据函数图象选择恰当的形式. ③[师生互动反思] 在开放、多样的教学活动中,培养学生主动合作的意识及对数学的兴趣和爱好. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $