26.4.3 抛物线形问题（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的抛物线形实际应用，梳理建系、找点、求式、解题四步法及三种最优建系模型，通过拱桥、喷泉等问题导入，衔接二次函数图像与性质，为学生搭建从知识到应用的学习支架。 其亮点在于以实际场景抽象数学模型培养数学眼光，通过一题多解（如拱桥三种建系方法）训练数学思维，用函数解析式解决高度宽度问题强化数学语言。包含中考真题与易错总结，助力学生掌握模型思想，教师可高效开展培优教学。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 26.4.3抛物线形问题 第26章 二次函数 26.4.3 抛物线形问题（含解析） 一、核心知识点梳理 抛物线形问题是二次函数几何实际应用大题，常见场景：拱桥、隧道、喷泉喷水、球类运动轨迹。解题核心：建立平面直角坐标系→设抛物线解析式→代入已知点求系数→利用函数解决高度、宽度、距离问题。 1. 解题核心思路（万能四步法） ① 建系：优先选择最优建系方式（简化计算），通常以抛物线顶点为原点、或以对称轴为y轴、或以地面中点为原点； ② 找点：把题目中的高度、宽度、距离转化为图象上点的坐标； ③ 求式：根据图象特点设顶点式/一般式，代入点坐标求出完整解析式； ④ 解题：已知横坐标求高度、已知纵坐标求宽度，解决实际问题。 2. 三种最优建系模型（考试首选） 模型1：顶点在原点，开口向下（最常用） 解析式设为：$$y=ax^2(a<0)$$，适用于拱桥、喷泉最高点在正中间。 模型2：对称轴为y轴，顶点在$(0,k)$ 解析式设为：$$y=ax^2+k(a<0)$$，适用于顶点高于地面、对称图形。 模型3：顶点在$(h,k)$的顶点式 解析式设为：$$y=a(x-h)^2+k$$，适用于不对称、斜抛、球类轨迹问题。 3. 两类必考提问方式 （1）已知水平距离，求最大高度/某处高度（代$x$求$y$）； （2）已知限制高度，求通行最大宽度（代$y$求$x$，左右距离作差）。 4. 关键解题技巧 对称图形优先用y轴为对称轴，可直接消去一次项$b$，大幅简化计算；实际问题中高度、宽度均为正数，求解后需舍去负根。 二、经典题型练习（中考必考模型） 解答题 1. 一座抛物线形拱桥，当水面宽为4m时，拱顶离水面2m。水面下降1m，求此时水面宽度。 2. 公园喷泉的喷水轨迹为抛物线，水流喷出高度$y(\text{m})$与水平距离$x(\text{m})$满足函数关系$$y=-0.5x^2+2x$$。求水流的最大高度和最远喷水水平距离。 3. 一隧道顶部为抛物线形，隧道地面水平宽度8m，隧道最高高度4m。以地面中点为原点建立坐标系，求抛物线解析式，并求距离地面水平宽度2m处的隧道高度。 4. 篮球投篮轨迹是抛物线，球出手点距离地面2m，水平向前4m时达到最大高度4m，求篮球的运动轨迹解析式。 三、参考答案与详细解析 1. 拱桥问题解析 解：以拱顶为原点，水平向右为x轴，竖直向下为y轴建立平面直角坐标系。 由题意得：水面宽4m，拱顶离水面2m，可得水面端点坐标$$(2,2)$$。 设抛物线解析式：$$y=ax^2$$，代入$$(2,2)$$：$$2=4a$$，解得$$a=\dfrac{1}{2}$$。 解析式：$$y=\dfrac{1}{2}x^2$$。 水面下降1m，此时水深$$y=3$$，代入得：$$3=\dfrac{1}{2}x^2$$，$$x^2=6$$，$$x=\pm\sqrt{6}$$。 此时水面宽度：$$\sqrt{6}-(-\sqrt{6})=2\sqrt{6}\ \text{m}$$。 答：水面下降1m后，水面宽度为$$2\sqrt{6}\ \text{m}$$。 2. 喷泉喷水问题解析 $$y=-0.5x^2+2x$$，$$a=-0.5<0$$，有最大值。 对称轴：$$x=-\dfrac{2}{2\times(-0.5)}=2$$。 最大高度：$$y=-0.5\times4+4=2\ \text{m}$$。 求最远距离：令$$y=0$$，$$-0.5x^2+2x=0$$，解得$$x_1=0，x_2=4$$。 答：水流最大高度为2m，最远喷水水平距离为4m。 3. 隧道问题解析 以地面中点为原点，地面为x轴，竖直向上为y轴建系。 由题意得：顶点$$(0,4)$$，左右端点$$(-4,0)、(4,0)$$。 设解析式：$$y=ax^2+4$$，代入$$(4,0)$$：$$0=16a+4$$，解得$$a=-\dfrac{1}{4}$$。 解析式：$$y=-\dfrac{1}{4}x^2+4$$。 距离地面水平宽度2m处，即$$x=2$$或$$x=-2$$，代入得： $$y=-\dfrac{1}{4}\times4+4=3\ \text{m}$$。 答：抛物线解析式为$$y=-\dfrac{1}{4}x^2+4$$，该处高度为3m。 4. 篮球轨迹问题解析 由题意，最高点为顶点，顶点坐标$$(4,4)$$，设顶点式：$$y=a(x-4)^2+4$$。 出手点坐标$$(0,2)$$，代入得：$$2=a(0-4)^2+4$$，$$16a=-2$$，$$a=-\dfrac{1}{8}$$。 解析式：$$y=-\dfrac{1}{8}(x-4)^2+4$$。 展开整理：$$y=-\dfrac{1}{8}x^2+x+2$$。 答：篮球运动轨迹解析式为$$y=-\dfrac{1}{8}(x-4)^2+4$$。 四、高频易错总结 1. 建系混乱：乱建坐标系导致坐标全部出错，优先选用对称轴为y轴的标准建系； 2. 坐标看错：混淆水平距离、竖直高度，把x、y坐标写反； 3. 漏舍负根：求宽度时解出正负x，忘记舍去无实际意义的负数； 4. 解析式设错：对称图形误用一般式，计算量大且易出错； 5. 审题偏差：混淆“离中心距离”和“离端点距离”，代入x值错误。 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 能运用二次函数的图象与性质进行决策． 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 探究新知 建立平面直角坐标系解答抛物线形问题 知识点 建立函数模型. 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数. 你能想出办法来吗？ 探究新知 【合作探究】 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0，0），因此这个二次函数的形式为 探究新知 如何确定a是多少？ 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（5，-4）在抛物线上，由此得出 , 解得 探究新知 A -4=a×52 因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 水面宽8m时, 从而 因此拱顶离水面高2.56m. 现在你能求出水面宽8米时，拱顶离水面高多少米吗？ 探究新知 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 探究新知 建立二次函数模型解决实际问题 例1 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m，突降暴雨后水面下降1m时，此时水面为多少？ 建立坐标系解答生活中的抛物线形问题 素养考点 1 探究新知 9 9 解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. ∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2. 当拱桥离水面4m时,水面宽10m， 即抛物线过点(5,-4), 当水面上升1m时,水面的纵坐标为－3,这时有 因此当水面上升1m时,水面宽度为5 m. 探究新知 ∴-4=a×52,∴a= . ∴这条抛物线所对应的二次函数为y= . , 解得x= 这时水面宽度为5 m, 10 10 因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax²+4. 解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,4). 当拱桥离水面4m时,水面宽10m, 探究新知 y x o ∴这条抛物线所对应的二次函数为 . 当水面上升1m时,水面的纵坐标为1,这时有 因此当水面上升1m时,水面宽度为5 m. , 解得x= 这时水面宽度为5 m, 0=a×52+4，a= . 即抛物线过点(5,0), 11 11 因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-5)²+4. 解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(5,4). 探究新知 y x o 当水面上升1m时,水面的纵坐标为1,这时有 因此当水面上升1m时,水面宽度为5 m. ∴这条抛物线所对应的二次函数为 . , 解得x= 这时水面宽度为5 m, ∵抛物线过点(0,0),∴0=a×(-5)²+4.∴a= . 12 12 1.理解问题; 回顾 “最大利润”和 “桥梁建筑”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流. 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系； 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性. 【思考】“二次函数应用”的思路 探究新知 13 例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 探究新知 2.5m 4m 3.5m 3.05m 解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度 时的位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处. x y O 设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ， 即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的表达式为y=0.2x2+3.5. 当 x=2.5时，y=2.25 . 故该运动员出手时的高度为2.25m. 2.25a+k=3.05， k=3.5， 探究新知 15 应用1 池塘问题 1.某池塘的截面如图所示，池底呈 抛物线形，以水平地面为 轴，垂直 于水平地面且位于池塘中心的线为 轴建立平面直角坐标系，池塘的宽 ，池底最深处距 离水平地面，原来的水面宽 ，若池塘中水面的 宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为______. 中考考法 16 【点拨】由题意可得，抛物线的顶 点坐标为，且过点 ， 设池底所在抛物线的解析式为 ，把点 的坐标代入解析式可得 ，解得， .当池塘中水面的 宽度减少为原来的一半，即时，易知 ， ， 此时最深处到水面的距离为 中考考法 17 应用2 拱桥问题 2. [2025广东] 如图，某跨海钢箱 梁悬索桥的主跨长 ，主塔高 ，主缆可视为抛物线，主缆垂度 为，主缆最低处距离桥面 ，桥面距离 海平面约 . 请在示意图中建立合适的平面直角坐标系， 并求该抛物线的解析式.#1 中考考法 18 【解】（答案不唯一）建立平面 直角坐标系，如图所示. 则抛物线顶点坐标为 ，,，即 ， 设该抛物线的解析式为 ， 将的坐标代入 .得 ，解得 ， 该抛物线的解析式为 . 中考考法 19 本题答案不唯一，建立不 同的平面直角坐标系，可得不同的抛 物线解析式.一般以顶点为原点建立 平面直角坐标系比较简便. . . . . 中考考法 20 应用3 隧道问题 3. [2026阜阳期末] 某隧道的截面由抛物 线和长方形构成，若隧道宽度 为 ，最高处离地面 ，长方形的宽为 .如图，现以点为原点， 所在的直线 （1）求出抛物线的解析式（写出自变量的取值范围）. 为轴，所在的直线为 轴建立平面直角坐标系. 中考考法 21 【解】 隧道宽度为 ，最高处离地面 ， 抛物线的顶点坐标为 . 设该抛物线的解析式为 . 长方形的宽为， 抛物线经过点 . 把的坐标代入 ，得 ， 中考考法 22 . . 该抛物线的解析式为 . 中考考法 （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为 ， 如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ 中考考法 24 由（1）知该抛物线的顶点坐标为 . 一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽 为 ，隧道内设双向车道， 货运汽车靠路面中心线行驶时，其另一 侧与地面交点的横坐标为或 . 当 时， ; 中考考法 25 当 时， . 这辆货运汽车能安全通过. 中考考法 （3）在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面 的高度相同，如果路灯离地面的高度不超过 ，那么两排 路灯的水平距离最小是多少？ 中考考法 27 由（1）知 ， 依题意，令，则 ， ， 解得， ， 则 ， 两排路灯的水平距离最小是 . 中考考法 28 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法 实际问题 数学模型 转化的关键 课堂小结 $