26.4.2商品利润最大问题 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的商品利润最大问题，梳理核心利润公式、两类经典题型模型及标准解题模板，通过复习二次函数求最值方法导入，搭建从数学知识到实际应用的学习支架。 其亮点在于以结构化解题模板培养模型意识，分层习题设计发展推理能力，易错点总结强化应用意识。如通过六步解题流程引导学生用数学思维构建函数模型，结合中考真题提升实践能力，助力学生掌握解题方法，教师可高效开展教学。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 26.4.2商品利润最大问题 第二十六章 二次函数 26.4.2 商品利润最大问题 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 核心利润公式（必考必背） 单件利润 = 售价 − 进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 二次函数利润模型：通过涨价/降价改变单件利润和销量，建立总利润与调价量的二次函数，利用顶点求最大利润。 2. 两类经典题型模型 模型① 涨价少卖：原价销售，每涨价1元，销量减少固定数量； 模型② 降价多卖：原价销售，每降价1元，销量增加固定数量； 两类模型最终解析式均为 $$y=ax^2+bx+c(a<0)$$，开口向下，顶点处存在最大利润。 3. 标准解题模板（考试满分步骤） ① 设未知数：设涨价/降价 $$x$$ 元； ② 表示新单价、新销量：新售价=原价±$$x$$；新销量=原销量∓变化量×$$x$$； ③ 表示单件利润：单件利润=新售价−进价； ④ 列总利润函数：$$W=\text{单件利润} \times \text{销量}$$，整理为二次函数标准式； ⑤ 限定自变量范围：售价、利润、销量必须为正数，结合实际取值； ⑥ 求最值：顶点横坐标在取值范围内，顶点取最大利润；超出范围取端点最值。 4. 重要结论 利润问题二次函数开口一定向下，只有最大值，没有最小值；实际应用题中，若顶点横坐标不是整数，需取最接近的整数计算最大利润（商品数量为整数）。 二、基础巩固习题 （一）填空题 1. 商品进价20元，售价30元，销量100件，则单件利润为______元，总利润为______元。 2. 商品原价40元，每涨价1元少卖2件，原销量50件，若涨价$$x$$元，则新销量为________件。 （二）基础解答题 3. 某商品进价每件30元，售价每件40元，每周可卖出200件。市场调查发现：每件涨价1元，周销量减少5件。设涨价$$x$$元，求总利润$$W$$关于$$x$$的函数解析式，并求最大利润。 三、综合提升习题 （三）拔高解答题（降价促销模型） 4. 某文具进价10元，售价16元，日均销量60件。经统计：每降价1元，日均多卖10件。设降价$$x$$元，求日均最大利润及对应的售价。 5. 某商店销售纪念品，进价20元，售价35元，每月可售300件。每涨价2元，月销量减少20件，如何定价可获得最大月利润？最大利润是多少？ 四、参考答案与详细解析 1. 10，1000 解析：单件利润$$30-20=10$$，总利润$$10\times100=1000$$。 2. $$50-2x$$ 解析：涨价销量减少，每涨1元少2件，涨$$x$$元少$$2x$$件。 3. 解：单件利润：$$40+x-30=10+x$$，销量：$$200-5x$$ 总利润：$$W=(10+x)(200-5x)=-5x^2+150x+2000$$ $$a=-5<0$$，对称轴$$x=-\dfrac{150}{2\times(-5)}=15$$ 当$$x=15$$时，$$W_{max}=-5\times225+150\times15+2000=3125$$ 答：最大利润为3125元。 4. 解：降价$$x$$元，单件利润：$$16-x-10=6-x$$，销量：$$60+10x$$ $$W=(6-x)(60+10x)=-10x^2+0x+360=-10x^2+360$$ 对称轴$$x=0$$，在取值范围内，降价会降低最大利润。 故不降价时利润最大，售价16元，最大利润360元。 答：售价16元时，日均利润最大为360元。 5. 解：设涨价$$x$$个2元，即涨价$$2x$$元。 单件利润：$$35+2x-20=15+2x$$，销量：$$300-20x$$ $$W=(15+2x)(300-20x)=-40x^2+300x+4500$$ 对称轴$$x=\dfrac{300}{80}=3.75$$，$$x$$取整数，比较$$x=3$$、$$x=4$$ $$x=3$$，定价$$35+6=41$$，利润$$5160$$；$$x=4$$，定价$$43$$，利润$$5160$$ 答：定价41元或43元时，最大利润为5160元。 五、本节易错点总结 1. 列式顺序错误：总利润必须是“单件利润×销量”，不要用售价×销量； 2. 涨价降价符号混乱：涨价加、销量减；降价减、销量加，必须对应； 3. 忽略整数限制：商品件数、调价份数必须为整数，非整数顶点需就近取值对比； 4. 忘记取值范围：单件利润不能为负、销量不能为负，超范围顶点无效。 学习目标 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题；（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点） 3. 学习目标 1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤： 审→设→列→解→答 公式法：顶点坐标 配方法：y = a(x - h)2 + k 利润 = 收入 - 成本 总收入 = 销售单价×销量 总成本 = 进货单价×销量 总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量 2. 销售问题中有关利润的公式： 总利润 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量 40 60 300 涨价 60 + 1 300 - 10 60 - 1 300 + 20 降价 20 20 + 1 20 - 1 例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价 1 元，则每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少? 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 ①设每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，填空： 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 涨价销售 20 300 20 + x 300 - 10x (20 + x)(300 - 10x) 所得利润 y = (20 + x)(300 - 10x) = -10x2 + 100x + 6000. 6000 涨价销售 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，故自变量的取值范围是 0≤x≤30，x 为整数. ③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？ y =-10x2 + 100x + 6000 = -10(x - 5)2 + 6250 (0≤x≤30). 当 x = 5，即每件涨价 5 元 (销售单价为 65 元) 时，有 y最大值 = 6250. ∴当销售单价为 65 元时，该店在一个月内能获得最 大利润 6250 元. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 解：设每件降价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，则单件利润为 20 − x 元，每星期可卖出 300 + 20x 元. 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 降价销售 20 300 (20 − x) (300 + 20x) (20 − x)(300 + 20x) 所得利润 y = (20 − x)(300 + 20x) = −20x2 + 100x + 6000. 6000 降价销售 想一想，每一步应该怎么做？ ① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ∵ 20 − x≥0，且 x≥0，∴ 0≤x≤20，x 为整数. ③ 将二次函数解析式化为顶点式 y = −20x2 + 100x + 6000 或求出顶点横坐标(对称轴) y = −20x2 + 100x + 6000 对称轴为 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 ④ 结合自变量的取值范围，求最大值 综上可知，定价为 65 元时，才有最大利润是 6250 元. 所以当每件降价 2 或 3 元时， 即定价为 58 或 57 元时，利润最大，最大利润是 6120 元. ∵ 0＜ ＜20，−20＜0，x 为整数. ∴当x = 2 或 3 时，y有最大值， 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 1. 一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克. (1) 求 y 与 x 的函数关系式. (2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大. 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 解：(1) 由题意，得 (2) 由题意，得 w = y(x − 8) = (−4x + 108)(x − 8) = −4x2 + 140x − 864 ∴当 时，利润 w 有最大值，最大值为 361. ∵ ＞8，−4＜0， 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 例2 某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现，某天西瓜的销售量 y (千克)与销售单价 x (元/千克) 的函数关系如图所示： (1) 求 y 与 x 的函数解析式； (2) 求这一天销售西瓜获得的利润 W 的最大值. O 6 200 1000 8 x y 10 12 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 分析：根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得 y 与 x 的函数解析式； 解：(1) 当 6≤x≤10，设 y 与 x 的关系式为 y = kx + b (k≠0) 由题意得 6k + b = 1000， 10k + b = 200， ｛ k = -200， b = 2200. ｛ 解得 ∴ y = -200x + 2200. 当 10＜x≤12，y = 200 故 y 与 x 的函数解析式为 y = -200x + 2200 (6≤x≤10) 200 (10＜x≤12) ｛ O 6 200 1000 8 x y 10 12 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 分析：根据 总利润 = 每千克利润 ×销售量，列出函数关系式配方后根据 x 的取值范围可得 W 的最大值. (2) 由已知得： W = (x - 6)y 当 6≤x≤10，W = (x - 6)y = (x - 6)(-200x + 2200) = -200x2 + 3400x - 13200 又∵ -200＜0， ∴当 时，利润 w 有最大值. ∵对称轴 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 当 10＜x≤12，W = (x - 6)·200 = 200x - 1200. ∵ k = 200＞0，∴ W 随 x 的增大而增大. ∴ x = 12 时， W 有最大值. W最大值 = 200×12 - 1200 =1200. 综上所述，当销售价格为 8.5 元时，取得最大利润， 最大利润为 1250 元. 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 应用1 与三角形面积结合 1.一块三角形材料如图所示， ， ， 九年级（8）班的同学在 劳动课上用这块材料剪出一个矩形 ，其中 点，，分别在边，，上．设 的 长为，矩形的面积为 ． （1）写出关于的函数解析式，并写出 的取值范围； 中考考法 18 【解】 四边形 为矩形， , . 在中， , , ， ． 中考考法 19 在中， , , , ， ， ， ． 中考考法 （2）当矩形的面积为时，求 的长； 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得， ， 即 的长为4或8． 中考考法 21 （3）若矩形的面积不小于 ，请直接写 出的长 的取值范围． . 【点拨】由题意，得 ， 整理，得 ， 解得 . 中考考法 22 应用2 与展开图结合 2. 在一次劳动课中，老师准备了一 些长为、宽为 的长方形硬 纸板，准备利用这些纸板制作无盖的 长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不 计）．如图①，活动小组将纸板在四个角裁掉四个边长均为 的正方形，再在中间裁掉一个正方形 ，#1 中考考法 23 将纸板沿, 剪开，折叠后，得到两个相同的无盖长方体 纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形 （如图②）．#1 （1）求制作的无盖纸盒的底面的边 的长； 【解】由题意可知， ， ． 中考考法 24 （2）写出一个无盖纸盒的体积（单位：）与 （单位：）之间的函数关系式，并求出当 的值为5时，单 个无盖纸盒的体积 的值． 中考考法 25 根据题意，可知无盖纸盒的长,宽,高分别为 , , ， ， 当时， ． 中考考法 26 最大利润问题 建立函数关系式 总利润 = 单利润×总销量 总利润 = 总售价-总成本 确定自变量的取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出 课堂小结 $